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Eselin (Eselin)
Junior Mitglied
Benutzername: Eselin
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Februar, 2004 - 13:33: | 
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Ich habe noch eine tolle Aufgabe im Netz gefunden. Ich hoffe, es wagt sich hier einer ran.
Ein Dominospiel besteht aus mehreren länglichen, mit zwei Bildern bedruckten Steinen, die so aneinander (in einer Reihe) gelegt werden, dass die sich berührenden Bilder zweier Steine gleich sind.
Um ein Tierdomino selbst herzustellen, hat sich Gabi ein Elefantenbild und Giraffenbild ausgewählt. Mit diesen zwei Bildern kann sie genau 3 Steine gestalten:
* 1 Stein mit einem Elefantenbild und einer Giraffe
* 1 Stein mit zwei Elefanten
* 1 Stein mit zwei Giraffen
a) Gib alle verschiedenen Möglichkeiten an, diese 3 Steine (von links nach rechts) aneinander zu legen!
b) Nun kommt noch ein Kängeruhbild und ein Pferdebild hinzu. Wie viele verschiedene Steine kann sie mit diesen drei bzw. vier Bildern gestalten? Begründe deine Antwort, wenn möglich auch mit einer Formel! Wie viele Möglichkeiten zum Aneinanderlegen gibt es jeweils? Kann auch dies mit einer Formmel herausgefunden werden?
c) Wende deine vielleicht herausgefundenen Formeln auf den Fall an, dass ein Dominospiel mit 10, 20 oder 100 verschiedenen Tierbilden gestaltet werden soll. Wie viele Steine werden jeweils benötigt? Wie viele Möglichkeiten des Aneinanderlegens gibt es jeweils dann? |
Eselin (Eselin)
Junior Mitglied
Benutzername: Eselin
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 08:45: |
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Ich will mal Bezug nehmen auf die obige Aufgabe. Ich habe mich etwas intensiver damit beschäftigt und herausgefunden, dass man mit der Gaußschen Summenformel gut arbeiten kann.
Bei a) sind zwei Bilder für drei Steine vorhanden. Es gibt insgesamt auch nur zwei verschiedene Möglichkeiten.
Bei b) mit drei Bildern kann man sechs Steine herstellen und hat zwölf Möglichkeiten des Aneinanderlegens. Doch nun kommt es! Mit vier Bildern erhalte ich 10 Steine. Das Kuriose aber ist, dass ich nicht eine Möglichkeit des Anlegens finde. Es bleibt immer ein Stein übrig. Wer kann mir das erklären?
Hier die hergetellten Steine:
1. 1 Stein mit einem Elefantenbild und einer Giraffe
2. 1 Stein mit zwei Elefanten
3. 1 Stein mit zwei Giraffen
4. 1 Stein mit zwei Kängeruhs
5. 1 Stein mit einem Kängeruh und einem Elefantenbild
6. 1 Stein mit einem Kängeruhbild und einem Giraffenbild
7. 1 Stein mit zwei Pferden
8. 1 Stein mit einem Pferdebild und einem Elefantenbild
9. 1 Stein mit einem Pferd und einem Giraffenbild
10. 1 Stein mit einem Pferd und einem Kängeruhbild
Ich finde absolut keine Lösung. Die Anzahl der herzustellenden Steine aus vorgegebener Anzahl von Bildern errechnet sich wie folgt:
n(n+1)
------ = Gaußsche Summenformel
2
(n= Anzahl der Bilder)
Wer kann mir nun helfen? Woran kann es liegen, dass man bei 10 Steinen keine vollständige Aneinanderreihung wie beim Domino kriegt?
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte und paar nützliche Tipps hätte.
Danke!}
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 979
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 23:54: |
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Hi!
Zuerst ein paar Worte zu der Summenformel.
Betrachte das mal so:
Du hast vier Motive. Nun nimmst du das erste Motiv (hier mal Elefant=E) und kombinierst es mit jedem einzelnen Motiv. Beispiel:
[E|E], [E|G], [E|K], [E|P].
Das zweite Motiv sei nun G. Hier fällt die Möglichkeit [G|E] weg, weil ja bereits [E|G] existiert. Also:
[G|G], [G|K], [G|P].
Bei dritten Motiv fallen die Kombinationen mit E und G weg:
[K|K], [K|P].
Und schließlich hast du beim vierten Motiv nur noch ein Pärchen übrig:
[P|P].
Zähle zusammen und du erhälst: 4 + 3 + 2 + 1.
Natürlich gilt das für jede Anzahl von Motiven. Du kannst also jedes Mal die Summenformel nach Gauß benutzen.
Nun zu dem Problem mit der vollständigen Anordnung aller Steine.
Wir können das Problem darauf reduzieren, nur die Steine mit verschiedenen Tieren in einer Reihe anzuordnen, denn man kann aus einer gültigen Anordnung alle Steine mit jeweils zwei gleichen Tieren darauf entfernen, die Lücken zusammenschieben und erhält wieder eine gültge Anordnung.
Außerdem ist klar, dass Angang und Ende dieser Reihe gleich sein müssen, also sollten wir aus diesen sechs Steinen auch einen Kreis bilden können.
Belegen wir nun jedes Tier mit einer Primzahl und identifizieren die Dominosteine mit Brüchen aus diesen Primzahlen, dann erhalten wir für jeden dieser sechs Steine je zwei Möglichkeiten.
Nehmen wir die linke Zahl als Zähler und die rechte als Nenner, dann ist klar, dass das Produkt einer ganzen Reihe genau 1 ergeben muss, damit man den Kreis schließen kann. Jede Primzahl muss dann genauso oft im Zähler wie im Nenner vorkommen, was aber bei 6 Steinen, also 12 Zahlen nicht möglich ist. Hier kommt ja jede Zahl 3mal vor, so dass immer eine im Zähler oder im Nenner zuviel ist.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Eselin (Eselin)
Junior Mitglied
Benutzername: Eselin
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 09:18: |
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Hi Martin243,
vielen Dank erst einmal dafür, dass du mir das mit der Summenformel auch noch anders erklärt hast. Da konnte ich auch gut folgen. Mir ist aber der zweite Teil nicht klar.
Wie ist das mit den Primzahlen, der linken und rechten Zahl gemeint? Kannst du mir das hier mal aufschreiben? Ich komme noch nicht auf die Lösung, warum bei 10 Teilen kein Aneinanderlegen in reihe möglich ist. Vielleicht kann ich es nachvollziehen, wenn du mir den Schritt mit den sechs Teilen noch einmal etwas einfacher bzw. ausführlicher erklärst. Im Internet stand nämlich, dass die Aufgabe mal in einer siebenten Klasse gestellt wurde. Ich kann das aber nicht ganz glauben, denn bis jetzt konnte ich eigentlich Mathe ganz gutund mache ja aus Spaß solche Knobelaufgaben.
Danke
Eselin |
Goliat (Goliat)
Junior Mitglied
Benutzername: Goliat
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Februar, 2004 - 19:35: |
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Außer den Anfangsbild und den Endbild muss die Anzahl der Bilder immer durch 2 teilbar sein
(du legst immer 2 Bilder nebeneinander) -
1 Dominostein besteht aus 2 Bildern.
Bei den Anfangsbild und Endbild gibt es zwei Möglichkeiten:
1) Anfangsbild und Endbild unterschiedlich - nur bei bei 2 Motiven
2) Anfangsbild und Endbild gleich - dann entsteht eigentich ein Kreis, der bei jeden Stein beginnen kann und die Abfolge der Steine kann im oder gegen den Urzeigersinn erfolgen
Nun zur Begründung warum es bei 4 Motivbilder keine durchgehend Reihe geben kann:
Jedes Motiv kommt 5 Mal vor.
Nach Punkt 1 kann nur das Anfang- und Endmotiv mit einer ungeraden Anzahl vorkommen, dass heißt
für die anderen 2 Motive bleibt ein Stein mit 2 unterschiedlichen Bilder übrig.
Dies gilt übrigens für alle Dominosteine mit einer geraden Anzahl an Motiven. |
Goliat (Goliat)
Junior Mitglied
Benutzername: Goliat
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Februar, 2004 - 11:15: |
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Hi Eselin,
Zuerst eimal ein paar Angaben zur verwendeten Notation:
1) Ein Dominostein hat 2 Bilder
2) Für das Beispiel verwenden wir 4 verschieden Bilder, daraus ergeben sich 10 verschiedene Dominosteine.
3) Die Abkürzungen für die verwendtenten Bilder
sind:
E . . . Elefant
G . . . Giraffe
K . . . Kängeruh
P . . . Pferd
4) [E,G] steht für einen Dominostein mit einen Elefant und einer Giraffe.
5) [E,G] = [G,E]
6) [E,G] . . . [P,K] damit soll angedeutet
werden, dass zwischen diesen Steinen weitere Dominosteine liegen.
Nun betrachten wir nur die Steine die als Bilder 1 oder 2 ein Pferde aufweisen.
Das sind folgende 4 Steine: [P,P][P,G][P,K][P,E]
Nun versuchen wir eine Dominoreihe so zu bauen, dass alle Steine mit den Pferden sich im Inneren der Dominoreihe befinden ( . . . [Steine mit Pferden] . . . ). Dass heißt der Anfangstein und der Endstein haben kein Pferd.
z.B
[P,P][P,G] . . . [K,P][P,E] . . .
Damit sich der Stein [P,P] im Inneren befindet, brauchen wir einen weiteren Dominostein [?,P]
[G,K]. . . [?,P][P,P][P,G] . . . [K,P][P,E] . . .[G,E]
Es gibt aber keinen Stein [?,P].
Man kann also an [P,P] nicht mehr anlegen.
Bei Fragen melde dich
David |
Eselin (Eselin)
Junior Mitglied
Benutzername: Eselin
Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 20. Februar, 2004 - 08:33: |
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Hi,
vielen Dank für Info. Habe mit den zusätzlichen Angaben alles begriffen. Habe auch festgestellt, dass man bloss (n+1) nehmen muss, um auszurechnen, ob es eine gerade oder ungerade Anzahl von Motiven gibt. Habe nämlich noch ein zusätzliches Bild genommen und hier habe ich dann 5*Fotos - 15* Steine und 6 Motive. Ich konnte hier auch sofort die Reihe legen.
Danke nochmal.
Eselin |
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