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Beitrag |
    
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 14:12: | 
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Huhu!
Kann jemand von Euch mal bitte die Umfaenge fuer folgende Ellipsen auf 8-10 Nachkommastellen genau berechnen? (a und b sind jeweils die Radien, nicht die Durchmesser)
1. a=1, b=2
1. a=1, b=3
1. a=1, b=4
1. a=1, b=5
1. a=1, b=5.5
1. a=1, b=6
1. a=1, b=6.5
1. a=1, b=7
1. a=1, b=8
1. a=1, b=9
1. a=1, b=10
Oder vielleicht kann sich ja noch wer Gedanken ueber das machen, was ich hier grad mache:
Es geht um den relativen Unterschied zwischen dem jeweils wirklichen Ellipsenumfang und Pi(a+b)...
Das ganze in ein Koordinatensystem uebertragen gibt ´ne bestimmte Kurve. U(f) (f soll fuer "falsch" stehen) ist Pi(a+b) und U(r) (r = richtig ;) ) der wirkliche Umfang.
x=b/a
und
y=[100/U(f)*U(r)]-100
x stellt also den Laengenunterschied zwischen a und b dar (b>a !!), y gibt an, wieviel Prozent von Pi(a+b) zu selbigem dazuaddiert werden muessen, um auf den wahren Umfang einer Ellipse zu kommen, welche b/a=x hat.
Wie genau die Kurve bis x(90) oder x(100) aussieht, taete mich mal interessieren - ich hab leider kein Programm mehr, um die korrekten Umfaenge annaehernd berechnen zu lassen... deswegen brauch ich eure Hilfe! Danke im Voraus :-)
Bis denn, c-eAGLE (Roberto)
PS: Falls jemand ein Programm kennt oder hat, womit man Ellipsenumfaenge beliebig genau (oder zumindest bis zur 8ten Nachkommastelle genau) berechnen lassen kann, dann nichts wie her damit!!! |
Lukas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 17:17: |
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Hallo Roberto,
Gehört das zu Denksport? |
G
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 19:47: |
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Es gibt Leute, denen man es nie recht machen kann, egal wie man es anstellt. Für den einen ist Langlauf der Sport überhaupt, für die anderen ist es nur notwendige Grundlage, um Kondition für andere Sportarten zu erreichen.
Wenn Roberto viel Zeit dahineinsteckt, warum soll man nicht sagen können, Mathematik dient ihm zur Unterhaltung wie anderen vielleicht das Angeln - (es gibt Leute, die betrachten Angeln als Sport) und somit von Unterhaltungsmathematik sprechen?
Ich schätze, auch mit dieser Art von Mathematik kann man mathematische Kondition - vergleichbar mit körperlicher Kondition - erreichen.
Huhu Roberto,
vielleicht bekommst du eine Antwort, die dir weiterhilft, wenn du die Frage auf
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/24/4524.html
oder auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/4610.html nochmal stellst.
Vielleicht etwas umformuliert dahingehend, ob dir jemand eine (Näherungs-)formel für den Umfang in Abhängigkeit von der Länge der Halbachsen angeben kann, um sie mit deiner zu vergleichen. |
Murray (Murray)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 19:52: |
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Die durchaus hübsche Theorie findest Du unter http://www.mathematik-online.de/F57.htm
Jetzt mußt Du Dir nur noch ein "kleines" Programm schreiben :-)
Murray |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 21:44: |
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Hi Roberto ,
Ganz im Sinne von „G“ gebe ich Dir ein par Hinweise zur
näherungsweisen Berechnung des Umfangs einer Ellipse.
Ich entnehmen die Ausführungen einer früheren Auflage der
von mir neulich propagierten Formelsammlung
„Mathematische Tafeln und Formeln“, erschienen im
Orell Füssli –Verlag, Zürich
(damaliger Verfasser : Erwin Voellmy).
In einer Tabelle findet man zunächst für die Verhältnisse q = b : a
der kleinen Halbachse b zur grossen Halbachse a Werte von u1
aufgeführt, etwa so (Ausriss) :
zu q = 0,20 gehört u1 = 4,2020
zu q = 0,21 gehört u1 = 4,2186
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zu q = 0,30 gehört u1 = 4,3859
zu q = 0,31 gehört u1 = 4,4063
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zu q = 0,40 gehört u1 = 4,6026
zu q = 0,41 gehört u1 = 4,6258
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zu q = 0,75 gehört u1 = 5,5259
zu q = 0,76 gehört u1 = 5,5549
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zu q = 0,98 gehört u1 = 6,2205
zu q = 0,99 gehört u1 = 6,2518
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Beispiel: a = 4cm , b = 3 cm => q= 0,75 u1 = 5,5259
Umfang u ~ 4 * 5,5259 ~22,104 cm .
Benützt man für kleinere Werte von q mit zwei Gliedern den Anfang einer
unendlichen Reihe von Legendre, nämlich:
u ~ 4a + 2 * b^2 / a * [ ln (4a / b) – ½ ] , so erhält man Ergebnisse, die nur
um wenig zu klein sind , z.B. für a = 1 und b = 0,1 den Wert 4,0638, der bloss
um 0,05 Promille abweicht.
Für grössere Werte von q eignet sich noch besser der Anfang einer andern
Reihe:
u ~ Pi * [a + b + (a -b) ^ 2 / { 4*(a+b) } ] = ½ * Pi * [ 5 * (a+b)/2 - 2 a*b /(a+b) }
Wiederum wird die Näherung etwas zu klein.
So entsteht für a=1, b=0,6 u = 5,1051 statt 5,1054 ; Abweichung 0,06 Promille.
Ratschlag:
Für q <=0,27 verwende man die erste, für q >0,27 die zweite Näherung.
Der relative Fehler wird dann nie grösser als 1,8 Promille
Wenn das Bedürfnis besteht, kann ich in einem Nachtrag über die
Näherung von Boussinesq und die beiden Formeln von Soreau sprechen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 22:48: |
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Hi Roberto,
Als Testbeispiel sei der Umfang u einer Ellipse mit a = 10, b = 6 angegeben.
Der Näherungswert wurde anhand einer Tafel für elliptische Integrale zweiter
Gattung berechnet nach der Originaltabelle, die Legendre in seinem Werk
<< Traité des fonctions elliptiques >> verwendet hat.
Man erhält mit dieser Tabelle :
u ~ 4 * 10 * 1,27634994 = 51,0539976
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit der erwähnten einfacheren Tabelle in meiner letzten Arbeit kommt für q = 0,6
u ~ 10 * 5,1054 = 51,054 ( nicht schlecht !).
Andere Näherungen kannst Du selber finden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 00:36: |
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Huhu!
Danke fuer Eure Antworten!! 
Lukas: eher wuerde es in eine "Hobbymathe"-Kathegorie passen, aber soetwas gibt es hier nicht. Mathe ist eines meiner groessten Hobbies - fuer mich is des von den Prioritaeten her fast so wichtig wie extrem gute Freundschaften, teilweise wichtiger ... is nur schade, dass es nur wenige gibt, denen es aehnlich geht.
megamath: Mit sowas Ausfuehrlichem hab ich gar nicht gerechnet, vielen Dank fuer die Ausfuehrungen! Wenn Du etwas Zeit uebrig hast, waere es toll, wenn Du noch mehr ins Detail gehen koenntest. Siehst Du eigentlich Mathe selbst als eines Deiner Hobbies an? Waerst schon die zweite Person, die ich kenne, der es so ginge, wie mir!! ;-)
Was ich mich, seitdem ich mich mal wieder damit befasse, frage: ist es moeglich, eine moeglichst kurze und elegante Formel mit ENDLICH vielen Faktoren zu erdenken, die die Werte aus Deiner Tabelle oder die aus meinem Koordinatensystem moeglichst genau wiedergibt? Welches davon es wiedergeben wuerde, waere ja ansich egal. Oder kennst Du vielleicht bereits eine?
Ich habe jetzt nur ein seltsames Problem... und zwar, wenn ich mal von meinem Koordinatensystem ausgehe, wie es oben steht...
die Kurve wuerde, natuerlich in x-Richtung, von x=1 bis x=5 erstmal relativ steil ansteigen ( von y=0 bis zu ca. y=13), anschliessend nicht ganz so steil wieder absteigen, und schliesslich, wenn x gegen unendlich geht, wuerde y=4 oder 5 oder so werden - letzteres ist allerdings jetzt nur ´ne Schaetzung... diese Kurve sagt also aus, dass der Fehlerfaktor zuerst groesser wird und anschliessend wieder abnimmt - kommt das aufgrund eines Rechenfehlers/Logikfehlers/Denkfehlers meinerseits, oder wie koennte man das sonst erklaeren? Oooder ist es voellig logisch, dass die Kurve so verlaeuft?
Wie gesagt, wenn Du etwas Zeit uebrig hast, waer es super, wenn Du ein bissl ins Detail gehen koenntest, egal inwieweit - ich interessier mich hobbymaessig sehr fuer mathematische Angelegenheiten, die fuer Ottonormalbuerger ansich relativ unwichtig zu sein scheinen: moeglichst genaue Berechnung von Ellipsenumfaengen OHNE Integralrechnung ... eine Umkehrung von x^x, auch wenn nur annaehernd ... relativ simple Formeln um komplexere Dinge zu vereinfachen ... mit Quersummen und Totalquersummen kann man uebrigens auch mehr machen, als man denkt ... und noch vieles mehr, aber ich hoer mal auf - will ja niemanden verscheuchen ;-)
Bis denn, c-eAGLE |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 09:48: |
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Hi Roberto,
Es sind ein paar Anfragen bei mir eingetroffen, die zeigen, dass
Deine Frage nach der näherungsweisen Ermittlung des Umfangs u
einer Ellipse mit den Halbachsen a und b (a>b) auf grosses Interesse stösst.
Daher werde ich in lockerer Folge auf einige Details eingehen.
Zunächst dies:
Wie geht man mit der in meinem letzten Beitrag erwähnten Tabelle, deren
Zahlenwerte direkt auf Berechnungen von Legendre zurückgehen , um ?
(Adrien Marie Legendre,1752-1833)
Tabelliert sind die Zahlenwerte der elliptischen Integrale, insbesondere des
elliptischen Integrals zweiter Gattung E = E ( k , ½ * Pi),
mit k = sin (alpha) auf 5 Stellen nach dem Komma.
In der 1. Leitspalte steht der Winkel alpha, neckischerweise in Winkelgraden ,
alpha läuft von 0 bis 90°, Schrittweite 1°.
In der ersten Zeile stehen die Winkelminuten von 0 bis 48 Minuten,
Schrittweite 12 Minuten.
Am Beispiel a = 10 , b = 6 demonstriere ich das Vorgehen.
Ermittlung der linearen Exzentrizität e = wurzel (a^2 - b^2 ) = 8
Bestimme die numerische Exzentrizität epsilon = e / a = 0,8
Setze k = epsilon = 0,8.
Ermittle alpha im Gradmass aus der Beziehung k = sin (alpha)
Resultat : alpha =53,13010235 ° ~ 53 ° 8 ´ (Minuten)
Der Tabelle entnimmt man (durch Interpolation) den Wert Q:
Q = 1,27635
Q stellt für a = 1 näherungsweise die Bogenlänge der Viertelellipse dar .
Somit gilt für den Umfang u der gegebenen Ellipse :
u ~ 10* 4*Q = 51.054
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
In diesem Zusammenhang erwähne ich noch die Näherungsformeln
von Soreau , bekannt seit 1921:
u ~ 4* a * k * Pi / sin ( k* Pi )
Setze für k:
a) k = b / (a+b)
b) k = b / a * [ a + 0,03*b] / [ 0,97 * a + 1,09 * b)]
Für das Beispiel a = 10 , b = 6 kommt:
a) k = 0,375 , u ~ 51,0065
b) k = 0,3761083744 , u ~51,0839,
Wir nehmen das arithmetische Mittel m beider Werte :
m = 51,045
Vertauscht man noch die letzten beiden Ziffern (!), so ist
man im Ziel .
Schlussbemerkung
Heutzutage, rund zwei Jahrhunderte nach dem Zeitalter von Lagrange,
rechnet man solche Näherungen statt mit mühsam erstellten
Tabellen mit Computer Algebra Systemen, die auch für
Hobby-Mathematiker geeignet sind.
Mit Maple z.B. erhalten wir für unser Beispiel:
EllipticE(0.8) = 1,276349943;
u = 40* EllipticE(0.8) ~ 51,05399772
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
q |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 19:53: |
|
Hi Roberto
Wenn Du Zugang zu einem Computer-Algebra-System (CAS) hast,
z.B. zu Maple, empfehle ich Dir, damit die Funktion
u =f(x) = 4* EllipticE(x) graphisch darzustellen.
u stellt den Umfang einer Ellipse mit der Halbachse a = 1 dar,
Für die Halbachse b gilt dann 0< = b < = 1 ; ferner ist
x = k die numerische Exzentrizität der Ellipse , welche aus a und b
wie folgt berechnet wird:
k = 1 / a * wurzel(a^2-b^2)
Für b = 0 (k=x=1) ist die Ellipse zu einer Doppelstrecke der Länge 2
(also u = 4 ) degeneriert,
Für b = 1 (k= x =0) wird aus der Ellipse ein Kreis mit dem Radius 1
(u = 2*Pi)
In EllipticE(x) steckt die elliptische Funktion zweiter Gattung, die mit
i.a. mit E ( ½*Pi , k) bezeichnet wird.
Es ist reizvoll, die erste und die zweite Ableitung von f(x) zu ermitteln.
Jetzt tauchen auch elliptische Integrale erster Gattung, bei Maple mit
der Bezeichnung EllipticK(x) , auf.
Wir bekommen:
f ’(x) = 4 / x * [EllipticE(x) – EllipticK(x)]
f ´’ (x) = 4* [EllipticE(x) - EllipticK(x) + u^2* EllipticK(x) ] / [ x^2*(x^2-1)]
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 19:59: |
|
Hi Roberto,
In einer meiner früheren Arbeiten habe ich die Näherungsformel
von Boussinesq für den Ellipsenumfang u erwähnt.
In ihr treten das arithmetische Mittel ½ *(a+b) und das geometrische Mittel
wurzel [(a*b) ] der Halbachsen a und b auf .
Die Näherungsformel lautet:
u ~ Pi* [3* ½ *(a+b) - wurzel [(a*b)].....................................................(B)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929),französischer Physiker und
Mathematiker, entdeckte die nach ihm benannte Formel 1889.
Wir testen unser Standardbeispiel a = 10, b = 6 mit Boussinesq;
wir erhalten die Näherung 51,06355 , eine Kleinigkeit zu gross !
Wir wollen bei dieser Näherungsformel hinter die Kulissen sehen, indem wir
die recht Seite in eine Potenzreihe nach k entwickeln.
Dabei ist k die numerische Exzentrizität der Ellipse , welche aus a und b
wie folgt berechnet wird:
k = 1 / a * wurzel(a^2-b^2) ; im obigen Zahlenbeispiel gilt k = 0,8.
Wenn wir dann die so ermittelte Reihe mit der Reihenentwicklung für u
gemäss der Formel
u = 4 * a * E ( ½*Pi , k) ,
in der ein elliptisches Integral zweiter Gattung steckt, vergleichen ,
stellen wir mit Ueberraschung fest, dass die beiden Reihen in den ersten vier
Gliedern völlig übereinstimmen. Erst im fünften Glied stellen wir
Eine (geringe) Abweichung fest.
Auf Wunsch werde ich beide Entwicklungen anschreiben und auch herleiten
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 22:14: |
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Hi Megamath!
Ich lese gespannt mit und mir gehts sicherlich nicht allein so. Ich denke mal, jeder, den´s auch interessiert, der mitliesst, waere ebenso wie ich ueber immer mehr Details erfreut.
Mich persoenlich interessieren auch alle moeglichen Hintergruende von Formeln - alle moeglichen Details, die fuer die meisten Ottonormalmathematiker (was fuern Wort, ist aber nicht abwertend gemeint ) vielleicht eher weniger fuer Bedeutung sind... aber ich kann da nur fuer mich sprechen - falls hier also noch mehr Leser sind, die das ebenfalls interessieren wuerde, waer´s nett, wenn ihr das schreiben koenntet!!
Auch wenn es nicht wirklich hier reinpasst, aber ich haette noch eine andere Frage bezueglich einer anderen Naeherungsformel: das Newton-Verfahren zur Naeherungsberechnung von Wurzeln... Wie kann man diese Formel herleiten? Wie koennte jemand mit Newton´s damaligen Mitteln auf diese Formel gekommen sein? usw.
Bis denn, c-eAGLE (Roberto) |
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