| Autor |
Beitrag |
    
helmut (hoocker)
Neues Mitglied
Benutzername: hoocker
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 15:05: | 
|
hallo,
mein sohn kam mit folgender aufgabe zu mir:
3 räuber stehlen ein unbekannte menge an goldbarren und packen sie auf einen haufen. des nachts wird einer der räuber wach und geht zu der beute. er teilt sie in 3 gleiche teile (haufen) und behält einen barren über. einen teil (haufen) und den 1 barren vergräbt er. plötzlich wird auch der zweite räuber wach und geht zu der beute. er macht dasselbe wie der erste räuber. plötzlich wird auch der dritte räuber wach und macht dasselbe wie seine vorgänger.
am nächsten morgen gehen die drei räuber gemeinsam zu ihrer beute. sie teilen die beute in 3 gleiche teile und behalten wieder 1 barren über. da sie sich nicht einigen können wer den 1 barren bekommt, erschiessen sie sich gegenseitig.
die frage: wieviele goldbarren hatten sie gestohlen ??
anmerkung: die gestohlene menge ist kleiner gleich 500.
wie rechnet man so etwas ?? gibt es eine formel dafür ??
mfg helmut |
fireangel (fireangel)
Moderator
Benutzername: fireangel
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 16:11: |
|
Ich würde das so lösen:
Die Menge, die am Morgen noch da ist:
y=3*x+1
Die Menge, die der letzte gefunden hat:
z=3/2y+1
Die Menge, die der zweite gefunden hat:
w=3/2*z+1
Die Menge, die sie gestohlen haben:
v=3/2*w+1
Alles ineinander eingesetzt ergibt:
v = 81/8 x + 65/8 =>
v = 81/8x + 8 + 1/8 =>
v = 81*x /8 + 8 + 1/8
v ist nur dann eine ganze Zahl, wenn
81*x = h*8+7 ist.
Diese Bedingung sagt aus, das Lösungen für x in achterschritten auftreten. Man kann sie auch so schreiben:
8*10*x + x = 8* h + 7
Damit ist klar, dass die erste Lösung bei x = 7 auftritt.
Da v kleiner als 500 sein soll, gilt:
v < 500
=> 81/8 x + 65/8 < 500
=> x < 48,58
x kann also nur die Werte von 1 bis 48 annehmen.
Weitere Lösungen sind dann: 15, 23, 31, 39, 47. Die Menge der gestohlenen Barren ergibt sich zu:
79, 160, 241, 322, 403 oder 484.
Welche Lösung nun gesucht ist, kann man nicht näher bestimmen.
|
helmut (hoocker)
Neues Mitglied
Benutzername: hoocker
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 18:15: |
|
hallo,
schönen dank für die schnelle antwort.
hat meinem sohn sehr geholfen ;-))
mfg helmut |
J
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. April, 2002 - 12:42: |
|
Anmerkungen zu dieser Aufgabe:
Es ist leicht einzusehen, dass folgender sachverhalt gilt:
Wenn n eine lösung ist, so ist auch n+34 eine lösung, da (n+34):3 = n/3 +3³ usw.
Wenn man nun auch negative zahlen als lösung zulässt, so kann man leicht einsehen, dass -2 eine Lösung ist:
der 1.Räuber teilt die -2 goldbarrenin drei teile: jeder teil enthält -1 goldbarren und +1 goldbarren bleibt übrig. der räuber vergräbt seinen anteil nämlich -1 goldbarren und den Rest (+1 Barren) und schiebt den rest zusammen. Es liegen also wieder -2 goldbarren da. demnach ändert sich auch nichts wenn der zweite räuber nach dem selben verfahren vorgeht.
Zusammengefasst sind daher alle Zahlen der Form -2 + n*34 Lösungen!
So lässt sich das problem leicht verallgeminern:
bei 5 räubern wäre -4 + 56 dei kleinste (positive) Lösung usw.
Gruß J |
|
