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Beitrag |
    
Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 10:32: | 
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Hallo Leute,
wer kennt dies oder kann es beweisen?
((Das Produkt aller Zahlen der n+1 ten Reihe im Pascalschen Dreieck)
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(Das Produkt aller Zahlen der n ten Reihe im Pascalschen Dreieck))
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((Das Produkt aller Zahlen der n ten Reihe aller Zahlen im Pascalschen Dreieck)
/
(Das Produkt aller Zahlen der n-1 ten Reihe im Pascalschen Dreieck))
ist genau (1+1/n)^n.
Daraus folgt dann:
Das Produkt aller Zahlen der n+1ten Reihe durch das produkt aller Zahlen der nten reihe nähert sich asymptomatisch e^(n-1).
Vielen Dank,
Stefan |
Thomas Strohmann (mrt22)
Neues Mitglied
Benutzername: mrt22
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 05-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. März, 2003 - 08:01: |
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Hallo Stefan,
wirklich eine interessante Eigenschaft des Pascalschen Dreiecks.
Also, ich versuche mich mal an einem Beweis. Zuerst zeige ich,
dass das Verhaeltnis Produkt(n+1) / Produkt(n) = (n+1)^n / n! ist:
Die i'te Spalte der n'ten Reihe im Pascalschen Dreieck is bekanntlich:
(n ueber i) = n! / (i!*(n-i)!), d.h.
Produkt(n+1) / Produkt(n) =
P_{i=0 bis n+1} (n+1 ueber i) / P_{i=0 bis n} (n ueber i) =
P_{i=1 bis n} (n+1 ueber i) / P_{i=1 bis n} (n ueber i) =
(die Einser am Rand des Dreiecks aendern das Produkt nicht)
Jetzt setzt man fuer (n ueber i) die Formel mit Fakultaeten ein:
((n+1)!)^n / [(n!)^n] * P_{i=1 bis n} i! (n-i)! / [P_{i=1 bis n} i! (n+1-i!)] =
(n+1)^n * 1/n!
(der einzige Term der sich nicht wegkuerzt ist (n+1-i)! fuer i=1 im Nenner)
Mit diesem Hilfssatz laesst sich der eigenltiche Satz leicht beweisen:
[Produkt(n+1) / Produkt(n)] / [Produkt(n) / Produkt(n-1)] =
[(n+1)^n / n!] / [n^(n-1) / (n-1)!] =
(n+1)^n / n^n = [(n+1)/n]^n = (1+1/n)^n
qed
viele Gruesse
Thomas |
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