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Marco (Skylinegtr2)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 16:50: | 
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Die Spieler A und B werfen eine Münze, bis entweder die von A vorausgesagte Sequenz ZWZ oder die von B getippte Sequenz ZZW fällt. Beispielsweise gewinnt A im Fall WZWZ, B gewinnt z.B. beim Spielverlauf WWZZW. Haben beide Spieler die gleiche Gewinnchance? |
anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 22:43: |
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logischerweise würd ich sagen 50:50
is es aber sicher nicht, sonst wäre das rätsel nicht in dieser rubrik...
also, kleine hilfe bitte... |
Zexel
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 14:23: |
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Die erstaunliche Antwort lautet: Für Spieler B ist die Chance doppelt so groß wie für Spieler A:
Das Spiel kann nämlich nur dann ein Ende finden, wenn irgendwann Z fällt. A gewinne mit der Wahrscheinlichkeit PA, dann gilt: PA = P(ZWZ) + P(ZWW)×PA Þ PA = 1/4 + 1/4×PA Þ PA = 1/3 Þ PB = 2/3.
Es gibt sogar zu jeder beliebigen Dreier-Sequenz eine andere, deren Gewinnchance zweimal, dreimal oder siebenmal höher ist. Setzt A auf ZZW und B auf WZZ, so gewinnt A genau dann, wenn im ersten und zweiten Wurf Z fällt Þ PA = 1/4. Setzt A auf WZZ und B auf WWZ, dann ist PA = 1/3 (vgl. ZWZ / ZZW ). Wählt A die Sequenz ZZZ und B setzt auf WZZ, so kann A nur im dritten Wurf gewinnen Þ PA = 1/8. Die übrigen vier Fälle sind zu den oben genannten äquivalent.
Alles Klar?
lg Zexel |
Zexel
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 14:27: |
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Zum klaren Verständnis:
Die Berechnung zum Fall: "A setzt auf ZWZ und B auf ZZW" ergibt sich aus den folgenden Überlegungen:
Es wird solange gespielt, bis einer der Spieler gewinnt. Folglich kann das Spiel nur dann enden, wenn irgendwann Z fällt. Dieser erste Z-Wurf tritt mit der Wahrscheinlichkeit P = 1 - limn®¥1/2n = 1 ein. Wenn anschließend sofort wieder Z fällt, kann Spieler A nicht mehr gewinnen. Andernfalls fällt in den nächsten zwei Würfen entweder WZ (P = 1/4) und A hat gewonnen oder es fällt WW (P=1/4). Im letzteren Fall kann das Spiel nur dann enden, wenn irgendwann wieder Z geworfen wird ...
Daraus folgt: PA = 1/4 + 1/4×(1/4 + 1/4×(1/4 + ... ad infinitum = 1/4 + 1/42 + 1/43 + ... Der Summenwert dieser geometrischen Reihe beträgt 1/(1-1/4) - 1 = 1/3 Þ P(B) = 1 - 1/3 = 2/3.
Ich habe in meiner kurzen Herleitung allerdings nicht mit der geometrischen Reihe argumentiert, sondern eine noch einfachere Methode angewandt, mit der man Grenzwerte von rekursiv definierten Folgen aus sich selbst heraus bestimmt. |
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