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Sphinx
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 16:22: | 
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Man weise nach, daß die Endziffer der Zahl n^(1989) stets mit der Endziffer der Zahl n übereinstimmt. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 04:45: |
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Hi Sphinx,
Die Endziffer einer Zahl xn stimmt mit der Endziffer der Zahl xn+4 überein, z.B. hat x5 dieselbe Endziffer wie x:
Das sieht man z. B., wenn man folgenden Ausdruck ausmultipliziert:
(1) (10*z+x)5 = 100000z5 + 50000z4x + 10000z3x2 + 1000z2x3 + 50zx4 + x5
wobei z eine beliebige natürliche Zahl sein kann und xÎ{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ist, so dass mit 10*z+x jede natürliche Zahl dargestellt werden kann.
Die fünf ersten Summanden der rechten Seite von Gleichung (1) haben mindestens eine Null am Ende, die keine Relevanz für die Endziffer von (10*z+x)5 hat, nur der letzte Summand x5 hat eine von x abhänige Endziffer. Diese kann man sich aufschreiben: 05=0, 15=1, 25=32, 35=243, 45=1024, 55=3125, 65=7776, 75=16807, 85=32768, 95=59049
Man sieht also, dass die Fünferpotenz von x dieselbe Endziffer wie x hat.
Die Endziffer von n1989 = n1984+5 = n1984*n5 ist also dieselbe wie die von n1984*n5-4 = n1984*n1, deren dieselbe wie die von n1980*n5-4, diese wiederum hat dieselbe Endziffer wie n1976*n1 usw., wenn man schließlich 497mal die 4 vom Exponenten abgezogen hat, stellt man fest, dass n1989 dieselbe Endziffer haben muss wie n1, also wie n.
Gruß, Bernd |
Elephant
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 13:12: |
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Man muss zeigen, dass
n^1989 = n mod 10. Das geschieht in 2 Schritten:
1. n^1989 = n mod 2; klar, weil für n = 0 mod 2 und n = 1 mod 2 die Gleichung erfüllt ist.
2. n^1989 = n mod 5; klar für n = 0 mod 5. Für n = 1, 2, 3 und 4 mod 5 gilt n^4 = 1 mod 5, dann aber auch n^1988 = 1 mod 5, weil 1988 Vielfaches von 4 ist. |
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