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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 678
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 16:09: | 
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Hi,
hier mal ein Integral, dass uns unsre Mathelehrer auf der Abschlusskursfete gab. Wer es zu erst löste bekam ne Kiste Bier von ihm...hm, die war lecker.
Wer es hier als erster löst bekommt ein Digitales Bier von mir ;-)
òÖe e 1/(x*(Ö(ln(x)-ln²(x)))) dx
Mein Lehrer hat echt tausende von Büchern nur mit solchen Aufgaben, dass ist was für verregnete Sonntage...
Viel Spass! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2034
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 20:04: |
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Hi Ferdi,
ich möchte mich nicht vordrängen und würde
den Biergenuss in diesen durstigen Zeiten allen
Anderen gönnen………….
Gleichwohl:
Substituiere im Integral ln x = u , also dx / x = du
Grenzen: unten u = ½, oben u = 1
Neuer Integrand
1 / sqrt(u – u ^ 2), Stammfunktion: arc sin(2u – 1)
Wert des Integrals ½ Pi
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Prosit um 21 : 13 |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 681
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 21:22: |
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Perfekt!
So hatte ich es auch gelöst. Ein sehr schönes Ergebniss finde ich, vorallem weil es vorher nicht so erwartet wurde! Ich kann mich noch erinnern was andere Leute daraus hatten...
Na dann, Prost!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2035
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 06:41: |
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Bieridee I
Hi Ferdi
Das von Dir vorgelegte, bravourös gelöste
Integral sei mit F (wie Ferdi) bezeichnet.
Wir wollen nun bei gleich bleibendem Integranden
die Grenzen ändern und die folgenden neuen Integrale
direkt aus F herleiten.
a) Integral G:
unterer Grenze des Integrals: 1
obere Grenze sqrt (e)
b) Integral H:
unterer Grenze des Integrals: 1
obere Grenze e.
Erwünscht sind möglichst elegante Methoden!
Nochmals : Prosit!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2036
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 08:13: |
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Bieridee II
Hi Ferdi,
Wir wollen eine Ortskurve ermitteln.
Gegeben sei der Graph c der Funktion
y = 1 / sqrt (x-x^2)
Die Parallele g zur y-Achse mit der Gleichung
x = u schneidet c im Punkt P(u/v).
Q ist die Normalprojektion von P auf die y-Achse.
R sei das Bild von Q bei der Spiegelung am Kreis
x^2 + y^2 = 1.
Wir kehren zum Tatort zurück.
S sei die Normalprojektion des Punktes R auf die
Gerade g.
Welche Ortskurve beschreibt S , wenn u von
0 bis 1 variiert ??
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 683
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 09:36: |
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Hi,
für das Integral G ergibt sich wie für F der Wert p/2.Das Integral H braucht man dann nicht mehr zu berechnen, es ist die Summe von F und G und es hat den wunderschönen Wert p , was nicht zu erwarten war (wenn man sich den Graphen anschaut...).
Nun will ich mal an der anderen Aufgabe knobbeln...
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 684
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 10:08: |
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So,
ich hoffe nun auch die zweite Aufgabe gelöst zu haben!
S bewegt sich auf einem Halbkreis mit dem Mittelpunkt M(1/2|0) und dem Radius r=1/2, wenn u zwischen 0 und 1 variiert Es ist dann nur der Teil des Kreises oberhalb der x-Achse zu betrachten.
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2037
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 10:48: |
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Hi Ferdi,
Alles roger,alles ok!
Sollen wir die Lösungswege ins Netz stellen,damit Andere auch profitieren können ?
Du könntest dabei die Aufgabe mit dem Kreis übernehmen;
ich würde mich mit den Integralen beschäftigen
MfG
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 685
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 11:48: |
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Kein Problem!
Hier meine Lösung in Teilschritten:
I) Schnittpunkt von c und x=u
c= 1/Ö(x-x²) geschnitten mit x=u gibt den Schnittpunkt P mit den Koordinaten (u|1/Ö(u-u²))
II) Die Projetion von P auf die y-Achse
Dies ist fast trivial. Alle Punkte auf der y-Achse haben die x-Koordinate 0, da es sich um eine Normalprojetion handelt entsteht also der Punkt Q mit den Koordinaten (0|1/Ö(u-u²))
III) Die Spiegelung von Q am Einheitkreis
Bei der Spiegelung am Einheitskreis bin ich rein mechanisch vorgegangen, die Koordinaten des Bildpunktes lauten bei Spiegelung am Einheitskreis:
x'=x/(x²+y²)
y'=y/(x²+y²)
Das wurde hier im Board auch schon hergeleitet (wen es interessiert). Also lauten nach den obigen Bedingungen die Koordinaten des Bildpuntes R von Q (0|Ö(u-u²))
IV) Projektion von R auf x=u
Hier ist es wieder trivial, Normalprojektionauf x=u, d.h. alle Punkte auf der Geraden haben die x-Koordinate u. Wir erhalten also das gesuchte S als (u|Ö(u-u²))
V) Aufstellen der Ortskurve
Wir haben nun den Punkt S in Abhängigkeit von u, wir eliminieren nun diesen Parameter:
x=u
y=Ö(u-u²)
==>y=Ö(x-x²) ist die gesuchte Ortskurve.
Formt man diese eine wenig um so erhält man:
(x-1/2)²+y²=1/4 , wobei hier wie gesagt nur der positive Teil des Kreises betrachtet wird.
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2038
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 13:19: |
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Hi allerseits,
Das Integral F mit dem Integranden
1/ [x sqrt ( ln x – (ln x)^2)]
untere Grenze x = sqrt(e), obere Grenze x = e
geht durch die Substitution ln x = u, wie schon
früher dargelegt, in das Integral mit dem
Integranden 1 / sqrt (u – u ^ 2) über,
mit u = ½ als untere und u = 1 als obere
Grenze; es gilt
F = ½ Pi.
Übt man nun auf das Integral in u die Substitution
u = 1 - t aus, wobei dt = - du und
u – u^2 = 1 – t – (1 – t) ^ 2 = t - t^2 gelten.
Das Integral in t bekommt dann den Integranden
- 1 / sqrt (t – t ^ 2); die untere Grenze ist jetzt
t = ½, die obere t = 0
Vertauscht man diese Grenzen und lässt gleichzeitig
das Minuszeichen beim Integranden weg, so kommt
ein Integral in der Variablen t, das bei der
Rücktransformation t = ln x haargenau auf das Integral
G führt. Somit gilt G = F
Der Nachweis, dass H = 2 F gilt, ist trivial.
Anmerkung
Mit der zweiten Bieridee wollte ich zeigen, dass der Kreis
und sei es nur ein Halbkreis, eine Rolle spielt.
Damit ist Pi involviert, und das wird die Freunde der Zahl PI,
deren Vereinssitz sich in Wien befindet, freuen;
wahrlich ein Grund zum Feiern !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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