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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 678 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 16:09: |
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Hi, hier mal ein Integral, dass uns unsre Mathelehrer auf der Abschlusskursfete gab. Wer es zu erst löste bekam ne Kiste Bier von ihm...hm, die war lecker. Wer es hier als erster löst bekommt ein Digitales Bier von mir ;-) òÖe e 1/(x*(Ö(ln(x)-ln²(x)))) dx Mein Lehrer hat echt tausende von Büchern nur mit solchen Aufgaben, dass ist was für verregnete Sonntage... Viel Spass! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2034 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 20:04: |
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Hi Ferdi, ich möchte mich nicht vordrängen und würde den Biergenuss in diesen durstigen Zeiten allen Anderen gönnen…………. Gleichwohl: Substituiere im Integral ln x = u , also dx / x = du Grenzen: unten u = ½, oben u = 1 Neuer Integrand 1 / sqrt(u – u ^ 2), Stammfunktion: arc sin(2u – 1) Wert des Integrals ½ Pi °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Prosit um 21 : 13 |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 681 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Mai, 2003 - 21:22: |
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Perfekt! So hatte ich es auch gelöst. Ein sehr schönes Ergebniss finde ich, vorallem weil es vorher nicht so erwartet wurde! Ich kann mich noch erinnern was andere Leute daraus hatten... Na dann, Prost! mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2035 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 06:41: |
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Bieridee I Hi Ferdi Das von Dir vorgelegte, bravourös gelöste Integral sei mit F (wie Ferdi) bezeichnet. Wir wollen nun bei gleich bleibendem Integranden die Grenzen ändern und die folgenden neuen Integrale direkt aus F herleiten. a) Integral G: unterer Grenze des Integrals: 1 obere Grenze sqrt (e) b) Integral H: unterer Grenze des Integrals: 1 obere Grenze e. Erwünscht sind möglichst elegante Methoden! Nochmals : Prosit! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2036 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 08:13: |
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Bieridee II Hi Ferdi, Wir wollen eine Ortskurve ermitteln. Gegeben sei der Graph c der Funktion y = 1 / sqrt (x-x^2) Die Parallele g zur y-Achse mit der Gleichung x = u schneidet c im Punkt P(u/v). Q ist die Normalprojektion von P auf die y-Achse. R sei das Bild von Q bei der Spiegelung am Kreis x^2 + y^2 = 1. Wir kehren zum Tatort zurück. S sei die Normalprojektion des Punktes R auf die Gerade g. Welche Ortskurve beschreibt S , wenn u von 0 bis 1 variiert ?? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 683 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 09:36: |
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Hi, für das Integral G ergibt sich wie für F der Wert p/2.Das Integral H braucht man dann nicht mehr zu berechnen, es ist die Summe von F und G und es hat den wunderschönen Wert p , was nicht zu erwarten war (wenn man sich den Graphen anschaut...). Nun will ich mal an der anderen Aufgabe knobbeln... mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 684 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 10:08: |
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So, ich hoffe nun auch die zweite Aufgabe gelöst zu haben! S bewegt sich auf einem Halbkreis mit dem Mittelpunkt M(1/2|0) und dem Radius r=1/2, wenn u zwischen 0 und 1 variiert Es ist dann nur der Teil des Kreises oberhalb der x-Achse zu betrachten. mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2037 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 10:48: |
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Hi Ferdi, Alles roger,alles ok! Sollen wir die Lösungswege ins Netz stellen,damit Andere auch profitieren können ? Du könntest dabei die Aufgabe mit dem Kreis übernehmen; ich würde mich mit den Integralen beschäftigen MfG H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 685 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 11:48: |
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Kein Problem! Hier meine Lösung in Teilschritten: I) Schnittpunkt von c und x=u c= 1/Ö(x-x²) geschnitten mit x=u gibt den Schnittpunkt P mit den Koordinaten (u|1/Ö(u-u²)) II) Die Projetion von P auf die y-Achse Dies ist fast trivial. Alle Punkte auf der y-Achse haben die x-Koordinate 0, da es sich um eine Normalprojetion handelt entsteht also der Punkt Q mit den Koordinaten (0|1/Ö(u-u²)) III) Die Spiegelung von Q am Einheitkreis Bei der Spiegelung am Einheitskreis bin ich rein mechanisch vorgegangen, die Koordinaten des Bildpunktes lauten bei Spiegelung am Einheitskreis: x'=x/(x²+y²) y'=y/(x²+y²) Das wurde hier im Board auch schon hergeleitet (wen es interessiert). Also lauten nach den obigen Bedingungen die Koordinaten des Bildpuntes R von Q (0|Ö(u-u²)) IV) Projektion von R auf x=u Hier ist es wieder trivial, Normalprojektionauf x=u, d.h. alle Punkte auf der Geraden haben die x-Koordinate u. Wir erhalten also das gesuchte S als (u|Ö(u-u²)) V) Aufstellen der Ortskurve Wir haben nun den Punkt S in Abhängigkeit von u, wir eliminieren nun diesen Parameter: x=u y=Ö(u-u²) ==>y=Ö(x-x²) ist die gesuchte Ortskurve. Formt man diese eine wenig um so erhält man: (x-1/2)²+y²=1/4 , wobei hier wie gesagt nur der positive Teil des Kreises betrachtet wird. mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2038 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 09. Mai, 2003 - 13:19: |
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Hi allerseits, Das Integral F mit dem Integranden 1/ [x sqrt ( ln x – (ln x)^2)] untere Grenze x = sqrt(e), obere Grenze x = e geht durch die Substitution ln x = u, wie schon früher dargelegt, in das Integral mit dem Integranden 1 / sqrt (u – u ^ 2) über, mit u = ½ als untere und u = 1 als obere Grenze; es gilt F = ½ Pi. Übt man nun auf das Integral in u die Substitution u = 1 - t aus, wobei dt = - du und u – u^2 = 1 – t – (1 – t) ^ 2 = t - t^2 gelten. Das Integral in t bekommt dann den Integranden - 1 / sqrt (t – t ^ 2); die untere Grenze ist jetzt t = ½, die obere t = 0 Vertauscht man diese Grenzen und lässt gleichzeitig das Minuszeichen beim Integranden weg, so kommt ein Integral in der Variablen t, das bei der Rücktransformation t = ln x haargenau auf das Integral G führt. Somit gilt G = F Der Nachweis, dass H = 2 F gilt, ist trivial. Anmerkung Mit der zweiten Bieridee wollte ich zeigen, dass der Kreis und sei es nur ein Halbkreis, eine Rolle spielt. Damit ist Pi involviert, und das wird die Freunde der Zahl PI, deren Vereinssitz sich in Wien befindet, freuen; wahrlich ein Grund zum Feiern ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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