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Gröst mögliches Produkt gesucht! Wer ...

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Antonia bachstein (Antonia_2002)
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Benutzername: Antonia_2002

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Februar, 2002 - 20:24:   Beitrag drucken

Wir haben im Moment Folgen im Unterricht und um einen verhauenen Test wieder auszugleichen hat der Lehrer mir folgende Aufgabe gestellt. Die Note ist mir echt wichtig und ich würde mich ganz doll über eure Hilfe freuen.
Ich soll Primzahlen finden a1;a2;a3;...;an mit a1+a2+a3+...+an=1000, so dass das Produkt a1*a2*a3*...*an so groß wie möglich ist. Nochmals danke für eure schnelle Hilfe!
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Murray (Murray)
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Benutzername: Murray

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 14:02:   Beitrag drucken

Hallo Antonia,

wenn a1 bis aN gleich sein dürfen, dann würde ich sagen 2*500 = 1000 und das Produkt ist 2 hoch 500.
Falls nicht, mußt Du einfach nur soviele Primzahlen wie mögliche zusammentragen deren Summe 1000 ist - also bei den kleinsten anfangen und ein bißchen rumprobieren bis es paßt.

Ein Beispiel:
Wenn Du Dir das mal im Kleinen vorstellst a1+...aN = 10:
2+3+5 = 10 und 2*3*5 = 30
7+3 = 10 und 7*3 = 21

Wie man da drauf kommt schreib ich Dir nach Wunsch später nochmal auf.

Murray
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Pomplito (Pomplito)
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Benutzername: Pomplito

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 18:07:   Beitrag drucken

Sorry Murray, aber ich muss dir widersprechen!
332^3*2*2 > 2^500 nur mal um ein Beispiel anzugeben!
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Murray (Murray)
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Junior Mitglied
Benutzername: Murray

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 21:01:   Beitrag drucken

Pomplito:
Yep, da war ich wohl zu voreilig. Aber wenn man die Aufgabe so sieht, dann wird sie noch aufwendiger - über das Programm dazu will ich garnicht erst nachdenken ;-)

Antonia:
also wenn die alle ungleich sein müssen, dann kommen hier die Lösungen.
Falls Dein Lehrer nochmal so'ne Aufgabe stellt, dann sag Ihm das Problem mit dem 'Rucksack-Pack-Problem' vergleichbar und er möchte sich doch bitte an einen Informatiker wenden oder das Programm dazu selber schreiben :-)

2 Fak. 3*997 = 2991
3 Fak. 2*7*991 = 13874
2 Fak. 17*983 = 16711
2 Fak. 23*977 = 22471
2 Fak. 29*971 = 28159
3 Fak. 2*31*967 = 59954
2 Fak. 47*953 = 44791
2 Fak. 53*947 = 50191
2 Fak. 59*941 = 55519
3 Fak. 2*61*937 = 114314
2 Fak. 71*929 = 65959
3 Fak. 2*79*919 = 145202
2 Fak. 89*911 = 81079
2 Fak. 113*887 = 100231
4 Fak. 3*7*113*877 = 2081121
2 Fak. 137*863 = 118231
3 Fak. 2*139*859 = 238802
4 Fak. 3*5*139*853 = 1778505
2 Fak. 173*827 = 143071
2 Fak. 179*821 = 146959
4 Fak. 3*5*181*811 = 2201865
2 Fak. 191*809 = 154519
4 Fak. 3*7*181*809 = 3075009
3 Fak. 2*211*787 = 332114
2 Fak. 227*773 = 175471
3 Fak. 2*229*769 = 352202
2 Fak. 239*761 = 181879
3 Fak. 2*241*757 = 364874
4 Fak. 3*5*241*751 = 2714865
2 Fak. 257*743 = 190951
3 Fak. 2*271*727 = 394034
2 Fak. 281*719 = 202039
4 Fak. 3*5*283*709 = 3009705
3 Fak. 2*307*691 = 424274
2 Fak. 317*683 = 216511
4 Fak. 3*7*317*673 = 4480161
3 Fak. 2*337*661 = 445514
2 Fak. 347*653 = 226591
4 Fak. 3*7*337*653 = 4621281
2 Fak. 353*647 = 228391
2 Fak. 359*641 = 230119
3 Fak. 2*367*631 = 463154
3 Fak. 2*379*619 = 469202
2 Fak. 383*617 = 236311
3 Fak. 2*397*601 = 477194
2 Fak. 401*599 = 240199
3 Fak. 2*421*577 = 485834
4 Fak. 3*5*421*571 = 3605865
2 Fak. 431*569 = 245239
4 Fak. 3*7*421*569 = 5030529
2 Fak. 443*557 = 246751
3 Fak. 2*457*541 = 494474
4 Fak. 3*7*467*523 = 5129061
2 Fak. 479*521 = 249559
4 Fak. 5*7*467*521 = 8515745
5 Fak. 2*3*7*467*521 = 10218894
2 Fak. 491*509 = 249919
4 Fak. 3*7*491*499 = 5145189
4 Fak. 3*19*487*491 = 13629669
4 Fak. 3*31*479*487 = 21694389
4 Fak. 7*47*467*479 = 73594997
5 Fak. 2*5*47*467*479 = 105135710
4 Fak. 3*67*463*467 = 43460421
4 Fak. 3*73*461*463 = 46744017
4 Fak. 3*79*457*461 = 49930449
4 Fak. 5*89*449*457 = 91310885
5 Fak. 2*3*89*449*457 = 109573062
4 Fak. 5*103*443*449 = 102437105
5 Fak. 2*3*103*443*449 = 122924526
4 Fak. 5*113*439*443 = 109879505
5 Fak. 2*3*113*439*443 = 131855406
5 Fak. 2*13*113*433*439 = 558475606
4 Fak. 5*131*431*433 = 122238065
5 Fak. 2*3*131*431*433 = 146685678
5 Fak. 2*7*139*421*431 = 353103646
4 Fak. 3*157*419*421 = 83083929
4 Fak. 5*167*409*419 = 143094785
5 Fak. 2*3*167*409*419 = 171713742
5 Fak. 2*7*181*401*409 = 415598806
4 Fak. 3*199*397*401 = 95040609
4 Fak. 3*211*389*397 = 97756089
4 Fak. 5*223*383*389 = 166120505
5 Fak. 2*3*223*383*389 = 199344606
4 Fak. 5*233*379*383 = 169107905
5 Fak. 2*3*233*379*383 = 202929486
4 Fak. 7*241*373*379 = 238486129
5 Fak. 2*5*241*373*379 = 340694470
4 Fak. 3*257*367*373 = 105542961
4 Fak. 3*271*359*367 = 107115189
4 Fak. 5*283*353*359 = 179318705
5 Fak. 2*3*283*353*359 = 215182446
4 Fak. 5*293*349*353 = 180483605
5 Fak. 2*3*293*349*353 = 216580326
4 Fak. 11*293*347*349 = 390314969
4 Fak. 3*313*337*347 = 109805721
5 Fak. 2*13*317*331*337 = 919370374
5 Fak. 2*37*313*317*331 = 2430319174
4 Fak. 59*311*313*317 = 1820606129
5 Fak. 2*67*307*311*313 = 4004496334
4 Fak. 89*293*307*311 = 2489753729
5 Fak. 2*157*277*281*283 = 6916751494
5 Fak. 2*181*269*271*277 = 7309874326
4 Fak. 197*263*269*271 = 3776970089
4 Fak. 211*257*263*269 = 3836397569
6 Fak. 5*7*199*257*263*269 = 126637483735
7 Fak. 2*3*7*199*257*263*269 = 151964980482
4 Fak. 229*251*257*263 = 3885063089
5 Fak. 2*227*251*257*263 = 7702264814
6 Fak. 5*7*239*241*251*257 = 130043854255
7 Fak. 2*3*7*239*241*251*257 = 156052625106
6 Fak. 5*31*233*239*241*251 = 522127159135
7 Fak. 2*3*31*233*239*241*251 = 626552590962
6 Fak. 5*53*229*233*239*241 = 814427108395
7 Fak. 2*3*53*229*233*239*241 = 977312530074
6 Fak. 5*67*227*229*233*239 = 969750402535
7 Fak. 2*3*67*227*229*233*239 = 1163700483042
6 Fak. 5*83*223*227*229*233 = 1120908649255
7 Fak. 2*3*83*223*227*229*233 = 1345090379106
6 Fak. 3*107*211*223*227*229 = 785151907779
6 Fak. 3*137*199*211*223*227 = 873590844459
6 Fak. 3*167*197*199*211*223 = 924153998259
7 Fak. 2*7*191*193*197*199*211 = 4268944118306
7 Fak. 2*37*181*191*193*197*199 = 19356207691466
6 Fak. 59*179*181*191*193*197 = 13881631768951
6 Fak. 83*173*179*181*191*193 = 17149303154983
6 Fak. 109*167*173*179*181*191 = 19487406537871
7 Fak. 2*107*167*173*179*181*191 = 38259678890866
6 Fak. 137*163*167*173*179*181 = 20902698275479
8 Fak. 3*7*151*157*163*167*173*179 = 419661476321829
8 Fak. 3*37*149*151*157*163*167*173 = 1846443510744009
8 Fak. 3*71*139*149*151*157*163*167 = 2846828777930421
8 Fak. 3*101*137*139*149*151*157*163 = 3322220612315361
9 Fak. 2*7*127*131*137*139*149*151*157 = 15667557160081582
8 Fak. 53*113*127*131*137*139*149*151 = 42690172807883801
10 Fak. 3*31*103*107*109*113*127*131*137*139 = 3999625019145943491
10 Fak. 5*67*101*103*107*109*113*127*131*137 = 10468578364879941055
11 Fak. 2*3*67*101*103*107*109*113*127*131*137 = 12562294037855929266
10 Fak. 23*89*97*101*103*107*109*113*127*131 = 45291000142764924631
10 Fak. 71*83*89*97*101*103*107*109*113*127 = 88582762642321175191
12 Fak. 3*43*73*79*83*89*97*101*103*107*109*113 = 7308475788889469006889
13 Fak. 2*19*67*71*73*79*83*89*97*101*103*107*109 = 90630715130300730911662
14 Fak. 3*7*59*61*67*71*73*79*83*89*97*101*103*107 = 1653737039795509160205819
14 Fak. 17*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97*101*103 = 31166356219056709571533519
16 Fak. 5*31*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97*101 = 4863891680297276836701945785
17 Fak. 2*3*31*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97*101 = 5836670016356732204042334942
18 Fak. 17*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97 = 4040815261835565180000880080151
MaxProduct = 4040815261835565180000880080151

Murray
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 5
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 01:17:   Beitrag drucken

Leute, ich denke, dass es sich hierbei um eine Wettbewerbsaufgabe handelt, und nicht etwa um den Versuch, eine miese Note auszugleichen.

BTW: Wieso ist 332^3 * 2 * 2 > 2^500 ??
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 6
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 01:21:   Beitrag drucken

Will auch'n Junior-Mitglied werden ;-)
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Murray (Murray)
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Benutzername: Murray

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Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 10:26:   Beitrag drucken

Zaph, stimmt 2^500 ist da viel größer.
Ich glaube das ist ein Tipfehler, denn 3^332*2*2 ist größer als 2^500.

Wenn es wirklich eine Wettbewerbsaugabe ist, dann ist es schon zu spät - wenn es aber eine Programmieraufgabe ist, dann viel Spaß noch. Ohne fundierte Kenntnisse in Algorithmentheorie kann man einen Computer damit Stundenlang beschäftigen.
(kleines Selbstlob: mein JavaProgramm braucht etwa 1 Sek :-)

So nebenbei:
2^500 = 3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589376
3^332*2*2 = 1014650697509413079627234489686710374303861808496103820156013382714388841919074932817392194199171363410580468761266602680002445025736755375715839382921059431364

Murray :-)
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 11:33:   Beitrag drucken

Ja, 3^332 * 2 * 2 scheint das Maximum zu sein und ist wohl doch nicht so kompliziert, wie ich erst annahm. (332 ist ja auch keine Primzahl.)
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Pomplito (Pomplito)
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Benutzername: Pomplito

Nummer des Beitrags: 10
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. März, 2002 - 12:35:   Beitrag drucken

Ich meinte auch 3^332 und nicht 332^3 *g*
Aber die Frage ist folgende. Ist dies wirklich das Maximum? Wenn ja, wer will/kann es beweisen?

Und dann stellt sich natürlich folgende Frage, ab welchem n gilt z.b., dass 5^(n/5) > 3^(n/3) (sollte n nicht durch 5 oder 3 teilbar sind, nimmt man das nächst kleinere n, was das erfüllt und ersetzt den rest mit anderen Primzahlen.)

Also z.b. n=10000 --> 5^(2000) < 3^(3332)*2*2 ???
Oder auch anders gefragt. Gibt es so ein n überhaupt? *g* Viel Spass beim Knobeln!
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murray (murray)
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Benutzername: murray

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Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. März, 2002 - 09:24:   Beitrag drucken

Hallo Pomplito,

letzteres ist nie der Fall und das läßt sich auch ganz einfach ausrechnen:

Ich vereinfache mal 3^(332)*4 ist kleiner als 3^(332)*3^(1,333333) = 3^(333,333333)

Also bleibt nur noch die Frage ob

5^(n/5) > 3^(n/3) ist | auf beiden seiten ein Logarithmus (z.B. zur Basis 10)
(n/5)*log 5 > (n/3)*log 3 | / (n/3) und / log 5
(n/5)/(n/3) > log 3 / log 5
3*n / 5*n > log 3 / log 5 | hier kürzt sich n weg
3/5 > log 3 / log 5 ???
0,6 > ca. 0,682

Widerspruch => q.e.d.

Murray
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murray (murray)
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Benutzername: murray

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Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. März, 2002 - 10:26:   Beitrag drucken

Das gilt übrigens auch analog für 2^(n/2).

...
3/2 > log 3 / log 2
1.5 > 1.58..

Widerspruch => q.e.d.

Murray

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