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Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. März, 2002 - 00:11: | 
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Hi Leute,
Die Formulierung des Problems ist recht unformal, es sollte
dennoch klar werden, was gemeint ist.
'Gegeben sei ein Rechteck mit den Kantenlängen a und b.
In dieses Rechteck werden nun a*b "Einheitsquadrate",
Quadrate der Fläche 1FE, einbeschrieben. Jedes Einheitsquadrat
wird nun durch seine beiden Diagonalen ergänzt.
Wieviele Dreiecke beinhaltet das a*b-Rechteck ?'
lg und viel Spaß beim Knobeln,
wünscht VL |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 13:20: |
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Na kommt schon... Soo schwierig ist das nun ja nicht :> |
HoPPsA
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 15:34: |
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iST jA WiRkLiCH NichT SEhR ScHwEr |
Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 19:34: |
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Schwer wohl nicht, aber langweilig *gähn* |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 21:51: |
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Na toll !
Irgendwer sonst noch, der "leicht" sagt, ohne eine
Lösung anzubieten ?
Oder interessiert es jemanden vielleicht auch wirklich ?
Ich gebe zu, dass das Problem nicht sonderlich einfalls-
reich ist, dennoch eine gute Gelegenheit, zählen zu lernen. 
mfg, VL
P.S.: Wie wär's mit nem Konterrätsel, wenn das hier schon
als zu langweilig angesehen wird !? |
Bob
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 22:26: |
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@ all:
Schön, das Ihr es langweilig findet, aber ich finde keine Formel, die für alle a und b sämtliche Dreiecke erfasst.
Mein Ansatz: sind a und b je 1, dann sind das ganz klar 8 Dreiecke. Wird eine der beiden Variablen 2, verdoppelt sich die Anzahl der Dreicke auf 16 und es kommen zwei weitere an der Schnittfläche hinzu, macht 18. Werden beide variablen 2, dann sind die dreiecke: 32 in den einzelnen Quadraten, sowie je 2 an vier schnittflächen, macht 40, dann gibt es noch vier ganz grosse, macht 44.
Bei a=1 und b=3 z.B.kommen 3*8 + 2*2 = 28 raus.
bei a=1 und b=4 sind es 38 dreiecke.
Wir haben also Lösungen von:
8, 18, 28, 38, 44 bei:
1*1, 1*2, 1*3, 1*4, 2*2 -rechtecken
aber wie das für allgemeine a und b ausieht? k.A.
zaph, wenn das langweilig ist, erklärs mir doch mal? |
Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 22:56: |
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Hallo vredolf,
nein, leicht ist es doch nicht. Entschuldige bitte meine voreilige Äußerung. Es ist wohl eher ziemlich eklig! Aber leider auch uninteressant in meinen Augen. Oder hast du eine "schöne" Formel für die Anzahl der Dreiecke, so dass es sich lohnt, weiter nachzudenken?
Kennst du den? Zeichne einen Kreis und auf dessen Rand willkürlich n Punkte. Verbinde je zwei der Punkte durch eine Strecke. Die Punkte seien so gewählt, dass sich keine drei Strecken in einem Punkt kreuzen. In wieviele Gebiete wird die Kreisfläche durch die Strecken zerlegt?
n=0: 1 Fläche
n=1: 2 Flächen
n=2: 4 Flächen
n=3: 8 Flächen
Wenn du meinst, bei n=4 das Bildungsgesetz erkannt zu haben, überprüfe das für n=5. Auch hier lernst du zählen und wirst überrascht sein ;-) |
Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 23:21: |
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Muss natürlich heißen:
n=1: 1 Fläche
n=2: 2 Flächen
n=3: 4 Flächen
n=4: 8 Flächen
Wenn du meinst, bei n=5 das Bildungsgesetz erkannt zu haben, überprüfe das für n=6. |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. März, 2002 - 23:50: |
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Hi Zaph,
Da fällt mir grad ein Informatikerwitz ein, wenn ich
deine Korrektur lese... 
Ich werde mir deine Aufgabe näher ansehen.
Zu der von mir gestellten: Wirklich "schön" ist die
Formel leider nicht, aber ich habe immerhin folgenden
Satz erhalten:
(Die Anzahl der Dreiecke in einem a*b-Rechteck sei mit
anz(a,b) bezeichnet.)
Satz: anz(a,a) = 3 a^3 + 9/2 a^2 + a, wenn a gerade ist.
Also ein Satz über die Anzahl der Dreiecke in Quadraten
mit geradzahlig langen Kanten.
mfg, VL
P.S.: Noch ein paar Werte, mittels obiger Formel erhalten:
anz(2,2)=44
anz(4,4)=268
anz(6,6)=816
anz(8,8)=1832 |
Bob
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 11:06: |
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So wie ich das sehe, ist das Dreiecks rätsel einfach zu schwer für euch, nicht zu langweilig.
Ich behaupte mal, das es für allgemeine a*b Rechtecke überhaupt keine Formel gibt, die die Anzahl aller Dreiecke angibt. Wenn einer eine hinkriegt, dann soll er sie bitte mal hier reinstellen, denn ich glaub nicht, dass es überhaupt eine gibt. |
Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 15:10: |
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Hallo Bob, wie ich mich oben schon berichtigte, ist das Rätsel nicht einfach, sondern eklig. Aber so pessimistisch wie du, würde ich die Sache nicht sehen. Hier ist der Ansatz einer Lösung (bei der ich mich aber garantiert mindestens ein Mal verrechnet habe).
1. Dreiecke mit diagonaler Hypothenuse
Wenn a >= b, dann ist
Anzahl = 2b(b + 1)(3a - b + 1)/3
Wenn a < b, dann die Buchstaben vertauschen.
2. Dreiecke mit waagerechter Hypothenuse
2.1 a >= 2b - 1
Anzahl = b(b + 1)(3a - 2b + 2)/3
2.2 a < 2b - 1
2.2.1 a gerade
Anzahl = a(a + 1)(6b - a + 1)/3
2.2.2 a ungerade
Anzahl = (a+1)(6b(a + 1) - a² + a)/12
3. Dreiecke mit senkrechter Hypothenuse
Analog zu 2.
Aus 1, 2, 3 dann für die unterschiedlichen Fälle eine Formel zusammenbasteln.
Wenn es gewünscht wird, kann ich mal einen Fall vorführen, aber bitte nicht gerade 2.2.2 :-/ |
Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 15:15: |
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Hallo Vredolf,
wie lautet der Witz? |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 15:29: |
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Hoi Zaph,
Der Witz geht etwa so:
Ein Informatiker im Fahrstuhl. Eine Oma spricht ihn an:
"Vierter Stock bitte!". Der Informatiker drückt auf "3"...
Aber hier ein schönerer, den ich eben gefunden hab:
F: Was treibt im Wasser und schreit "F1"?
A: Ein Informatiker, der nicht schwimmen kann.
lg, VL
P.S.: Durch Verwendung von [x] kann man auch alle Fälle
in eine Formel packen. Allerdings nehme ich dann o.B.d.A.
an, dass a>=b ist, um zuviele min(a,b) zu vermeiden. |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 16:38: |
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Ich komme übrigens auf folgende Lösung für den allgemeinen
Fall:
anz(a,b) = 2Sm k=1(a+1-k)*(b+1-]k/2[) + 2Sb k=1(b+1-k)*(a+1-]k/2[)
+ 4Sb k=1(a+1-k)*(b+1-k)
wobei m = min(a,2b)
mit i aus IN:
[i] gibt bekanntlich die nächste natürliche Zahl an, die
kleiner bzw. gleich i ist.
Bsp: [1,3]=1; [1,999]=1; [2]=2
]i[ gibt die nächste natürliche Zahl an, die größer bzw.
gleich i ist.
Also: ]1,0001[=2; ]1,999[=2; ]2[=2
Zusammenhang zwischen beiden Funktionen:
]i/2[ = [i/2]+1-((-1)^i + 1)/2
Die vorher angegebene Formel für anz(a,a); a=2b; b aus IN
ist von dieser hier abgeleitet.
Gruß, VL
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Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. März, 2002 - 17:54: |
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Ja, das sieht schon mal so ähnlich aus wie mein Ansatz. Der letzte Term ist doch die Anzahl der Dreiecke mit diagonaler Hypothenuse:
4 Sb-1 k=0 (a - k)(b - k)
= 2b(b + 1)(3a - b + 1)/3
Bei den anderen deiner Terme bin ich mir nicht sicher, ob sie stimmen. Die Summanden
(a - k)(b - ]k/2[)
scheinen mir doch sehr fraglich. Müsste es nicht eher
(a - 2k)(b - k)
lauten?
Übrigens ist in meinen Ausführungen von oben a die Breite und b die Höhe des Rechtecks.
Naja, der Witz mit dem Aufzug ... geht so ... (oder ich hab ihn nicht verstanden) |
Vredolf Ludrian (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. März, 2002 - 19:53: |
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Frohe Ostern, Zaph und Mitleser!
Ich kam auf die Terme durch Betrachtung der Anzahlen,
also versuchte, induktiv zu schließen:
anz_ak meine die Anzahl der Dreiecke mit Grundlinie
der Länge k, Grundlinie parallel zu a.
Ohne weiteres sieht man, dass anz_a1 = 2(a-0)(b-0) ist.
Weiter:
anz_a2 = 2(a-1)(b-0)
anz_a3 = 2(a-2)(b-1)
anz_a4 = 2(a-3)(b-1)
anz_a5 = 2(a-4)(b-2)
...
also von der Form:
anz_ai = 2(a+1-i)(b+1-]i/2[)
Dann stimmt der zweite Faktor stets. Der dritte Faktor
darf sich nur jedes zweite mal um eins erhöhen. Genau das
gilt m.H. meiner Funktion. Überprüfen wir den Startwert:
anz_a1 = 2(a+1-1)(b+1-]1/2[) = 2ab
Stimmt also! Der Rest folgt induktiv.
Sehen wir uns deinen Term an:
anz_ak = 2(a+1-2k)(b+1-k)
=> anz_a1 = 2(a-1)b
anz_a2 = 2(a-3)(b-1)
anz_a3 = 2(a-5)(b-2)
So wie ich das sehe, werden bei deiner Art zu zählen die
Dreiecke zu schnell selten, denn:
Ein Dreieck der Grundlinie n+1 kann man einmal seltener
parallel zu a anordnen. Außerdem ist seine Höhe um ein
halbes Kästchen größer, man braucht also maximal ein
Kästchen mehr in der Höhe, um es einzuzeichnen, kann also
umgekehrt höchstens ein solches Dreieck weniger einzeichnen
als man von den nächst kleineren einzeichnen konnte(parallel zu b).
Ich hoffe, das war jetzt nicht zu verwirrend, weil "unformal".
Ich verstehe deinen Formelansatz wirklich nicht, vielleicht
hast du es ja mittlerweile etwas weiter ausgearbeitet.
Grüße, VL
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Zaph (zaph)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. März, 2002 - 09:58: |
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Muss zugestehen, dass ich eine Art von Dreiecken vergessen habe. Ich hatte nur die Dreiecke gezählt, die die Spitze im Diagonalenschnittpunkt haben.
Bist du schon weiter damit, die Summenzeichen in deinen Formeln wegzudiskutieren?
Auch frohe Ostern! |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 12:41: |
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Hallo vredolf,
wollte nur bestätigen, dass deine allgemeine Summenformel korrekt ist. Und deine Formel für Quadrate gilt auch für beliebige a, man muss nur die Gaussklammer drüberziehen:
anz(a,a) = [ 3 a³ + 9/2 a² + a ]
Außerdem ist
anz(a,1) = 10 a - 2
anz(a,a-1) = 3 a³ - 3 a
und für a >= 2b gilt:
anz(a,b) = 2*[ b³/6 - b²/8 - b/24 + 23/48 + ((-1)^b)*(b/8 - 7/48) ] - (b-1)*[ b²/2 ] - 2 b³ + (5a-1)*b² + (5a+1)*b
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Xell (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 18:36: |
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Hi hd!
Es erfreut mich, dass du an dieser Aufgabe auch deinen
Gefallen gefunden hast. Ich schätze deine Mühe, die du
dir zwecks der Herleitung einer "summenfreien" Formel
gemacht hast. Vielen Dank für dein Interesse, deine weiteren
Untersuchungen des Problems.
Gruß,
X. |
hd
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 12:10: |
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Hi Xell,
für deine netten Worte hier noch eine sauber aufgeräumte Version der Formel für a >= 2b :
anz(a,b) = 5 a b*(b+1) - ](26 b² + 9 b - 14)*b/12[
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