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Eulereuklid (Eulereuklid)
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Benutzername: Eulereuklid
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Dezember, 2004 - 17:00: | 
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Man bestimme die kleinste natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft:
p | n genau dann wenn (p-1) | n
Viel Spass |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1763
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 13:06: |
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Gesucht ist n, oder?
Und p soll prim sein, oder?
Z. |
Eulereuklid (Eulereuklid)
Junior Mitglied
Benutzername: Eulereuklid
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 19:52: |
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Ach ja, genau hatte ich glatt vergessen zu sagen:
p ist prim und gesucht ist natürlich die natürliche Zahl n |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1031
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:12: |
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für p = 2 gilt des für alle n aus INg
2 | 2 und (2-1) | 2
daher würd ich mal 2 als Lsg. tippen;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1766
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:20: |
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@Mainzi: Es soll wohl heißen:
Für alle Primzahlen p ...
Also ist p nicht gesucht, sondern eine gebundene Variable.
Und für n=2 ist zwar 3-1, aber nicht 3, ein Teiler von n.
Ich tippe mal n=1806. Stimmt's? ;-)
Z.
(Beitrag nachträglich am 12., Dezember. 2004 von Zaph editiert) |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1033
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:41: |
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Ach 2216091-1 | 1806 ?
Ist das überhaupt so lösbar, gibt ja immer eine Zahl n für die ein p Teiler und p-1 auch Teiler ist;
wenns geht sollte n >= p gelten;
Mainzi Man,
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1034
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:47: |
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@Zaph: kann es sein, daß Du einfach 42 meintest: 42 * 43 = 1806 
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1767
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 12:29: |
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Hallo Mainzi,
"a | b" heißt " a ist ein Teiler von b" (und kein Vielfaches). Es kann also kaum 2^216091-1 | 1806 gelten. Beachte bitte außerdem, dass n fest ist. Gesucht ist ein n, das die Eigenschaft erfüllt.
Es müssen in der Tat nur Primzahlen p <= n+1 betrachtet werden, da andernfalls beide Aussagen "p | n" und "(p-1) | n" trivialerweise falsch, und somit die Gesamtaussage "p | n genau dann wenn (p-1) | n" wahr ist.
Gruß
Z. |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1035
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 12:55: |
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Hi Zaph,
das mit dem "a | b" war mir klar, das war nur eine provokante Frage auf das "Für alle Primzahlen p ...";
das: "Man bestimme die kleinste natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft: p | n genau dann wenn (p-1) | n mit p prim und n natürlich" verwirrt, muß es jetzt für alle Primzahlen p oder nur für irgendeine gelten?
denn, wenn es für alle Primzahlen gelten muß, dann ist nichts anderes als das Produkt aller Primzahlen multipliziert mit dem Produkt aller um 1 verminderten Primzahlen, und das ist bekanntlich nicht endlich 
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1680
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 13:18: |
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Hi Mainzi und Zaph
muß es jetzt für alle Primzahlen p oder nur für irgendeine gelten?
Es muss für alle Primzahlen gelten. Aber n ist fest gewählt, von daher muss man nur Primzahlen betrachten, die kleiner gleich n+1 sind.
@Zaph: Wie bist du auf die Zahl gekommen? Systematisches "Probieren" oder gibt es da irgendein Verfahren für?
MfG
Christian |
Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1769
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 13:43: |
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@Mainzi:
"Man bestimme die kleinste natürliche Zahl n mit folgender Eigenschaft:
Für alle Primzahlen p gilt p | n genau dann wenn (p-1) | n"
@Christian: Mit Systematik!
Sei n eine Zahl mit der Eigenschaft.
Dann ist sicherlich 1 ein Teiler von n. Da 2 eine Primzahl ist, folgt nach Voraussetzung (mit p=2), dass 2 ein Teiler von n ist.
Wiederum nach Voraussetztung (mit p=3) folgt, dass 3 ein Teiler von n ist.
Also ist 2*3=6 ein Teiler von n. Wiederum nach Voraussetztung (mit p=7) folgt, dass 7 ein Teiler von n ist.
Also ist 2*3*7=42 ein Teiler von n. Wiederum nach Voraussetztung (mit p=43) folgt, dass 43 ein Teiler von n ist.
Hier endet es glücklicherweise, da 2*3*7*43+1 keine Primzahl ist.
Außerdem erfüllt die Zahl 2*3*7*43 die gewünschte Eigenschaft. |
Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1770
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 13:46: |
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P.S. für Klugscheißer: n=0 erfüllt die Bedingung ebenfalls und ist noch kleiner ;-) |
Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1681
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 13:54: |
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Ok, danke 
P.S. für Klugscheißer: n=0 erfüllt die Bedingung ebenfalls und ist noch kleiner ;-)
Dann zählen wir hier einfach die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen
MfG
Christian |
Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 1036
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 14:03: |
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Ich verstehe echt nicht, wo ihr da das "für alle" lest, es steht ja nur "genau dann wenn", und da gilt:
A genau dann wenn B = B genau dann wenn A
mehr nicht;
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1771
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 14:35: |
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Hi Mainzi,
das mit A und B kommt jetzt irgendwie zusammenhanglos. Ich verstehe jedenfalls jetzt nicht, was das mit dieser Aufgabe zu tun hat.
Aber zum "für alle" folgendes.
Wenn A(x) eine Aussage und x eine freie Variable ist, dann ist A(x) genau so gut wie Für alle x gilt A(x)
Beispiel:
"Eine positive reelle Zahl x besitzt eine reelle Quadratwurzel"
ist gleichbedeutend mit
"Jede positive reelle Zahl x besitzt eine reelle Quadratwurzel"
Das gilt natürlich nicht, wenn x nicht frei ist.
Beispiel:
Sei x = 9/4.
Die positive rationale Zahl x besitzt eine rationale Quadratwurzel. |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1037
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 15:03: |
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das mit A und B war einfach für eine Aussage, mehr nicht;
nur warum ist bei dem Beispiel jetzt z.B. n=2 oder n=6 falsch?
da gilt ja doch, daß alle primteiler p und entsprechendes p-1 die Zahl n=2 bzw. n=6 teilen, und mehr ist nicht gefordert, oder?
Mainzi Man,
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Eulereuklid (Eulereuklid)
Junior Mitglied
Benutzername: Eulereuklid
Nummer des Beitrags: 19
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 15:21: |
|
was macht ihr hier eigentlich?
Also noch mal ausführlich:
Wie heißt die kleinste natürliche Zahl n ungleich Null für die folgende Eigenschaft gilt:
Wenn p n teilt dann teilt auch p-1 n und umgekehrt, für alle Primzahlen p.
@Zaph 1806 stimmt nicht, da 86 | 1806 aber nicht 87 (prim) | 1806. Du musst alle Kombinationen aus den Primfaktoren testen und ggf. neue dazunehmen die entstehen.
Mein Zahl hat mittlerweile 60 Stellen und ich vermute sie erfüllt die Eigenschaft immer noch nicht |
Eulereuklid (Eulereuklid)
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Benutzername: Eulereuklid
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 15:25: |
|
Halt Fehler von Amt!
Zaph hat natürlich recht mit 1806. 87 ist doch gar keine Primzahl.
Schuldigung, dann ist die Aufgabe doch nicht so schön wie ich dachte. |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 15:35: |
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nur warum ist bei dem Beispiel jetzt z.B. n=2 oder n=6 falsch?
n=2=> p-1=3-1 teilt n. Dann müsste auch p=3 n teilen, was aber nicht der Fall ist. Analog bei n=6.
MfG
Christian |
Eulereuklid (Eulereuklid)
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 15:54: |
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Wenn man p | n genau dann wenn (p-2) | n sagt, eskaliert die Aufgabe ins Grenzenlose, vielleicht kann man zeigen, dass es dann kein kleinstes n mehr gibt.
Meine Zahl hat auch schon wieder 34 Stellen obwohl ich erst 3 Minuten gerechnet hab. |
Eulereuklid (Eulereuklid)
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Benutzername: Eulereuklid
Nummer des Beitrags: 22
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 15:55: |
|
n=2 ist falsch, weil 2 | 2 aber nicht 3 | 2 analog bei 6:
6 | 6 aber nicht 6 | 7 |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1038
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| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 17:06: |
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@Zaph: kannst mir sagen, warum Du p <= n + 1 zuläßt?
es geht doch um Äquivalenz der beiden Teilerregeln und die Möglichkeit p = n + 1
führt zur Antivalenz von n+1 | n und n | n
von daher hatte ich nur p <= n zugelassen, und damit fallen die Gegenbeispiele von Christian und Eulereuklid gleich mal unterm Tisch, weils nicht in der Voraussetzung enthalten sind
Mainzi Man,
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1683
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 17:30: |
|
@Zaph: kannst mir sagen, warum Du p <= n + 1 zuläßt?
Zaph hat doch nur geschrieben, dass er nur Primzahlen p£n+1 betrachten muss. Bei allen größeren kann offensichtlich weder p noch p-1 ein Teiler von n sein.
es geht doch um Äquivalenz der beiden Teilerregeln und die Möglichkeit p = n + 1
führt zur Antivalenz von n+1 | n und n | n
Wenn n+1 Primzahl ist, dann zeigt das nur, dass die Zahl n die gewünschten Eigenschaften nicht haben kann.
Das ist ja gerade der Grund, warum 2 und 6 eben nicht die gesuchte natürliche Zahl sein können.
MfG
Christian |
Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 10:34: |
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@Eulereuklid: Ist das deine Erfindung oder ist das eine Aufgabe? Hast du dir schon überlegt, welches die nächste derartige Zahl ist? Gibt es unendlich viele davon?
Z. |
Mainziman (Mainziman)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 11:23: |
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@Christian: gib mal dei Rosabrille runter
den Fall p = n+1 hab ich ja genau deswegen ausgeschlossen, und für die Suche nach Primzahlen nicht herangezogen, weils ja um Teiler von n geht;
du nimmst als Beispiel für einen Widerspruch etwas was gar nicht sein kann - würdest n = 12 als falsch sehen, weil 6 ein Teiler von 12 ist, aber 6+1=7 eben kein Teiler von 12 ist, würd ichs ja verstehen ...
@eulereuklid: hast du von der Aufgabe die Quelle, weil so is sie mir etwas zu schwammig formuliert;
@zaph: was haltest von
n = 13 * 12 * 7 * 5 = 5460
n = 71 * 47 * 43 * 23 * 11 * 10 * 7 * 3 * 2
(Beitrag nachträglich am 14., Dezember. 2004 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
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Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 12:15: |
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Hallo Mainzi
den Fall p = n+1 hab ich ja genau deswegen ausgeschlossen, und für die Suche nach Primzahlen nicht herangezogen, weils ja um Teiler von n geht;
Du suchst doch nicht die Primzahlen p, sondern natürliche Zahlen n. Und dann prüfst du ob die obige Eigenschaft für alle Primzahlen p gilt. Und dabei brauchst du mit p nicht weiter als n+1 zu gehen.
n = 13 * 12 * 7 * 5 = 5460
Die Zahl funktioniert nicht:
42 teilt 5460, aber nicht 43.
n = 71 * 47 * 43 * 23 * 11 * 10 * 7 * 3 * 2
Die klappt auch nicht 
282=6*47 teilt n, aber nicht die Primzahl 281.
MfG
Christian |
Christian_s (Christian_s)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 12:48: |
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du nimmst als Beispiel für einen Widerspruch etwas was gar nicht sein kann - würdest n = 12 als falsch sehen, weil 6 ein Teiler von 12 ist, aber 6+1=7 eben kein Teiler von 12 ist, würd ichs ja verstehen ...
Ok, dann erklär ichs nochmal
Nehmen wir n=2. Untersuchen wir erstmal alle Primzahlen p, die n teilen. Das ist offenbar nur p=2 selbst. Also muss auch p-1=1 die Zahl n teilen. Das stimmt trivialerweise. Also bis hierhin noch keine Probleme.
Jetzt suchen wir Primzahlen p, sodass n von p-1 geteilt wird. Wir finden erstmal wieder p=2. Das macht keine Probleme, weil p-1 und p offenbar n teilen. Jetzt gibt es aber noch eine Zahl p, sodass n von p-1 geteilt wird. Und das ist die Zahl p=3. Nun teilt aber p-1 die Zahl n, p selbst teilt n aber offenbar nicht.
Also hat n nicht die gewünschte Eigenschaft.
Völlig analog bei n=6.
MfG
Christian |
Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 13:26: |
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@Mainzi (s.o.):
"Man bestimme die kleinste natürliche Zahl n mit folgender Eigenschaft:
Für alle Primzahlen p gilt p | n genau dann wenn (p-1) | n"
Christian hat dir oben erläutert, warum die Eigenschaft auf n=5460 nicht passt. Ich hoffe, du kennst den Unterschied zwischen "wenn" und "genau dann wenn".
Z. |
Eulereuklid (Eulereuklid)
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Nummer des Beitrags: 23
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 14:05: |
|
Also die Aufgabe steht im Buch:
"Einführung in die Zahlentheorie und Algebra" von Jürgen Wolfart.
@Mainzi: So wie Zaph die Aufgabe eben formuliert hat, ist sie glasklar und kein bisschen schwammig. Ich glaube eher du verstehst noch nicht ganz unsere Konstruktion.
"genau dann wenn" ist übrigens gleichbedeutend mit <==> (Doppelpfeil - beide Richtungen müssen gelten).
@Zaph: Du meinst ob es ausser 1806 noch andere Zahlen gibt. Schwer zu sagen. Wenn wir einfach mal die 2 noch einmal reinnehmen also 3612. Dann kommt die 5, 11, 23 und so weiter auch mit rein. Wenn wir einen höheren Faktor nehmen, ist das glaub ich nicht anderes. Ich vermute mal es gib keine anderen Zahlen, da es mit jeder neuen Primzahl doppelt so viele Kombinationen gibt und damit die Chance steigt wieder eine neue zu finden. Also ein Teufelskreis. Ich wüsste nur gern was passiert wenn man die Bedingung wie schon mal oben erwähnt verändert in:
p | n <==> (p-a) | n für ein bestimmtes a.
Klar ist das man für ungerade a's > 1 schon bei n=1 aufhören kann. Aber für a=2 scheint es irgendwie kein n zu geben. Das muss man doch beweisen können.
Irgendwie errinnert mich die Konstruktions an Euklids Beweis für unendlich viele Primzahlen. Man muss also zeigen können das (alle Kombination aus den Primteilern von n) + 1 keine neue Primzahl, sondern in völlig andere Primzahlen zerfällt.
Noch was zu n=0:
Ob man die 0 zu den natürlichen Zahlen hinzuzählt ist Definitionssache. Das macht jeder anders (in einer Gruppe von <=2 Leuten :-)) |
Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 16:47: |
|
@eulereuklid: eher euer Undeutsch
2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 23 * 29 * 43 * 47 * 53 * 59 * 67 * 71 * 107 * 119 * 211 * 269 * 331 * 421 * ... das wären die ersten paar, wenn man die 2 zweimal als Faktor nimmt, möglicherweise ein "geschickter" Algorithmus um Primzahlen zu finden
und wieso hörst da bei n = 1 schon auf wenn a > 1 und ungerade?
bei a = 2 würd ich folgendes probieren:
2 * 3 * 5 * 7 * 17 * 23 * 37 * 43 * 53 * 71 * 131 * ...
wird aber a bissi groß 
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 19:31: |
|
@Eulereuklid, Mainzi:
Versucht es mal mit 3613 statt mit einer zweiten 2. Ihr werdet überrascht sein 
Bei a > 1 weiß ich auch nicht weiter ...
Z. |
Mainziman (Mainziman)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 19:56: |
|
nicht wirklich, das zieht eine Kette von Faktoren mit sich - 5, 11, 23, 47, ...
oder woran denkst Du da schon wieder?
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1775
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 20:01: |
|
kann sein, dass ich mich diesmal vertan habe - ich hoffe nicht! ;-)
Wie kommst du auf 5, 11, ... ?
Z. |
Mainziman (Mainziman)
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 20:23: |
|
wenn ich 3613 als Faktor nehme, brauch ich auch eine weitere 2 als Faktor, und damit is es geschehen, weil ja auch 3612 = 2 * 1806 Teiler sein soll
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1776
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 20:48: |
|
stimmt, das habe ich übersehen ... :-/ |
Eulereuklid (Eulereuklid)
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Benutzername: Eulereuklid
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Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 20:48: |
|
@Zaph
ok ich glaub ich hab alle kombos durch. Du müsstest Recht haben. n wäre dann 6525078. Wie bist du auf die Zahl gekommen?
@Mainzi
Ich glaube du hast das Prinzip immer noch nicht raus. Weiss du denn jetzt wie wir auf die 1806 gekommen sind? Was kommst du plötzlich auf 5?
für a gleich 2 habe ich ein Programm geschrieben das mir mit nur 8 Anfangsprimzahl gleich 3 Seiten neue Primzahlen erzeugt hat.
Für a ungerade und größer 1 mal ein Beispiel:
a=5 dann würde n=1 der Bedingung schon genügen, weil zwar 1 | 1 aber 1+5=6 keine Primzahl ist.
Alles klar? |
Eulereuklid (Eulereuklid)
Mitglied
Benutzername: Eulereuklid
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Dezember, 2004 - 21:28: |
|
Ach Mist ich habs auch übersehn...
Schuldigung Mainzi du hast völlig Recht!
Bei a=4 ist n=5 und bei a=6 ist leider kein Ende in Sicht, Primzahlen bisher:
7 13 19 97 103 109 139 727 769 1423 733 739 5179 9613 9967 2647 |
