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Kay_s (Kay_s)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 125 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 00:33: |
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Um schnell herauszufinden, ob eine Zahl N durch 19 teilbar ist, wird folgendes Verfahren empfohlen: Man trennt die letzte Ziffer ab und addiert deren Doppeltes auf die verbliebene Zahl - das macht man solange, bis ein hinreichend kleiner Rest übrigbleibt. Genau dann ist N durch 19 teilbar, falls auch der Rest durch 19 teilbar ist. Also z. B. N = 2451 wird zu 245 + 2*1 = 247, und das wird zu 24 + 2*7 = 38 = 2*19. Warum stimmt die Regel? |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 835 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 01:07: |
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deine Zahl ist 10*k + l, deine neue Zahl ist einfach k + 2*l; und beides soll durch 19 den selben Rest haben, daher zu zeigen: 10*k + l == k + 2*l (mod 19) 9*k == l (mod 19) Nebenrechnung zur Ermittlung des multiplikativen inversen von 9 9*x == 1 (mod 19) 28*x == 20 (mod 19) 14*x == 10 (mod 19) 7*x == 5 (mod 19) 26*x == 24 (mod 19) 13*x == 12 (mod 19) -6*x == 12 (mod 19) x == -2 (mod 19) x == 17 (mod 19) Probe: 9*17 == 1 (mod 19) 153 == 1 (mod 19) 191 == 1 (mod 19) w. A. daher: 9*k == l (mod 19) => k == 17*l (mod 19) k == -2*l (mod 19) k + 2*l == 0 (mod 19) quod erat demonstrandum Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Basicuser1 (Basicuser1)
Neues Mitglied Benutzername: Basicuser1
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 15:14: |
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Hallo! Ich würde es folgendermaßen beweisen: Sei n = a*10^k + b*10^k-1 + ... + l*10 + m = (a*10^k + b*10^k-1 + ... + l*10) + m = s + m für s := a*10^k + b*10^k-1 + ... + l*10 die Dezimaldarstellung von n. Wir definieren die Abbildung n --> f(n) := (s/10) + 2*m = (s + 20*m)/10 Wenn mir modulo 19 rechnen, erhalten wir f(n) = (s+20*m)/10 kongr s+m/10 = n/10 (mod 19) [da ja 20 kongr 1 (mod 19)]. Multipliziere mit 20 => f(n)*20 kongr f(n) (mod 19) dddddsdldd kongr n*20/10 = n*2 (mod 19) ddddddddddkongr 2 (mod 19) * n (mod 19) (erhält man aus Rechengesetzen für Restklassen-ringe). Und weil 2 <> 0 (mod 19) ist , folgt f(n) kongr 0 (mod 19) <=> n kongr 0 mod (19) Das war zu zeigen. Gruss.
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 838 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 15:24: |
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@basicuser: n --> f(n) := (s/10) + 2*m = (s + 20*m)/10 <-- komisch die Abb. ? kannste es so hinschreiben wie es sich gehört, deine kongr und = in kombination verwirren!
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Basicuser1 (Basicuser1)
Junior Mitglied Benutzername: Basicuser1
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 15:31: |
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Hallo! Die Abbildung f(n) tut genau das, was verlangt war: z.B. n = 111, f(n) = 110/10 + 2*1 = 13. Und "kongr" steht für "ist kongruent". Gruss. |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 839 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 16:03: |
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Glaub ich weniger, schau dir das mal genau an f(n) := (s/10) + 2*m = (s + 20*m)/10 <-- wenn ich da n einsetz, tut sich rein gar nix zum anderen ist bei modulo gleichungen keine division erlaubt => nur die multiplikation mit dem multiplikativen inversen; von daher nicht wirklich hilfreich zum einen und komplett falsch zum anderen dein beweis! Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Basicuser1 (Basicuser1)
Junior Mitglied Benutzername: Basicuser1
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 16:28: |
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Hallo! 1) Jedes n aus N besitzt eine eindeutige Dezimaldarstellung, also existiert auch genau ein Paar (s,m) aus NXN, das man diesem n zuordnen kann. Daher ist die Abbildung f(n) = s/10 + 2*m wohldefiniert für jedes n aus N. 2) Da 19 eine Primzahl ist, ist R := Z modulo 19Z ein Körper, damit besitzt jedes n (mod 19) für n aus N-{0} ein multiplikatives Inverses (insbesondere 10 mod 19). Und da uns ja die Teilbarkeit durch 19 interessiert, wird im Beweis immer in R, also mod 19 gerechnet. Gruss. (Beitrag nachträglich am 20., Juli. 2004 von basicuser1 editiert) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 840 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 17:19: |
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f(n) = s/10 + 2*m <-- das da ist schon am Grundsatz falsch! n = f(s,m) := s/10 + 2*m <-- das da wäre genau das, was du meinst aber einsetzen darfste es trotzdem nicht in die Modulogleichung, bestimme zu 10 das multiplikative inverse! Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1676 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 21:15: |
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Hallo Mainzi, du "beweist" oben, dass immer 10*k + l == k + 2*l (mod 19) gilt. Setz doch mal ein paar Zahlen ein. Z. B. k=1, l=1. Irgend etwas stimmt also nicht ... Stattdessen musst du zeigen: 10a + b == 0 (mod 19) <=> a + 2b == 0 (mod 19) Beweis: 10a + b == 0 (mod 19) <=> (10a + b)*2 == 0*2 (mod 19) <=> 20a + 2b == 0 (mod 19) <=> (20-19) a + 2b == 0 (mod 19) <=> a + 2b == 0 (mod 19) q.e.d.
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 841 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 22:27: |
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Hi Zaph, genau des bekomm ich ja raus, daß die Gleichheit nur für 10*k+l == 0 (mod 19) gilt k + 2*l == 0 (mod 19) <-- des is mein endergebnis mit alle waren nat. nur die k und l gemeint, sodaß eine durch 19 teilbare Zahl entsteht Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Basicuser1 (Basicuser1)
Junior Mitglied Benutzername: Basicuser1
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 23:49: |
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Es muss oben natürlich heissen: Für alle n aus N-{k*19} (k aus N mit 0) besitzt r := n (mod 19) ein multiplikatives Inverses in R (sorry!). Beispiel: 10*2 = 20 (mod 19) == 1 (mod 19). Damit geht's in der Tat etwas schneller: Sei n = s+m (s enthält alle 10er Potenzen >= 1). f(n) = s/10 + 2*m = (s + 20*m)/10 => f(n) == (s+m)/10 == (s+m)*2 = n*2 (mod 19) => [f(n) == 0 (mod 19) <=> n == 0 (mod 19)] (denn 2 <> 0 (mod 19). Aber Zaph's Beweis ist auch nett :-) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 842 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 00:04: |
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@Basicuser du hasts immer noch nicht verstanden, daß Du nen quatsch hinschreibst. f(n) = s/10 + 2*m = (s + 20*m)/10 <-- da sollte n auch vorkommen!
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1677 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 00:19: |
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@Basicuser1: Schreib doch "sei n = s(n) + m(n) ..." ;-) |
Basicuser1 (Basicuser1)
Junior Mitglied Benutzername: Basicuser1
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 01:49: |
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Für Mainziman: Sei n = s + m mit (eindeutig bestimmten!) s, m aus N, s = k*10, k aus N. Sei g die Abbildung g: N --> NxN, g(n) := (s,m). Sei h die Abbildung h: NxN --> N, h(s,m) := s/10 + 2*m Setze f := h ° g. Dann ist f: N --> N und es ist f(n) = h°g(n) = h(g(n)) = h(s,m) = s/10 + 2*m. Beispiel: n = 555, g(555) = (550,5), h(550,5) = 550/10 + 2*5 = 55 + 10 = 65 => f(555) = h°g(555) = h(g(555)) = 65. OK? (Beitrag nachträglich am 21., Juli. 2004 von basicuser1 editiert) (Beitrag nachträglich am 21., Juli. 2004 von basicuser1 editiert) |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 843 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 07:09: |
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@Basicuser: für DICH mal langsam es ist noch immer Quatsch! g: N --> NxN, g(n) := (s,m) <-- diese abbildung gibt es nicht! der Hinweis von Zaph ist schon Goldrichtig ;-) Da darfste zuerst mal angeben was s(n) und m(n) überhaupts sind? Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Basicuser1 (Basicuser1)
Junior Mitglied Benutzername: Basicuser1
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 06-2004
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 16:07: |
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hi Mainziman! Sei z aus C, z = x+iy mit x,y aus R. Sei f: C --> RxR die Abbildung mit z = x+iy --> f(z) = (Re(z),Im(z)) = (x,y). Preisfrage: Gibt es diese Abbildung? |