| Autor |
Beitrag |
    
Katrin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Dezember, 2004 - 17:40: | 
|
Der Sultan hat eine neue Haremstür bestellt. Da er aber den fünf Haremswächtern und deren Chef nicht ganz traut, stellt er folgende Anforderung: Die Tür darf nur vom Chef und einem beliebigen der Haremswächter - oder - von drei beliebigen Haremswächtern zusammen geöffnet werden.
Der Chef und die Haremswächter können so viele Schlüssel zu so vielen Schlössern wie notwendig erhalten.
Keiner der Haremswächter gibt jemals seine Schlüssel aus der Hand.
Was ist die kleinste Anzahl von Schlössern in der Tür?
Kann mir jemand helfen? |
Fireangel (Fireangel)
Moderator
Benutzername: Fireangel
Nummer des Beitrags: 102
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 00:35: |
|
Also: zunächst nur die Wächter. Jeder soll zwei andere brauchen, wenn er die Tür öffnen will. Das bedeutet, dass es mindestens mal drei Schlösser sein müssen, für die je einer der drei einen Schlüssel hat. Klappt das? Nein. Denn wenn einer von ihnen dann fehlt, dann müsste einer der beiden übrigen Wächter denselben Schlüssel haben wie der fehlende und wenn man dann die beiden mit gleichen Schlüsseln zusammen erwischt zufällig, kriegen sie die Tür nicht auf. Soll aber bei drei beliebigen gehen.
Also: kriegen die jeweils nicht einen, sondern zwei Schlüssel. Dann reichen aber drei Schlösser nicht mehr, weil sonst zwei Wächter ausreichen würden, wenns die richtigen beiden sind. Es müssen immer zwei schlösser verschlossen bleiben, wenn ein beliebiger Wächter alle sine Schlüssel benutzt hat.
Nehmen wir also ier Schlösser: geht das? nein. Denn dann kriegt wächter A meinetwegen Schlüssel 1 und 2. Wächter B dann 2 und 3. Wächter C 1 und 4. Aber Wächter D und E können nicht 3 und 4 kriegen, denn dann könnten sie mit A zusammen schon zu zweit öffnen. Und wenn sie eine gleiche Kombination erhalten wie A, B oder C dann kriegen sie die Tür in gewisser Gruppierung gar nicht auf.
Wir brauchen also mindestens so viele Verschiedene Schlüsselkombinationen, wie es Wächer gibt. Nehmen wir 5 Schlösser und geben jedem 3 Schlüssel. Dann gibt es an Schlüsselkombinationen:
1,2,3
2,3,4
3,4,5
4,5,1
5,1,2
(2,3,5)
(2,4,5)
(1,2,4)
(1,3,4)
(1,3,5)
Die nichteingeklammerten reichen aber schon aus, sodass dann je zwei zusammengenommen immer noch nicht alle Schlüssel haben, aber jeder der anderen dann den fehlenden. Passt also.
Nun der Chef. Wenn der mit irgendeinem von denen zusammen da steht, weiß er ja nicht, welche der 5 Schlüssel grad fehlen, können mal die sein und mal die. Also braucht der alle 5 Schlüssel, um das auszugleichen. Dann brauchts aber noch ein weiteres Schloß, damit er nicht alleine reinkommt: Für das hat er keinen Schlüssel aber alle Wächter.
Alles in Allem gibts also minimal 6 schlösser. |
Katrin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Dezember, 2004 - 09:27: |
|
Erst einmal danke! Ich möchte aber behaupten, dass die Lösung doch nicht ganz stimmt.. die Aussage „die nicht eingeklammerten reichen aber schon aus..“ ist nicht richtig. Man nehme die oben angegebenen Kombinationen 1,2,3 und 3,4,5 und schon hat man alle zusammen. Man findet unter diesen 10 keine fünf Kombinationen, ohne dass es mindestens einen Fall gibt, indem schon 2 die Tür öffnen können! |
Fireangel (Fireangel)
Moderator
Benutzername: Fireangel
Nummer des Beitrags: 103
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Januar, 2005 - 19:58: |
|
Moin.
hast natürlich recht. Also nochmal folgende Überlegung:
Je zwei Wächter müssen so Schlüssel haben, dass ihnen zu mindestens einem Schloss ein Schlüssel fehlt. Wieviele Kombinationen von zwei Wächtern gibt es? Die Wächter seien 1,2,3,4,5:
1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 = 10 Kombinationen. Wenn einem Paar davon ein bestimmter Schlüssel fehlt, dann müssen alle anderen drei Wächter ihn jeweils haben. Also brauchts für jedes dieser Pärchen ein Schloß, damit nicht zwei ausreichen. Das wären dann 10 Schlösser und das vom Chef dazu: 11.
Hoffe, das passt jetzt. |
|
