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Alles kubisch, oder was?!?

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Spezibiene (Spezibiene)
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Neues Mitglied
Benutzername: Spezibiene

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2005
Veröffentlicht am Freitag, den 25. November, 2005 - 18:58:   Beitrag drucken

Hallo Leutchens!
"Weise nach, dass alle Zahlen der Form 1331, 1030301, 1003003001, ... (es werden jeweils k Nullen eingefügt) Kubikzahlen sind."
Wie würdet ihr das nachweisen?
Bin gespannt auf eure Vorschläge...
Mit freundlichen Grüßen
Tine
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 1011
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 26. November, 2005 - 07:23:   Beitrag drucken

Hi!

Eine Möglichkeit wäre konstruktiv: Ich zeige, dass ich diese Zahlen durch eine bestimmte Rechenvorschrift erzeugen kann, die auch ganz eindeutig kubische Zahlen erzeugt.

Das Einfügen von k Nullen in die Zahl 10a+b (a,b<10) erhält man durch Multiplikation von a mit 10^k. Das wollen wir hier benutzen.

Sei k eine natürliche Zahl. Dann gilt natürlich:
(10^k + 1)^3 = 10^(3k) + 3*10^(2k) + 3*10^k + 1
= 1000^k + 3*100^k + 3*10^k + 1
= ((1*10*10^(k-1) + 3) * 10*10^(k-1) + 3) * 10*10^(k-1) + 1

Wir sind in der ersten Zahl von einer Kubikzahl ausgegangen und landen in der letzten Zahl bei einer Zahl der Form 10..030..030..01 mit jeweils k-1 Nullen dazwischen (k>=1).


Gruß
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei

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