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anna (Marsu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 17:17: | 
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Diese Aufgabe habe ich zuletzt gestellt bekommen und konnte sie nicht so ganz lösen:
Wie bekommt man raus, wenn man 12 Kugeln hat und davon eine leichter oder schwerer ist (als die restlichen 11), welche die leichtere oder schwerere ist? ber nur mit 3 mal wiegen.
Es wäre schön, wenn mir jemand dabei helfen könnte. MFG, Marsu |
Defätist
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 20:13: |
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Ich mach das mal mit der schwereren Kugel:
1. Du teilst sie in drei gleiche Grüppchen (3x4) und wiegst zwei der beiden.
Je nach dem, welcher Haufen nun schwerer ist, in dem befindet sich dann ja
auch die schwerere Kugel. Sind die beiden Haufen gleich schwer, ist
klar, daß die schwerere Kugel nicht unter den beiden Haufen ist, sondern im
dritten.
2. Den schweren Haufen teilst Du noch mal (2x2) und wiegst die beiden Haufen
wieder. In dem schwereren von den beiden ist dann auch wieder die schwerer
Kugel.
3. Da Du nur noch zwei Kugeln übrig hast, brauchst Du die jetzt auch nur
noch mal zu wiegen und voilà ... da hast Du die schwerere! |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 20:31: |
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Hallo Defätist,
Die Aufgabe lautet: 11 der Kugeln haben gleiches Gewicht, die 12. Kugel aber ein verschiedenes!
Sie ist also nicht unbedingt schwerer.
Ich kenne die Lösung, will aber anderen auch die Gelegenheit geben, sich darin zu versuchen. Übrigens: die Frage erschien vor ein paar Monaten in der Rätselecke der französischen Zeitung "Le Monde".
Was ich aber nie herausbekommen habe:
Wieviele Kugeln kann man so mit 4 (oder mehr) Wägungen von einer mit unterschiedlichem Gewicht trennen? |
Lutz (Lutz)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 21:40: |
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Hi Anna (Marsu), Daefetist und Fern,
dazu habe ich dann auch mal noch eine Frage.
Um was fuer eine Waage soll es sich denn handeln. Ich vermute, dass man eine Balkenwaage zur Verfuegung hat.
Stimmt das?
Lutz |
Defätist
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 21:42: |
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Ok, ich bin eh nicht so die Leuchte, was Denkaufgaben angeht ... aber, ist
es nicht scheiß egal, ob nun leichter oder schwerer oder einfach nur
verschieden? Man kann das doch darauf übertragen oder macht das irgendweinen
Unterschied? *durchdreh* Hilfe, klärt mich auf ...
Also, wenn die jetzt leichter wäre, wäre ja der Haufen dann immer
dementsprechend leichter ... und wenn es nur darum geht, daß sie einfach ein
anderes Gewicht hat, dann schaut man eben nicht, welcher Haufen nun
schwerer, sondern welcher ein anderes Gewicht hat? Irgendwie hakt's bei mir
leicht ... wo ist der Unterschied?!
Jetzt kann ich wieder die ganze Nacht nicht schlafen ... grumpf. |
Defätist
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 22:05: |
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Also, ich bin mal von einer Balkenwaage ausgegangen ... aber ich muß ehrlich
sagen, an was anderes habe ich auch gar nicht gedacht ... |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 23:12: |
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Ja, es handelt sich um eine Balkenwaage.
Es stehen keinerlei Gewichte zur Verfügung, man kann also nur Kugeln von den 12 Kugeln gegenseitig wiegen.
Die Waage zeigt an:
a) entweder gleich schwer
b) oder linke Seite schwerer
c) oder rechte Seite schwerer.
Nach der dritten Wägung muss die ungleiche Kugel gefunden sein. (und man weiß dann auch ob sie schwerer oder leichter ist). |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 10:42: |
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Hi Defätist,
es macht schon einen Unterschied, ob du von vorneherein weißt, ob die Kugel leichter oder schwerer ist, oder ob du dieses Zusatzwissen nicht hast.
Nehmen wir bei deinem Versuch von oben (Kugeln in drei gleiche Grüppchen teilen und zwei der beiden wiegen) mal an, die rechte Waagschale bewegt sich nach unten. Dann weißt du:
Entweder ist in der rechten Waagschale eine schwerere Kugel oder in der linken eine leichtere.
Es gibt also noch acht potentielle Kandidaten (und nicht vier, wie bei dir) für die Kugel mit dem unterschiedlichen Gewicht.
Zu Fern: Bei n Wiegungen gibt es maximal 3n unterschiedliche Wiegeergebnisse. Bei k Kugeln gibt es 2k mögliche Variationen, welche Kugel leichter/schwerer ist. Das heißt bei n Wiegungen kann für maximal 3n/2 Kugeln die unterschiedliche Kugel bestimmt werden. n = 4 => k <= 40. Ich kenne allerdings nur eine Lösung für k = 36 und bezweifele, dass es für größeres k möglich ist. |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 17:32: |
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Hallo Fern,
wie kommst du eigentlich dazu "Le Monde" zu lesen?
wenn ich mein Rätselspaß haben möchete reicht mir die Rätselecke der Lokalzeitung.
CU
Niels |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 20:21: |
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Hi Niels,
Du hast Recht: Le Monde ist keine Rätselzeitung. Ich habe die Aufgabe dort auch nur ganz zufällig entdeckt.
Gruß, Fern |
Defätist
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 17:42: |
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Hi Zaph (und wer da sonst noch so da draußen die Lösung kennen mag ...)!!
Wow, ja, es leuchtet. Danke für die Aufklärung ... aber ich habe trotzdem
keine Ahnung wie das gehen soll. Also ich komme immer nur so weit, daß ich
nach dem zweiten Wiegen noch zwei Verdächtige auf der Waage habe: Eine
links, eine rechts. Aber dann weiß ich ja trotzdem noch nicht, welche nun
der wahre Außenseiter ist, oder?
Kann mir nicht mal einer 'nen Tip geben? *Tip* ...
Würde mich ja dann doch mal interessieren. Oder halt: Wenn ich jetzt nicht
die zwei Übrigen zusammen wiege, sondern eine der beiden mit einer, die man
schon als "normal" herausgestellt hat ... wenn die dann gleich sind, dann
ist es eben die letzte ... und wenn nicht, ist es ja eh klar (glaube ich).
Muß ich denn noch wissen, ob sie schwerer oder leichter ist oder war jetzt
nur nach der Abweichenden gefragt? Ach ich weiß auch nicht, bin leicht
konfus. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 20:54: |
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Hi Defaitist, Hallo anna
Also ich möchte nicht verantworten, dass du, Defaitist, noch eine zweite schlaflose Nacht verbringst: deshalb hier die Lösung.
Ich skizziere die Lösung nur, manche Details müssen ausgearbeitet werden.
Wir denken uns die Kugeln nummeriert.
1. Wägung
1234 gegen 4567
Fall 1)
gleichschwer: 2.Wägung: 9,10 gegen 1,2
a) gleichschwer: 11 oder 12 falsch
3.W: 11 gegen 1 entscheidet
b) 9,10 schwerer:
3.W: 9 gegen 10 entscheidet
c) 9,10 leichter
3.W: 9 gegen 10 entscheidet
Fall 2)
1234 schwerer:
2.W: 1,2,5 gegen 3,6,11
a) gleichschwer: 3W: 48 gegen 1,2
gleich: 7=falsch
48 schwerer: 4=falsch
12 schwerer: 8 falsch
b) 1,2,5 schwerer: 3.W: 1 gegen 2
gleich: 6 falsch
1 schwerer: 1 falsch
2 schwerer: 2 falsch
c) 3,6,11 schwerer: 3.W: 3 gegen 11
gleich: 5=falsch
3 schwerer: 3=falsch
Fall 3)
4567 schwerer: ist symmetrisch zu Fall 2) zu behandeln.
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Ich hoffe, keinen Fehler gemacht zu haben,
aber selbst dann müsste das Prinzip zur Lösung
erkennbar sein.
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Zaph
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 23:07: |
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Hi allerseits, kleine Ergänzung zu Ferns Lösung:
Wenn in Fall 1a die dritte Wägung Gleichstand ergibt, weiß man nicht, ob Kugel 12 leichter oder schwerer ist. Deshalb besser:
Fall 1: 9,10 gegen 11,1
Bei Gleichstand dritte Wägung: 12 gegen 1
Sonst: 9 gegen 10.
Meine Ausführungen von oben muss ich etwas revidieren. Die Aussage "bei n Wiegungen kann für maximal 3n/2 Kugeln die unterschiedliche Kugel bestimmt werden" ist nur dann evident (ob sie richtig ist, weiß ich jetzt auch nicht), wenn nicht nur die falsche Kugel gefunden, sondern auch entschieden werden soll, ob sie schwerer oder leichter ist.
Wenn es nur darauf ankommt, die falsche Kugel zu finden, sind bei drei Wägungen sogar 13 Kugeln und bei vier Wägungen 39 Kugeln möglich. (Wenn ich mich jetzt nicht wieder vertan habe ...) |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 07:56: |
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Hi Zaph,
Danke für die Verbesserung meiner Lösung.
Ob überhaupt ein Unterschied zwischen der Suche nach der falschen Kugel und der Suche mit Entscheidung ob schwerer oder leichter besteht, weiß ich nicht.
Wie willst du denn 13 Kugeln mit 3 Wägungen (Suche ohne Entscheidung ob schwerer oder leichter) lösen?
1.Wägung: 1234 gegen 5678: angenommen Gleichstand,
also bleiben 5 Kugeln (9,10,11,12,13) mit 2 Wägungen zu trennen!
=========
Ich versuche auch (ergebnislos) herauszubekommen, welche Funktion zwischen Anzahl Kugeln und minimaler Anzahl Wägungen besteht:
2 Kugeln sinnlos
3 K 2 Wägungen
4 K 3 W
5 K 3 W
6 K 3 W
. .
12 K 3 W
13 K 4 W
14 K 4 W
. .
. .
36 K 4 W (dies ist deine Behauptung)
37 K 5 W
. .
. .
wie geht es weiter ?
wie lautet das allgemeine Gesetz?
Die Wägungen scheinen sprunghaft zu ändern.
Ich verstehe zu wenig von Zahlentheorie, um dies auszuklügeln.
Gruß, Fern
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Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 12:41: |
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Die Lösung für 13 Kugeln geht genauso wie die für 12. Versuche zuerst nach obiger ("verbesserten") Methode aus 12 Kugeln diejenige herauszubekommen, die schwerer oder leichter ist. Gelingt das nicht, weil alle drei Wägungen Gleichstand lieferten, ist die 13. der Verbrecher.
Bei vier Wägungen kann sogar aus 39 (und nicht 36) Kugeln diejenige mit dem falschen Gewicht bestimmt werden.
Eine allgemeine Formel zu bestimmen ist weniger eine Aufgabe der "Zahlentheorie" sondern vielmehr der "Kombinatorik". Ich glaube kaum, dass es eine exakte derartige Formel gibt --- wie bei so vielen kombinatorischen Problemen.
PS: Mit "ob sie richtig ist, weiß ich jetzt auch nicht" wollte ich sagen "ob sie auch für den Fall richtig ist, dass nur die falsche Kugel bestimmt werden soll, weiß ich jetzt auch nicht". |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 13:15: |
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Hi Zaph,
deine Lösung mit den 13 Kugeln: einfach genial! |
Zaph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 22:04: |
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Hi Fern,
freut mich, dass es dir gefallen hat. Bin selber etwas überrascht, ich kenne das Rätsel nämlich schon seit vielen Jahren, habe aber gestern zum ersten Mal bemerkt, dass es auch mit 13 Kugeln funktioniert. |
Danny Schreiter (Dannys)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 20:37: |
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Hi, Fern!
Du suchtest doch nach einer Formel; ich glaube eine gefunden zu haben:
k - max. Anzahl der Kugeln
n - Anzahl der Wägungen
1.) Wenn auch herausgefunden werden soll, ob schwerer oder leichter:
k = ( (3^n) - n ) / 2
2.) Wenn bereits gegeben ist, ob schwerer oder leichter:
k = 3^n
Bis jetzt haben diese Formeln immer funktioniert. Mir fehlt trotzdem noch der Beweis für die richtigkeit.
Bis denne...
Danny |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 22:24: |
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Hi Danny,
insbesondere Formel Nr. 1 interessiert mich. Zum Beispiel, n = 3 => k = 24, n = 4 => k = 77/2 = 38,5. Also für k = 24 (k = 38) Kugeln kann man mit 3 (4) Wägungen bestimmen, welche Kugel leichter oder schwerer ist. Das stimmt mit meinen Überlegungen überein!
Bis zu welchem n hast du die Formel verifizieren können? |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 22:47: |
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Hi Danny,
insbesondere Formel Nr. 1 interessiert mich. Zum Beispiel, n = 3 => k = 24, n = 4 => k = 77/2 = 38,5. Also für k = 24 (k = 38) Kugeln kann man mit 3 (4) Wägungen bestimmen, welche Kugel leichter oder schwerer ist. Das stimmt mit meinen Überlegungen überein!
Bis zu welchem n hast du die Formel verifizieren können? |
Danny Schreiter (Dannys)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2000 - 12:49: |
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Hi Zaph!
Ich glaube, bei n = 3 hast du die Division durch 2 vergessen; es ergibt nämlich nur k = 12.
Ich muss mich in der obigen 1. Formel noch etwas korrigieren:
k = ( (3^n) - 3 ) / 2
Bei n = 3 ist es ja egal, aber bei n = 4 ist 38,5 schon irgendwie ein blödes Ergebnis, oder?
Die Formel habe ich noch nicht weiter als bis n = 4 verifizieren können, wobei ich aber auch nur vermute, dass k = 39. Mir ist noch kein Beweis gelungen; aber vielleicht bin ich in letzter Zeit auch einfach nur ein wenig faul ;-).
Die Überlegung zur Formel war die: Ich habe den Lösungsweg, den Fern oben schon ganz gut dargestellt hat, noch einmal ausfürlich aufgezeichnet.
Für die erste Wägung gibt es drei mögliche Fälle, die eintreten könnten. Für jede Weitere Wägung (eigentlich) auch drei. Deshalb das (3^n).
Aber:
Angenommen, die erste Wägung ergab Gleichgewicht. Es folgt die zweite, es gibt nun wieder 3 mögliche Fälle. Bei der dritten Wägung gibt es jetzt aber plötzlich nur noch 8; nicht 9 (3*3) mögliche Fälle. Ergab die 2. Wägung, dass rechts schwerer ist, so sind drei nachfolgende Fälle möglich; ergab sie links, dann auch; aber ergab sie Gleichgewicht, so sind nur 2 Fälle möglich (aber frag mich bitte nich, warum).
Wenn erste Wägung etwas anderes ergab, verhält es sich ähnlich. Es gibt also für jede Möglichkeit der ersten Wägung nur 8 Möglichkeiten, die nachfolgen könnten. Deshalb das -3 in der Formel (weil 3 Möglichkeiten der ersten Wägung und jeweils eine fehlende nachfolgende Möglichkeit).
Da es für jede Kugel 2 Variationen gibt (schwerer oder leichter), teilt man dann den ganzen Kram noch durch 2.
Ich hoffe, man konnte diese Erklärung einigermaßen verstehen.
Bis denne...
Danny |
Mary (Marsu)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2000 - 13:47: |
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Hey ihr!
Vielen Dank für eure Antworten. Ich denke, dass ich es jetzt verstanden habe. Ich hasse solche Aufgaben manchmal echt. Naja... Aber die Lösung hat mich trotzdem mal interessiert.
Cu, Mary |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 17:54: |
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Hi Mary, Danny!
Mary, wieso hasst du solche Aufgaben? Ich finde sie Klasse! Einfache Frage, die jeder versteht, aber eine ziemlich kniffelige Lösung...
Danny, deinen Erklärungen konnte ich leider nicht so recht folgen. Nochmal zur 38 bzw. 39: Bei vier Wägungen kann man aus 38 Kugeln die falsche Kugel herausfinden und zusätzlich bestimmen, ob sie leichter oder schwerer ist. Wenn es nur darauf ankommt, die falsche Kugel zu bestimmen, dann sind es sogar 39 Kugeln.
Ich stimme mit dir überein: die Formel muss irgenwie von der Form
k = (3n - ein Bisschen)/2
sein. Wie groß allgemein das Bisschen ist, wird wohl unbeantwortet bleiben.
Gruß Z. |
Mary (Marsu)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 21:12: |
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Hallo Zaph!
Hassen tu ich diese Art von Aufgaben nicht richtig, aber bei mir dauert das als ein bißchen, bis ich zu einem Ergebnis komme.
Tschüß, Mary |
Danny Schreiter (Dannys)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Mai, 2000 - 22:35: |
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Hi Zaph, Mary!
Mary, hast du noch mehr solche Aufgaben? Bei selbigen wirds zumindest nicht so schnell langweilig!
Zaph, das mit dem Bisschen ist echt komisch. Ich glaube zwar, dass drei richtig ist, aber um das zu beweisen muss man ja alles nochmal von vorn durchrechnen. Ehrlichgesagt bin ich dazu viel zu faul. Vieleicht findet sich ja mal jemand, dem selbiges nicht zuviel Arbeit macht.
Ciao
Danny |
Mary (Marsu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 11:06: |
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Hallo Danny!
Dass es bei solchen Aufgaben nicht so schnell langweilig wird stimmt.
Ich muss mal schauen, ob ich noch solche Aufgaben habe. Irgendwo müsste ich noch einige haben, aber ich weiß im Moment nicht genau wo.
Ich schau' mal nach...
Tschüß, Mary |
Danny Schreiter (Dannys)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 12:31: |
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Für alle, die es interessiert:
Ich hab diese Aufgabe und Lösung aus lauter Langeweile mal als Word2000- Dokument oder als Textdatei zusammengefasst. Wenn jemand Interesse daran hat, kann er mir einfach eine eMail schicken!
Ciao
Danny |
Bodo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2000 - 23:21: |
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Danny,
wenn Du möchtest, kannst Du das Word-Dokument auch hier als Attachement uploaden.
Wie das geht?
Mit \attach{.....}
Diese und viele andere Formatierungen ... kannst Du hier nachlesen, wenn's Dich interessiert:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/board-formatting.html
Bodo |
Danny (Danny)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 11:20: |
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Hi Bodo!
Stimmt, hab ich gar nicht mehr dran Gedacht.
Hier gibt's jetzt die .zip-File, welche die Aufgaben und die Lösung als Word2000-Dokument und, für Leute ohne Word2000, auch als normale .txt-Datei beinhaltet.
Ciao
Danny |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 21:43: |
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echt klasse! |
Seb G.
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 19:51: |
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ganz leicht:
1. Wiegen:
jeweils 6 Kugeln auf die Waage
2. Wiegen:
den schweren Haufen (mit 6 Kugeln) unterteilen in zwei mal 3 Kugeln und wieder wiegen
3. Wiegen:
Den schwereren Haufen (mit 3 Kugeln) unterteilen in zwei mal 1 Kugel
Entweder die Exzentrische Kugel macht sich jetzt bemerkbar oder sie ist (bei Gleichgewicht) die die du jetzt nicht mit rauf gelegt hast.
cu! |
Nixblicker
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 16:58: |
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Hallo Seb., was machst du, wenn die "Exzentrische Kugel" leichter ist als die andern?
Dann hast du den schwereren Haufen im 2.Schritt ganz vergeblich aufgeteilt, darin befinden sich doch dann nur 6 gleich schwere. |
Seb
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 19:42: |
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stimmt, ich dachte dass es nur eine ist die schwerer ist. In deinem Fall muss natürlich ein anderer Weg gegangen werden. (Allerdings nicht, wenn ich von vornherein weiß, ob sie schwerer ist oder leichter) |
Hannes
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2014 - 10:11: |
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Hey also zu der Formel kann ich sagen dass man das ganze auch Informationstheoretisch angehen kann.
Bei jedem mal wiegen gibt es drei Möglichkeiten, also erhält man mit jedem mal ld(3)=1,585 bit an Information.
Bei 13 Kugeln hat man 26 Möglichkeiten und somit einen Informationsgehalt von ld(26)=4,7 bit.
Man muss also mindestens 4,7/1,585=2,97, somit 3 mal wiegen.
mit 4 mal wiegen kann man schon Quellen mit der Information 4*1,585 bit=6,34 bit herausbekommen.
Dies entspricht:
2^6,34 bit=81.01 Möglichkeiten und somit 40 Kugeln.
Gruß Hannes |
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kugeln.zip
