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Beitrag |
    
Danny (Danny)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 15:02: | 
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Ich habe folgendes Problem:
Jedes der drei Häuser auf der Skizze unten soll mit jedem der drei Kraftwerke (Kreuze) verbunden werden. Die Leitungen müssen zwar nicht gerade sein, aber sie dürfen sich nicht kreuzen.
Dass diese Aufgabe unlösbar ist, weiss ich. Aber ich suche nach einem mathematischen Beweis dafür, dass sie unlösbar ist! Kann man das überhaupt beweisen?
Danke
Ciao
Danny |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 18:01: |
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Nein! Blos nicht!
Diese Aufgabe ist durch die ganze Schule gegeistert. Jeder hat in jeder Stunde (Fach war egal) dadrüber nachgedacht...
Ich habe mich da etwas herausgehalten, aber ich weiß, dass es zwei unterschiedliche Meinungen gab:
Die erste Meinung war: Es geht doch! Allerdings mit einem Trick:
Du musst zugeben, dass alle Voraussetzungen erfüllt sind.
So, und nun zu dem Problem, das Du wahrscheinlich gemeint hast: Geht das auch ohne dass die Leitungen durch die Häuser oder Kraftwerke durchgehen?
Ein Freund von mir hat einen einigermaßen mathematischen Beweis gefunden, aber ich krieg's nicht mehr ganz zusammen. Sobald ich mich wieder richtig daran erinnere, sag ich Bescheid.
In diesem Sinne und in der Hoffnung, dass das Einfügen meiner Graphik funktioniert,
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. August, 2000 - 19:00: |
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Keine Chance, dies (mathematisch korrekt) vor dem Vordiplom zu beweisen :-(
Man benötigt den so genannten Jordanschen Kurvensatz. Und das ist ein echter Brocken!! |
Sternenfuchs (Sternenfuchs)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 05:35: |
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Danny
Es ist lösbar.. aber die lösung ist unkonventionell... Dabei wird das Blatt Papier als Textur um einen Thorus gelegt. DIES VELETZT KEINE DER VORRAUSSETZUNGEN!!! kannst es dir ja unter
diesem Link mal anschauen.. ;) |
Charleena
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 12:39: |
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Unser Lehrer hatte uns gesagt, dass das Problem bei dieser Aufgabe sei, dass jeder versucht, die Leitungen um die Häuser herum zu legen. Aber steht in der Aufgabe was davon, dass die Leitungen nicht durch die Häuser gehen dürfen? So funktioniert das dann nämlich!  |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 12:56: |
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Hi Sternenfuchs!
Das mit dem Torus ist echt eine interessante Idee.
Man sollte sich aber darüber klarsein, dass die Häuser eventuell herunterfallen könnten.;-)
Allerdings habe ich trotzdem ein kleines Problem damit, und zwar kann man ja den Torus vor sich auf den Boden legen und dann von oben draufschauen. Dann sieht man die Häuser, die Kraftwerke und Leitungen. Und dann kreuzen sich die Leitungen natürlich. Man könnte also deshalb sagen, dass diese Voraussetzung dann nicht mehr erfüllt ist, da ja -egal, wie man den Torus drehr- immer irgendwo eine Leitung irgendwo über einer anderen ist und sie somit kreuzt... Naja, nur so ne Idee...
Hier die Überlegungen von meinem Freund, von denen ich erzählt habe. Es ist kein mathematischer Beweis, aber er reicht aus, um einem klarzumachen, dass es keine Lösung geben kann. (Außer man klebt die Häuser auf einen Riesen-Donut...)
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Zunächst eine Vereinbarung: Kraftwerke und Häuser werden als Punkte
betrachtet, wobei ich mit K Kraftwerke und mit H Häuser bezeichne.
Mein Beweisversuch erfordert eine Voraussetzung: eine nicht unterbrochene
Linie, die im selben Punkt beginnt und endet, umschließt eine Fläche, wenn sie
sich nicht überkreuzt (und wenn sie über mehrere Punkte verläuft). Das
erscheint relativ evident.
So nun zum Beweisversuch:
Betrachten wir zunächst zwei H und zwei K legen wir alle notwendigen
Verbindungen, so entsteht eine Fläche, denn wir zeichnen eine Linie
K1-H1-K2-H2-K1 und erfüllen damit die Voraussetzung (s.o.) (man kann natürlich
auch an jedem anderen Punkt beginnen - der Effekt ist der selbe).
Nehmen wir nun ein drittes H hinzu. Auch dieses verbinden wir mit den
Kraftwerken. Jetzt umschließen die Verbindungen zweier beliebiger H gemeinsam
eine Fläche.
Um die entstandene Gesamtfigur zu beschreiben müssen alle H (und alle K)
auftauchen. Wir könnten sie also als zwei Flächen beschreiben.
Dabei kommt ein Haus mit seinen Verbindungen in beiden Grenzlinien vor, die
anderen nur in jeweils einer. Die Flächen haben also einen Teil ihrer
Grenzlinie gemeinsam. Das kann auf zwei Arten der Fall sein:
a) die Flächen liegen nebeneinander und überschneiden sich nicht.
b) die eine Fläche ist Teil der anderen.
Im nächsten Schritt fügen wir das noch fehlende K ein und unterscheiden dazu
alle möglichen Fälle:
Zu a):
1) Das K liegt außerhalb der Flächen. Da ein H auf der gemeinsamen Grenzlinie
liegt, kann es nicht mit dem neuen K verbunden werden.
2) Das K liegt in einer der beiden Flächen. Ein H liegt nur auf der Grenzlinie
der anderen Flächen, die Leitung kommt aber aus der Fläche, in der das neue K
liegt nicht heraus.
Zu b):
1) Das K liegt außerhalb der Flächen. Da ein H auf dem Teil der Grenzlinie der
kleinen Fläche liegt, die die Grenzlinie der großen Fläche nicht berührt, kann
es nicht mit dem neuen K verbunden werden.
2) Das K liegt in der großen, aber außerhalb der kleinen Fläche. Die Leitung
kann das H auf der gemeinsamen Grenzlinie der beiden Flächen nicht erreichen,
das sie die große Fläche nicht verlassen kann.
3) Das K liegt in beiden Flächen. Ein H liegt nur auf der Grenzlinie der
großen Fläche (nicht auf der der kleinen Fläche). Die Leitung kann die kleine
Fläche aber nicht verlassen und somit das H nicht erreichen.
Auf das q.e.d. verzichte ich an dieser Stelle, weil ich kaum glaube dass das
ein mathematisch gültiger Beweis ist (schon wegen der Voraussetzung, die ich nicht beweisen kann).
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In diesem Sinne,
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. August, 2000 - 17:17: |
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Hi Cosine, wirklich allerhand von deinem Kumpel zu erkennen, dass das eigentliche Problem bei dieser Aufgabe in der "evidenten Voraussetzung" liegt. Bei dieser Voraussetzung handelt es sich nämlich um den von mir schon weiter oben zitierten
Jordanschen Kurvensatz
Eine Jordankurve zerlegt den IR² in genau zwei offene und wegzusammenhängende Mengen. Von diesen beiden Mengen ist genau eine beschränkt.
Hierzu ein paar Erläuterungen.
Eine Funktion f: IR -> IR² heißt "stetig" in x aus IR, wenn es für jedes (noch so kleine) e > 0 es ein d > 0 gibt, sodass
|x - y| < d => |f(y) - f(y)| < e.
|f(y) - f(y)| ist dabei der normale Abstand von f(x) und f(y).
Eine "Kurve" ist das Bild einer stetigen Funktion f: [0,1] -> IR².
Die Kurve ist "geschlossen", wenn f(0) = f(1).
Eine geschlossene Kurve heißt "Jordankurve", wenn aus f(x) = f(y) folgt, dass (x = 0 und y = 1) oder (x = 1 und y = 0) oder x = y [wenn es also keine Kreuzungen gibt].
Eine Teilmenge A von IR² heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Elementen a, b aus A eine Kurve gibt mit f(0) = a, f(1) = b und f(x) aus A für alle x aus [0,1].
Eine Teilmenge A von IR² heißt offen, wenn es für jeden Punkt a aus A es einen Kreis K mit Mittelpunkt a gibt, der ganz in A enthalten ist. [Eine offene Menge hat also keine Randpunkte, jeder Punkt liegt "innen".]
Eine Teilmenge von IR² heißt "beschränkt", wenn es einen Kreis gibt, der diese Menge enthält.
Womit wir mitten in der Topologie wären...
Das waren jetzt ziemlich viele Definitionen. Meine Hochachtung, wenn du aus dem, was ich gerade geschrieben habe, die Aussage des Jordanschen Kurvensatzes verstanden hast. Aber, wenn du es nicht verstanden hast, auch keine Panik! In der Vorlesung bekommt man Bildchen und Beispiele präsentiert, außerdem gibt es Übungen.
Wenn in einere Topologievorlesung der Jordansche Kurvensatz bewiesen wird, ist das sicherlich ein Highlight dieser Vorlesung. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. August, 2000 - 11:34: |
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Hi Zaph!
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube, ich habe ungefähr die Aussage der Jordanschen Kurvensatz und Deine Definitionen einigermaßen verstanden... Betonung auf "einigermaßen".
Allerdings kann in der Zeile
|x - y| < d => |f(y) - f(y)| < e.
kann etwas nicht stimmen, da |f(y) - f(y)| immer Null ist. Ich gehe mal davon aus, dass eins von den beiden y ein x sein müsste.
Was ich noch nicht ganz verstehe: Was für Übungen soll man denn zu dem Thema rechnen? Mir fallen jetzt keine Beispielaufgaben ein, die man da rechnen könnte...
Noch eine Frage ist mir gerade eingefallen: Soll Deine Definition von Kurve
"Eine "Kurve" ist das Bild einer stetigen Funktion f: [0,1] -> IR². "
für alle Kurven gelten? Dann wäre ja eine Normalparabel keine Kurve?
Denn wenn der Definitionsbereich der Funktionsvariable ein abgeschlossenes Intervall ist, dann gibt es ja immer entweder einen Anfangs- und Endpunkt oder die Kurve ist "geschlossen".
Eine Parabel ist allerdings nicht geschlossen und hat auch keinen Anfangs- und keinen Endpunkt...
In diesem Sinne
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 22:39: |
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Hi Cosine, hierauf bin ich dir noch eine Antwort schuldig.
1. Eines der beiden y muss selbstverständlich ein x sein.
2. Die Übungen sind meistens von der Art "Beweise, dass ... " oder sehr beliebt auch "Beweise oder widerlege, dass ...". Und dann müssen die Studenten dann zeigen, dass sie in der Vorlesung aufgepasst und die Definitionen verstanden haben; oder auch mehr oder weniger komplizierte Sachverhalte selbst herleiten. (Was manchmal richtig heavy sein kann!) So richtig was zum Rechnen, z. B. das Ausrechnen eines Integrals, gibt es in der Topologie eher selten. Kommt aber auch vor. Z. B. wieviele Fünf- und Sechsecke ein Fußball hat. (Siehe Aufgabe in einem anderen Thread an diesem Board.)
3. Die Sache mit der "Kurve": In der Mathematik ist es häufig so, dass ein und derselbe Begriff in unterschiedlichen Diziplinien für unterschiedliche Dinge verwendet wird. Das ist nicht immer schön. (Z. B. erinnerst du dich wahrscheinlich an die Diskussion, ob 0 zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht.) Allerdings ist es auch oft praktisch. Man erspart sich ziemlich viel Schreiberei. Am Anfang der Vorlesung gesagt "0 gehört zu den natürlichen Zahlen" und man erspart sich, jedesmal IN0 zu schreiben.
In diesem Sinne ist die Normalparabel in den meisten Fällen keine Kurve.
Ich hoffe, das ist jetzt nicht zu abschreckend, um dir den Glauben an der Matheamtik nicht zu nehmen ;-) |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 17:26: |
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Hi Zaph!
Danke für die Information. Nur das mit der "Kurve" ist immer noch etwas verwirrend...
Aber den Glauben an die Mathematik werde ich nicht verlieren, bevor ich sie nicht eigenhändig widerlegt habe...;-)
Danke nochmal
Ciao
Cosine |
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