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Chriso (Chriso)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Chriso
Nummer des Beitrags: 74
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 12:07: | 
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1.)"Geburtenstopp":
Die Strategie der Königshäuser ist ab sofort, so lange Kinder zu bekommen bis es einen Sohn gibt, um Erbstreitigkeiten zu vermeiden, etc.
Wie wirkt sich diese Strategie aus?? (Betrache die Verteilung der Jungen und Mädchen, die durchschnittliche Anzahl der Kinder pro Familie, u.a.)
2.)
"CHUCK-A-LUCK"
Es gibt 6 Felder nummeriert mit 1, 2, ...6. Du setzt 1 Euro pro Spiel.
Ein Würfel wird dreimal geworfen, dann wird abgerechnet:
Erscheint die von dir gesetzte Zahl einmal(2mal, 3mal), so erhälst du 2€ (3€,4€), anderenfalls verfällt der Einsatz.
Ist das Spiel fair?
Man vergrößert die Anzahl der Würfe mit dem Würfel auf 4, 5, 6, ...n bei gleichzeitiger Erhöhung der Gewinne. Ist das Spiel jetzt fair?
Wir erhöhen die Anzahl der Felder auf 8 und die Anzahl der Würfe auf 4 mit den folgenden Regeln:
0Treffer => 0€ Auszahlung
1T => 2€Auszahlung
2T. => 3€ A.
...
4T.=> 5€ A.
Fair?
Brauche dringend Hilfe!
Gruß
co
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2704
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. September, 2003 - 21:01: |
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Hi Chriso,
Ich löse den ersten Teil Deiner zweiten Aufgabe:
Dieses Spiel ist die Grundform des in den USA bekannten
Glückspiels chuck – a – luck.
Es geht für den Spieler à la longue negativ aus.
Mit der Währungseinheit 1 $ ist der
Erwartungswert – 0,08 $.
OBdA: Sei 6 die gewählte Zahl.
Es ergebn sich folgende Berechnungen:
Zuerst stellst Du die Anzahle der möglichen Fälle m
beim dreifachen Wurf eines Würfels fest:
m = 6^3 = 216.
Dann:
g1: Anzahl der Fälle, genau drei Sechsen zu werfen:g1 = 1
g2: Anzahl der Tripel mit genau zwei Sechsen: g2 = 3*5 = 15
g3: Anzahl der Tripel mit genau einer Sechs : g3 = ?
g4: Anzahl der Tripel mit keiner Sechs: g4 = 5^3 = 125
Berechnung von g3 mit Hilfe der Komplementarität:
g3 = m – g1 - g2 - g4 = 75.
Achtung: Gewinn = Auszahlung minus Einsatz .
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse
X= 0 (kein Treffer) : p = 125 / 216, Gewinn = - 1 $
X= 1 (ein Treffer) : p = 75 / 216, Gewinn = 1
X= 2 (zwei Treffer) : p = 15 / 216, Gewinn = 2 $
X= 3 (drei Treffer) : p = 1 / 216, Gewinn = 3 $
Erwartungswert E(X)
125/216 * (-1) + 75/216 *1 + 15/216 * 2 + 1/216 * 3 =
- 17 / 216 ~ - 0,0787 $
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2707
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 07:40: |
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Hi Chriso,
Ich löse noch den mittleren Teil Deiner Aufgabe 2.
Zuerst blicken wir zurück auf den Fall n = 3 (drei Würfel)
Die dort berechneten Wahrscheinlichkeiten
po = 125/216 , p1 = 75/216, p2 = 15/216 , p3 = 1/216
erhält man am bequemsten so:
Im Nenner steht überall n^3 = 216
Die Zähler sind die Summanden in der binomischen Entwicklung von
(5+1)^3 = 5^3 + 3 * 5 ^2 + 3 * 5 + 1 =125 +75 +15 + 1 ; BRAVO!
Das lässt sich leicht auf n = 4 übertragen; wir rechnen
(5+1)^4 = 5^4 + 4 * 5 ^3 + 6 * 5^2 + 4 * 5 + 1 =
625 +500 +150 + 20 + 1 = 1296; somit:
po = 625/1296 , p1 = 500/1296, p2 = 150/1296 , p3 = 20/1296
p4 = 1/1296
Das sind der Reihe nach die Wahrscheinlichkeiten dafür, keinen
Treffer, genau einen Treffer,….., genau vier Treffer zu erzielen.
Der Erwartungswert E(X) beträgt:
E(X) = 1/1296 * [625 * (-1) + 500 * 1 + 150 * 2 + 20 * 3 + 1 *4] =
239/1296 ~ 0,1844 $
Der Erwartungswert ist diesmal positiv und für den Spieler günstig;
daher wird diese Variante auch nicht angeboten.
So weit , so gut.
Rien ne va plus !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Chriso (Chriso)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Chriso
Nummer des Beitrags: 76
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. September, 2003 - 13:52: |
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Vielen Dank,
jetzt bräuchte ich nur noch die Aufgabe 1!!!!!!
und zwar äußerst dringend!!!!
Gruß
co |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2714
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 09:16: |
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Hi allerseits,
Zum Abschluss ein Leckerbissen:
Mittlerer Teil der Aufgabe 2 :
Fälle n = 5 , 6 , 7
Sei n = 5:
Für die Einzelwahrscheinlichkeiten gilt:
Im Nenner steht überall 6 ^ n = 6 ^ 5 = 7776
Die Zähler sind die Summanden in der binomischen Entwicklung
von (5+1)^5,also
(5+1)^5 = 5^5 + 5 * 5 ^4 +10 * 5^3 +10 *5^2 + 5*5 + 1 =
3125 +3125 +1250 + 250 + 25 + 1 = 7776 ; somit:
po =3125/7776 , p1 =3125/7776, p2 = 1250/7776 , p3 = 250/7776
p4 =25/7776 , p5 =1/7776
Das sind der Reihe nach die Wahrscheinlichkeiten dafür, keinen
Treffer, genau einen Treffer,….., genau fünf Treffer zu erzielen.
Der Erwartungswert E(X) beträgt:
E(X) = 1/7776 * [3125* (-1) + 3125 * 1 + 1250 * 2 + 250 * 3
+ 25 *4 + 1 * 5] =
3355/7776 ~ 0,4315 $
Der Erwartungswert ist ebenfalls positiv und hat weiter
zugenommen.
Für n = 6 erhält man im stillen Kämmerlein für den
Erwartungswert das Resultat:
E(X) =31031/46656 ~ 0,6651 $
Für n = 7 erhält man im stillen Kämmerlein für den
Erwartungswert das Resultat:
E(X) = 248467/279936 ~ 0,8876 $
Wir stellen die bisherigen Resultate zusammen:
n = 3, E3 = - 17 / 216 = [6 ^ 3 * ½ - 5 ^3] / 6^3
n = 4, E4 = 239 / 1196 = [6 ^ 4 * 2/3 - 5 ^4] / 6^4
n = 5, E5 = 3355 / 7776 = [6 ^ 5 * 5/6 - 5 ^5] / 6^5
n = 6, E6 = 31031/46656 = [6 ^ 6 * 1 - 5 ^6] / 6^6
etc.
offenbar gilt:
En = [6 ^ 6 * f(n) - 5 ^ n] / 6^n
Die ersten Werte der Faktoren f(n) sind:
f(3) = 1/2
f(4) = 2/3
f(5) = 5/6
f(6) = 1 (!)
f(7)= 7/6 usw.
Frage:
Wie geht das weiter, wie lautet die Funktion f(n)?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1476
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. September, 2003 - 15:50: |
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Zu Aufg. 1:
Eine Familie hat immer genau 1 Jungen. Somit (!) hat eine Familie im Schnitt 1 Mädchen. Somit (!) hat eine Familie im Schnitt 2 Kinder.
Das kann auch ausgerechnet werden:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie n Kinder bekommt, ist 1/2n (wenn die Eltern nicht vorher gestorben sind, aber das lasse ich mal außer acht). Die ersten n-1 Kinder sind dabei Mädchen und das n-te Kind ist ein Junge.
E(Anzahl der Kinder)
= 1/2 * 1 + 1/2² * 2 + 1/2³ * 3 + ... + 1/2n * n + ...
= 2 |
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