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Anzahl der Schafe in der Herde

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helmut (hoocker)
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Mitglied
Benutzername: hoocker

Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 12-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Juni, 2003 - 23:03:   Beitrag drucken

Hallo,

hab mal wieder was in den Weiten des WWW gefunden:
Ein Junge fragt einen Schäfer, der seine Schafe bewacht. "Weißt du, wie viele Schafe in deiner Herde sind?" Der Schäfer schüttelt den Kopf.
"Mehr als fünfhundert?" - Wieder verneint der Schäfer.
"Weniger. - Nachts sind sie im sichern Pferch. Wenn ich sie am Morgen paarweise heraus lasse, bleibt eins zurück. Seit ein paar Tagen erhöhe ich die Anzahl täglich um eins, das heißt, ich lasse sie immer zu dritt, zu viert oder in Gruppen zu 5 und so weiter heraus, aber es bleibt auch stets eins zurück. Heute aber wählte ich eine Zahl für die Gruppen und siehe da - es blieb keines allein im Pferch. -
So, nun kannst du ausrechnen, wie groß die Herde ist?"

Helmut
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Martin (martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: martin243

Nummer des Beitrags: 773
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 28. Juni, 2003 - 23:42:   Beitrag drucken

Hi!

Ich versuche es mal so:

Nennen wir unsere Zahl xyz.
Da unsere Zahl die Form 5a+1 haben muss, muss sie auf 5+1=6 oder 0+1=1 enden.

Auf 6 kann sie nicht enden, sonst wäre sie gerade und die Schafe wären tatsächlich alle paarweise herausgekommen. Also xy1.

Da die Zahl auch von der Form 3b+1 ist, wissen wir, dass xy1-1 = xy0 durch 3, also auch durch 30 teilbar sein muss.

Natürlich kann sie auch nicht durch 6 teilbar sein, da wir schon 2 und 3 ausgeschlossen haben.

Kommen wir zur 7. Wir überlegen, ob es überhaupt eine Zahl der Form 7c+1 und gleichzeitig 30d+1 geben kann, die sich auch mit den weiteren Tagen verträgt.
Da 7 und 30 teilerfremd sind, müsste die Zahl die Form 7*30*e+1 = 210*e+1 haben. Unter 500 hätten wir also nur noch 211 und 421.
Nun müsste die Zahl (für den darauffolgenden Tag) die Form 8f+1 haben, was aber auf keine der beiden zutrifft.

Wir wissen also, dass die heutige Gruppenstärke nur 6 betragen kann. Also muss xy1 durch 7 teilbar sein und xy0 durch 2, 3, 4, 5 und 6, also durch 60. Davon gibt es nicht viele.
An dieser Stelle habe ich einfach geschaut, welches Vielfache von 60 unter 500 um eins erhöht durch 7 teilbar ist, und fand nur eines:
300, denn
300 = 5*60 und 301 = 7*43.

Außerdem gilt tatsächlich:
301 = 2*150 + 1
301 = 3*100 + 1
301 = 4*75 + 1
301 = 5*60 + 1
301 = 6*50 + 1
301 = 7*43

Also hat der gute Mann 301 Schafe.

MfG
Martin
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Ingo (ingo)
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Moderator
Benutzername: ingo

Nummer des Beitrags: 664
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Juni, 2003 - 14:21:   Beitrag drucken

"An dieser Stelle habe ich einfach geschaut, welches Vielfache von 60 unter 500 um eins erhöht durch 7 teilbar ist, und fand nur eines: "

Da gibt es einen kleinen Trick, wie man systematischer Vorgehen kann.
Die zu lösende Gleichung ist 60s+1=7t
Betrachten wir das ganze Modulo 7, so lautet die Gleichung 4x+1=0 bzw. -3x-6=0
Es ist unschwer zu erkennen, daß x=-2 eine Lösung ist, also setzen wir s=-2+7k und wegen 0 < 60s+1 = 420k-119<500 <=> 119/420 < k < 619/420 wählen wir k=1 und sind fertig.

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