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Martin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Dezember, 2005 - 14:34: | 
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Hallo zusammen,
mein Nachhilfeschüler (11.Klasse) hat heute von seinem Mathelehrer eine Knobelaufgabe für die Weihnachtsferien bekommen... diese scheint in der Tat nicht einfach zu sein, vielleicht hat jemand von euch eine Idee für einen sinnvollen Ansatz. Es ist eine Aufgabe aus dem Bereich Goemetrie/Trigonometrie:
Gilt in einem Dreieck: Die Summe der Quadrate von 2 Seiten ist stets größer als das 5 fache des Quadrats der anderen Seite, so ist die andere Seite die Kürzeste.
Quasi: 5 z^2 < a^2 + b^2
Ich habe den Cosinussatz für die 3 Seiten aufgestellt und versucht zu zeigen, dass Gamma der kleinste Winkel sein muss, wenn c die kleinste Seite ist...
Aber das werden sehr umfangreiche Gleichungen, zumal weiß ich noch nicht genau wie ich dann weiter mache
Ob es so kompliziert sein soll weiß ich nicht genau, es müsste sich theoretisch mit dem Wissen eines Schülers der 11. Klasse lösen lassen.
Hat jemand einen Ansatz?
Danke schonmal. |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 1015
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Dezember, 2005 - 16:14: |
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Hi Martin,
ich frage mich, was das "stets größer" bedeutet. Man betrachtet doch immer nur ein Seitenpaar in einem gegebenen Dreieck.
Ich ignoriere mal die Formulierung und hoffe, das macht nichts.
Also dann:
Cosinussatz ist klar:
a2 = b2 + c2 - 2bc*cos a
umstellen:
a2 + 2bc*cos a = b2 + c2
Die Bedingung
5*a2 < b2 + c2
ist somit äquivalent zu
5*a2 < a2 + 2bc*cos a
sortieren:
4*a2 < 2bc*cos a
Wir sehen, dass der Cosinus positiv sein muss (wegen des Quadrats). (Also muss gelten: a<90°).
In jedem Dreieck gilt außerdem:
c < a + b
Also erhalten wir die Ungleichungskette
4a2 < 2bc*cos a
< 2b(a+b)*cos a
< 2b(a+b)
Also:
4a2 < 2ab + 2b2
Anders geschrieben:
a2 - ab/2 + b2/2 < 0
Die Lösung sieht man bei dieser Form hier sofort:
(a - b)(a + b/2) < 0
Da die zweite Klammer immer positiv ist, betrachten wir nur die erste:
a - b < 0
<=> a < b
Analog zeigt man, dass a < c ist.
Gruß
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 2028
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Dezember, 2005 - 16:32: |
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Hallo
Habe es jetzt leider zu spät gesehen, aber das ist eine Aufgabe aus dem aktuellen Bundeswettbewerb für Mathematik 
Also am besten keine Antworten mehr vor Einsendeschluss der Aufgaben.
MfG
Christian |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 1016
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Dezember, 2005 - 16:39: |
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Oh sorry, da bin ich nicht auf dem Laufenden!
Vielleicht sieht das ja einer der Moderatoren...
Gruß
Martin
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Galileo Galilei
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Martin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Dezember, 2005 - 06:53: |
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Das stimmt tatsÜchlich. Sorry, wusste ich nicht.
Ich frag mich ob mein SchÜler das auch nicht wusste und sein Lehrer die Aufgabe 'geklaut' hat, oder ob er nicht ganz ehrlich gewesen ist zu mir... mal sehn.
Ist natÜrlich ein wenig blÜd fÜr mich als Nachhilfelehrer
SchlieÜlich bezahlt er mich dafÜr, dass ich mit ihm Mathe mache, und wenn er nun diese Aufgabe machen will, sollte ich es mit ihm zumindest versuchen. |
Kommentator
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Dezember, 2005 - 22:52: |
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@Martin243:
quote:Vielleicht sieht das ja einer der Moderatoren...
Ja glaubst Du auch noch an den Weihnachtsmann?
Wie viele aktive Moderatoren (außer "Ingo") hast Du denn im letzten Jahr hier im Forum gesehen, und wie viele Beiträge, die es nötig gehabt hätten, von einem Moderator rezensiert zu werden?
"... wo sind all' die Moderatoren hin, .." *ggg* |
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