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Noch was zum Knobeln

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Danny Schreiter (Dannys)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2000 - 20:01:   Beitrag drucken

Hi, Leute!

Diese Aufgabe hat zwar nix mit der Schule zu tun, die Lösung interessiert mich aber trotzdem:

Gibt es eine Formel, mit der man die n-te Primzahl ermitteln kann?

Erläuterung:

n - natürliche Zahl
k - dazugehörige Primzahl

Primzahlen=
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Für n = 2 müsste k = 3 sein, denn 3 ist die zweite Primzahl, die es gibt.

Für n = 6 müsste k = 13 sein, denn 13 ist die sechste Primzahl, die es gibt.

n k
1 2
2 3
3 5
4 7
5 11
6 13
....

Ich habe bisher immer nur vergeblich versucht, eine Formel zu finden. Eigentlich müsste das doch möglich sein, oder nicht? (und warum nicht?)

Ciao
Danny
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franz
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 09:30:   Beitrag drucken

Hallo Danny, nach meiner, höchst lückenhaften, Kenntnis ist eine allgemeine Formel p(n) nicht bekannt, jedoch Abschätzungen über deren Anzahl (Gauß?). Übrigens: Weiß jemand etwas über die Brewster-Zahl? F.
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Ingo
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 00:42:   Beitrag drucken

Ich kann Franz Aussage nur bestätigen. Es gibt keine "Primzahl-Maschine",also eine Formel,die nur Primzahlen liefert. Natürlich kann man mit Polynomen höheren grades auf künstlichen Wege ein Paar Primzahlen erreichen,aber es wird nie eine Formel herauskommen,die NUR Primzahlen liefert.
Ich kann diese Aussage nicht beweisen und bin mir nichtmal sicher,ob das überhaupt schon jemand gemacht hat,aber was ich aus meinen Vorlesungen über Zahlentheorie entsinne ist dies die allgemeine Lehrmeinung.
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Ingo
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 00:52:   Beitrag drucken

Zwei Korrekturen :
1) Da die Primzahlen natürliche Zahlen sind,gibt es natürlich eine Bijektion von IN auf die Menge der Primzahlen,also sehr wohl eine Funktion,die nur Primzahlen liefert,aber sie ist nicht berechenbar oder zumindest bislang nicht bekannt.

2) Zu Franz : Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich groß,was sich leicht durch Widerspruch beweisen läßt.
In diesem Zusammenhang eine weitere interessante Anmerkung
S¥ n=1 1/n ist bekanntlich divergent
S n€P 1/n ist konvergent (!)
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Zaph
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 11:30:   Beitrag drucken

Hi Ingo: Die Reihe der Reziprokwerte der Primzahlen ist konvergent? Wer soll denn das wann bewiesen haben? Wie groß ist denn die Reihensumme?

Noch eine Anmerkung:
p(x) = Anzahl der Primzahl kleiner x
ist ungefähr gleich
x/ln(x).

Genauer gilt:

Großer Primzahlsatz von Gauß und Legendre (Hadamard, de la Vallée Poussin, 1896)
limx->oop(x)/(x/ln(x)) = 1.
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franz
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 15:19:   Beitrag drucken

Soweit mir bekannt, hat EULER die Divergenz jener Reihe gezeigt. Und im Zusammenhang mit der Ausgangsfrage möchte ich noch ERATOSTHENES erwähnen. Franz
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Bernhard
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 22:06:   Beitrag drucken

Thema Primzahlen,

Es gibt ein paar Methoden eine Primzahlmaschine zu schreiben, z.Bsp synthetische Primzahlen, Verfeinerung von dem Sieb des Erathostenes etc.
Mehr davon unter http://www.devalco.de
Das Problem ist daß die Primzahlmaschinen zu langsam laufen. Um zu überprüfen ob eine Zahl Primzahl ist, kann man auch den kleinen Fermat zu Hilfe ziehen, der eine notwendige Bedingung liefert.

Wenn man die Fakultät schneller berechnen könnte als rekursiv könnte man eine Zahl auch schneller überprüfen. Es gilt (n-1)!%n = 1 genau wenn n Prim ist.
Weißt du weshalb ?

Viel Spaß noch
Bernhard
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Ingo
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Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 23:32:   Beitrag drucken

Hallo Zaph,ich muß mich korrigieren.
Ich hab nochmal die Unterlagen rausgesucht und festgestellt,daß ich was falsches in Erinerung hatte : Die reziproke Summe der Primzahlen ist divergent. Konvergent ist die reziproke Summe der Primzahlzwillinge(wie z.B. 11 und 13).
Sorry !
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 20:16:   Beitrag drucken

Thema Primzahlen: Hat eigendlich jemand bewiesen, ob es endlich viele Primzallenzwillinge gibt?
In irgendeinem Text, den ich mal gelesen habe, stand dass bis heute noch keiner bewiesen hat, ob es endlich oder unendlich viele sind, aber es kann sein, dass dieser Text schon etwas älter ist...
Nur so 'ne Frage
Cosine
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 21:20:   Beitrag drucken

Hi Cosine,
Ich bin ebenfalls der Meinung, dass dieser Beweis - ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt oder nicht - noch immer zu den großen nichtgelösten Problemen gehört.

Falls es nicht unendlich viele gibt, so muss ein Zwilling der größte sein: ein neues Problem den zu finden.
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franz
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Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 16:04:   Beitrag drucken

Kompromiß: Nicht entscheidbar. ;-) F.
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 17:27:   Beitrag drucken

Hi franz,
Willst du damit sagen, dass es nicht entscheidbar ist ob es unendlich viele oder endlich viele Primzahlzwillinge gibt?

Wenn es auch noch nicht entschieden ist, so sagt dies nicht, dass eines Tages eine Entscheidung gefunden wird.

Der Beweis deiner Behauptung erscheint mir fast noch schwerer als eine Entscheidung zu finden. Aber zugegebenermaßen übersteigt diese Materie meinen mathematischen Horizont!
Gruß, Fern
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 17:59:   Beitrag drucken

Hallo Cosine,
Interessiert dich vielleicht:
(scheint ziemlich up to date zu sein da mehrere Daten aus dem Jahre 2000 stammen)
Prime Twins
If you look down the list of primes, you will quite often see two consecutive odd numbers, like 3 and 5, 5 and 7, 11 and 13, 17 and 19, or 29 and 31. We call these pairs of prime numbers {p, p+2} prime twins.
The evidence suggests that, however far along the list of primes you care to look, you will always eventually find more examples of twins. Nevertheless, - and this may come as a surprise to you - it is not known whether this is in fact true. Possibly they come to an end. But it seems more likely that - like the primes - the sequence of prime twins goes on forever. However, Mathematics has yet to provide a rigorous proof.
One of the things mathematicians do when they don't understand something is produce bigger and better examples of the objects that are puzzling them. We run out of ideas, so we gather more data - and this is just what we are doing at this site; if you look ahead to section 2, you will see that I have collected together the ten largest known prime twins.
2. The Largest Known Prime Twins
4648619711505 * 2^60000 +/- 1 (18075 digits, 2000, K-H. Indlekofer & A. Járai)
2409110779845 * 2^60000 +/- 1 (18075 digits, 2000, K-H. Indlekofer & A. Járai)
2230907354445 * 2^48000 +/- 1 (14462 digits, 1999, K-H. Indlekofer & A. Járai)
871892617365 * 2^48000 +/- 1 (14462 digits, 1999, K-H. Indlekofer & A. Járai)
361700055 * 2^39020 +/- 1 (11755 digits, 1999, Henri Lifchitz)
835335 * 2^39014 +/- 1 (11751 digits, September 1998, Ray Ballinger and Yves Gallot)
242206083 * 2^38880 +/- 1 (11713 digits, 1995, K-H. Indlekofer & A. Járai)
40883037 * 2^23456 +/- 1 (7069 digits, 1998, Henri Lifchitz & Y. Gallot)
843753 * 2^22222 +/- 1 (6696 digits, 1997, Carlos Rivera & Y. Gallot)
709425*2^20025 +/- 1 (6034 digits, 2000, Didier Boivin & Y. Gallot)
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franz
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 11:59:   Beitrag drucken

Hallo Fern, nach GÖDEL ist jede formalisierte, widerspruchsfreie und axiomatisierte Theorie, die die Zahlentheorie umfaßt, unvollständig, das heißt, es existiert stets eine Aussage dieser Theorie, die inhaltlich wahr ist, aber nicht aus den Axiomen dieser Theorie gefolgert werden kann.

Solange die Frage nach den Primzahlzwillingen offen ist, kann man also mit der Möglichkeit rechnen, daß sie gar nicht lösbar ist. (Mit solch deprimierenden Aussichten hatte auch Andrew WILES in seinem langjährigen Kampf gegen FERMAT zu tun.) Gruß, F.
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Zaph
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 12:26:   Beitrag drucken

Hi zusammen,

was franz sagt, ist richtig. Nichtsdestoweniger ist es klar, dass die Aussage "es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge" wahr oder falsch sein muss. Oder gibt es etwa unterschiedliche Modelle der natürlichen Zahlen, eins mit und eins ohne unendlich viele Primzahlzwillinge? Wohl kaum. Denn wenn in Modell 1 das Paar p,p+2 der größte Primzahlzwilling wäre, es in Modell 2 aber einen größeren Zwilling q,q+2 gäbe, dann müsste q oder q+2 in Modell 1 in Faktoren zerfallen. Was aber wäre das Produkt dieser Faktoren in Modell 2??
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Cosine (Cosine)
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 13:21:   Beitrag drucken

Hallo zusammen!
Wenn bis heute nicht klar ist, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt, wie kann Ingo dann behaupten, dass die Reihe der Reziproke der Zwillinge konvergiert. Meines Wissens nach macht der Begriff Konvergenz einer Reihe nur bei unendlich vielen Gliedern einen Sinn, oder?

Der Frage von Zaph kann ich mich nur anschließen, weil ich mir auch nicht vorstellen kann, wieso man der Aussage dass die Aussage "es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge" keinen Wahrheitswert zuordnen können soll. Entweder es gibt ein höchstes Zwillingspaar oder nicht? oder mache ich es mir damit zu einfach...
Ciao Cosine
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 14:14:   Beitrag drucken

Hallo

Da ich nicht weiss, ob ich es selber richtig verstehe, versuche ich es mal, vorsichtig zu formulieren: Da Mathematik auf Axiomen aufbaut, entspricht sie nicht unbedingt vollstaendig der Wirklichkeit. Dass eine Aussage nicht entscheidbar ist, bedeutet in solchem Fall, wie den Primzahlzwillingen nicht, dass der Zustand nicht definiert ist, sondern, dass aus den Axiomen, die wir uns fuer die natuerlichen Zahlen und die Teilbarkeit aufgebaut haben, weder das eine, noch das andere folgerbar ist. Und das kein Widerspruchsfreies Axiomensystem vollstaendig ist, ist bewiesen.

Gruss
SpockGeiger
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Bodo
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 19:12:   Beitrag drucken

Ich hatte mal eine Formel gesehen, die bei Einsetzen von n=1 bis 41 stets Primzahlen lieferte.
Deshalb vermutete der Erfinder der Formel, daß sie ein Primzahlenmaschinchen sei.
War's aber nicht. Er hatte nur keine Hilfsmittel für n=42 einen Teiler zu finden.
Jetzt fragt mich aber bitte nicht, wie die Formel hieß - das hab ich nicht mehr im Kopf.

Hier noch was zum Thema Primzahlen:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/987.html

Bodo
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Zaph
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 22:14:   Beitrag drucken

Hi Cosine, SpockGeiger, Bodo!

Cosine: Es ist so gemeint, dass eine endliche Reihe immer konvergent ist. Ich glaube, mich auch an die Aussage, die Ingo gepostet hat, erinnern zu können. Man weiß also, dass die Primzahlzwillinge, wenn es denn unendlich viele sind, relativ "dünn" in den natürlichen Zahlen liegen.

SpockGeiger: Bis auf den Satz "Da Mathematik auf Axiomen aufbaut, entspricht sie nicht unbedingt vollstaendig der Wirklichkeit." (weiß nicht genau, wie du ihn gemeint hast) stimme ich mit dir überein.

Bodo: Wenn ich mich recht erinnere, lautet die Formel p(n) = n² - n + 41.
Für n = 0,...,10 jedenfalls liefert mein Taschenrechner die Primzahlen 41, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131. Vielleicht hat jemand Lust, die Zahlen 11,...,40 durchzurechnen. Für n=41 ist p(n) aber nicht prim. Das "sieht" man aber auch ohne jegliche Hilfsmittel.
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 13:29:   Beitrag drucken

Hi Zaph

Die naechsten Zahlen bis 40 sind Tatsaechlich alle prim, war jetzt mal zu faul, sie aufzuschreiben.

Meine Antwort zu den Axiomen: Hast Du Dir schon mal die der Topologie angeschaut? Ich kenne sie zwar nicht, jedoch werden sie wohl kaum der Wirklichkeit entsprechen (Meine Tasse ist einem Torus aequivalent, also kann mein Hund sie auch als Beissring benutzen?:))

viele Gruesse
SpockGeiger
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Andi
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 13:51:   Beitrag drucken

Etwas zu Primzahlzwillingen:

Wenn es nicht unendlich viele Primzahlzwillinge geben sollte, dann muß es eine endliche Anzahl von Primzahlen geben, die mindestens jede vierte Zahl mit ihren Vielfachen "abdecken". Irgendwann muß sich die Reihenfolge der Vielfachen der Primzahlen, die mindestens jede vierte Zahl enschließen wiederholen. Diese Reihe muß so groß sein (mit groß meine ich, daß die Reihe x Zahlen abdeckt, in denen keine Primzahlzwillinge vorkommen können) wie das Produkt sämtlicher Primzahlen, die durch ihre Vielfachen zu der Reihe beitragen. Warum? Weil der Abstand vom ersten Auftreten der Reihe zum nten Auftreten der Reihe ein gemeinsames Vielfaches der Primzahlen sein muß, weil sonst keine Vielfache der Primzahlen herauskommen.


Doch wann beginnt sich solch eine Reihe zu wiederholen? Ich denke, daß sie sich spätenstens dann wiederholt, wenn das zweite Vielfache der größten Primzahl auftaucht. Also ist die Maximale Länge einer Reihe 2 mal die Größte Primzahl minus 1, wenn die größte Primzahl am weitesten hinten auftaucht. Und die Länge einer Reihe ist somit immmer kleiner als Produkt aller Primzahlen und somit kann nicht sein, daß die Primzahlzwillinge endlich sind.

Was sagt ihr dazu?!
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Zaph
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Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juli, 2000 - 11:55:   Beitrag drucken

Hi Andi,

ein elementarer Beweis für die Nichtexistenz unendlich vieler Primzahlzwillinge dürfte kaum existieren. Das wäre ein peinliches Armutszeugnis für die Zahlentheorie-Gilde, wenn sie den übersehen hätten.

Zu deinem "Beweis". Du schreibst

"Wenn es nicht unendlich viele Primzahlzwillinge geben sollte, dann muß es eine endliche Anzahl von Primzahlen geben, die mindestens jede vierte Zahl mit ihren Vielfachen abdecken".

Das kann ich schon nicht nachvollziehen. Du meinst vermutlich "jede zweite ungerade Zahl" statt "jede vierte Zahl". Aber wieso sollte die Menge der "abdeckenden" Primzahlen endlich sein??
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Timon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. September, 2005 - 14:45:   Beitrag drucken

Nein, da...
wir (als Menschen) nicht in der Lage sind, eins von UNS geschaffenes System) derartig zu durchschauen, um überhaupt in irgendeinerweise eine Gleichung (fOrMeL) zu finden, welche n (unendlich, denn JEDE ZAHL HAT EINEN NACHFOLGER-Axiom!) Primzahlen liefert!
EINE VIEL spannendere Frage ist: WARUM

Gruß

Timon

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