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Die 19er-Regel

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Kay_s (Kay_s)
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Benutzername: Kay_s

Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 01-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 00:33:   Beitrag drucken

Um schnell herauszufinden, ob eine Zahl N durch 19 teilbar ist, wird folgendes Verfahren empfohlen:

Man trennt die letzte Ziffer ab und addiert deren Doppeltes auf die verbliebene Zahl - das macht man solange, bis ein hinreichend kleiner Rest übrigbleibt.
Genau dann ist N durch 19 teilbar, falls auch der Rest durch 19 teilbar ist.

Also z. B. N = 2451 wird zu 245 + 2*1 = 247, und das wird zu 24 + 2*7 = 38 = 2*19.

Warum stimmt die Regel?
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 835
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 01:07:   Beitrag drucken

deine Zahl ist 10*k + l, deine neue Zahl ist einfach k + 2*l; und beides soll durch 19 den selben Rest haben, daher zu zeigen:

10*k + l == k + 2*l (mod 19)
9*k == l (mod 19)

Nebenrechnung zur Ermittlung des multiplikativen inversen von 9

9*x == 1 (mod 19)
28*x == 20 (mod 19)
14*x == 10 (mod 19)
7*x == 5 (mod 19)
26*x == 24 (mod 19)
13*x == 12 (mod 19)
-6*x == 12 (mod 19)
x == -2 (mod 19)
x == 17 (mod 19)

Probe:
9*17 == 1 (mod 19)
153 == 1 (mod 19)
191 == 1 (mod 19) w. A.

daher:
9*k == l (mod 19)
=>
k == 17*l (mod 19)
k == -2*l (mod 19)
k + 2*l == 0 (mod 19)

quod erat demonstrandum
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Basicuser1 (Basicuser1)
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Benutzername: Basicuser1

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 15:14:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich würde es folgendermaßen beweisen:

Sei
n = a*10^k + b*10^k-1 + ... + l*10 + m
= (a*10^k + b*10^k-1 + ... + l*10) + m
= s + m
für s := a*10^k + b*10^k-1 + ... + l*10

die Dezimaldarstellung von n.

Wir definieren die Abbildung

n --> f(n) := (s/10) + 2*m = (s + 20*m)/10

Wenn mir modulo 19 rechnen, erhalten wir

f(n) = (s+20*m)/10 kongr s+m/10 = n/10 (mod 19)

[da ja 20 kongr 1 (mod 19)]. Multipliziere mit 20

=> f(n)*20 kongr f(n) (mod 19)
dddddsdldd kongr n*20/10 = n*2 (mod 19)
ddddddddddkongr 2 (mod 19) * n (mod 19)

(erhält man aus Rechengesetzen für Restklassen-ringe). Und weil 2 <> 0 (mod 19) ist , folgt

f(n) kongr 0 (mod 19) <=> n kongr 0 mod (19)

Das war zu zeigen.
Gruss.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 838
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 15:24:   Beitrag drucken

@basicuser:

n --> f(n) := (s/10) + 2*m = (s + 20*m)/10 <-- komisch die Abb. ?

kannste es so hinschreiben wie es sich gehört,
deine kongr und = in kombination verwirren!

Mainzi Man,
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Basicuser1 (Basicuser1)
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Benutzername: Basicuser1

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 15:31:   Beitrag drucken

Hallo!
Die Abbildung f(n) tut genau das, was verlangt war: z.B. n = 111, f(n) = 110/10 + 2*1 = 13.
Und "kongr" steht für "ist kongruent".
Gruss.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 839
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 16:03:   Beitrag drucken

Glaub ich weniger, schau dir das mal genau an

f(n) := (s/10) + 2*m = (s + 20*m)/10 <-- wenn ich da n einsetz, tut sich rein gar nix

zum anderen ist bei modulo gleichungen keine division erlaubt => nur die multiplikation mit dem multiplikativen inversen; von daher nicht wirklich hilfreich zum einen und komplett falsch zum anderen dein beweis!
Mainzi Man,
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Basicuser1 (Basicuser1)
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Benutzername: Basicuser1

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 16:28:   Beitrag drucken

Hallo!
1) Jedes n aus N besitzt eine eindeutige Dezimaldarstellung, also existiert auch genau ein Paar (s,m) aus NXN, das man diesem n zuordnen kann. Daher ist die Abbildung f(n) = s/10 + 2*m wohldefiniert für jedes n aus N.
2) Da 19 eine Primzahl ist, ist R := Z modulo 19Z ein Körper, damit besitzt jedes n (mod 19) für n aus N-{0} ein multiplikatives Inverses (insbesondere 10 mod 19). Und da uns ja die Teilbarkeit durch 19 interessiert, wird im Beweis immer in R, also mod 19 gerechnet.
Gruss.

(Beitrag nachträglich am 20., Juli. 2004 von basicuser1 editiert)
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 840
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 17:19:   Beitrag drucken

f(n) = s/10 + 2*m <-- das da ist schon am Grundsatz falsch!

n = f(s,m) := s/10 + 2*m <-- das da wäre genau das, was du meinst

aber einsetzen darfste es trotzdem nicht in die Modulogleichung, bestimme zu 10 das multiplikative inverse!
Mainzi Man,
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1676
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 21:15:   Beitrag drucken

Hallo Mainzi, du "beweist" oben, dass immer

10*k + l == k + 2*l (mod 19)

gilt. Setz doch mal ein paar Zahlen ein. Z. B. k=1, l=1. Irgend etwas stimmt also nicht ...

Stattdessen musst du zeigen:

10a + b == 0 (mod 19) <=> a + 2b == 0 (mod 19)

Beweis:
10a + b == 0 (mod 19)
<=>
(10a + b)*2 == 0*2 (mod 19)
<=>
20a + 2b == 0 (mod 19)
<=>
(20-19) a + 2b == 0 (mod 19)
<=>
a + 2b == 0 (mod 19)

q.e.d.
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 841
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 22:27:   Beitrag drucken

Hi Zaph, genau des bekomm ich ja raus,
daß die Gleichheit nur für 10*k+l == 0 (mod 19) gilt

k + 2*l == 0 (mod 19) <-- des is mein endergebnis

mit alle waren nat. nur die k und l gemeint, sodaß eine durch 19 teilbare Zahl entsteht :-)
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Basicuser1 (Basicuser1)
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Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 23:49:   Beitrag drucken

Es muss oben natürlich heissen:
Für alle n aus N-{k*19} (k aus N mit 0) besitzt r := n (mod 19) ein multiplikatives Inverses in R (sorry!).
Beispiel: 10*2 = 20 (mod 19) == 1 (mod 19).
Damit geht's in der Tat etwas schneller:

Sei n = s+m (s enthält alle 10er Potenzen >= 1).
f(n) = s/10 + 2*m = (s + 20*m)/10
=> f(n) == (s+m)/10 == (s+m)*2 = n*2 (mod 19)
=> [f(n) == 0 (mod 19) <=> n == 0 (mod 19)]
(denn 2 <> 0 (mod 19).

Aber Zaph's Beweis ist auch nett :-)
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 842
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 00:04:   Beitrag drucken

@Basicuser du hasts immer noch nicht verstanden, daß Du nen quatsch hinschreibst.

f(n) = s/10 + 2*m = (s + 20*m)/10 <-- da sollte n auch vorkommen!

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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1677
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 00:19:   Beitrag drucken

@Basicuser1:

Schreib doch "sei n = s(n) + m(n) ..." ;-)
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Basicuser1 (Basicuser1)
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Nummer des Beitrags: 9
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 01:49:   Beitrag drucken

Für Mainziman:

Sei n = s + m mit (eindeutig bestimmten!) s, m aus N, s = k*10, k aus N.
Sei g die Abbildung

g: N --> NxN, g(n) := (s,m).

Sei h die Abbildung

h: NxN --> N, h(s,m) := s/10 + 2*m

Setze f := h ° g.

Dann ist f: N --> N und es ist

f(n) = h°g(n) = h(g(n)) = h(s,m) = s/10 + 2*m.

Beispiel: n = 555, g(555) = (550,5), h(550,5) = 550/10 + 2*5 = 55 + 10 = 65
=> f(555) = h°g(555) = h(g(555)) = 65.

OK?



(Beitrag nachträglich am 21., Juli. 2004 von basicuser1 editiert)

(Beitrag nachträglich am 21., Juli. 2004 von basicuser1 editiert)
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Mainziman (Mainziman)
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Nummer des Beitrags: 843
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juli, 2004 - 07:09:   Beitrag drucken

@Basicuser: für DICH mal langsam

es ist noch immer Quatsch!

g: N --> NxN, g(n) := (s,m) <-- diese abbildung gibt es nicht!

der Hinweis von Zaph ist schon Goldrichtig ;-)

Da darfste zuerst mal angeben was s(n) und m(n) überhaupts sind?
Mainzi Man,
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Basicuser1 (Basicuser1)
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Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juli, 2004 - 16:07:   Beitrag drucken

hi Mainziman!
Sei z aus C, z = x+iy mit x,y aus R. Sei f: C --> RxR die Abbildung mit
z = x+iy --> f(z) = (Re(z),Im(z)) = (x,y).
Preisfrage: Gibt es diese Abbildung?

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