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Beitrag |
    
Julia
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 14:49: | 
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Eine Eisenbahnstrecke soll von x über y nach z geführt werden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die drei Orte (x,y)-Koordinaten (-2,-10), (0,0) und (1,3) haben. Zwischen y und x soll die Strecke durch ein Polynom f(x) vom Grad höchstens drei beschrieben werden, ebenso zwischen y und z durch ein Polynom g(x) vom Grad höchstens drei. Damit die Bahnfahrt durch y nicht zu rumpelig wird, sollten die ersten zwei Ableitungen der beiden Polynome f(x) und g(x) bei x=0 übereinstimmen. Aus technischen Gründen wird weiterhingefordert, dass die Bahnstrecke x in einem gewissen Winkel verlässt und in z in einem gewissen Winkel eintrifft. Die entsprechenden Bedingungen sind f ’(-2) = 13 und g’(1)=7. Bestimmen Sie alle Koeffizienten der beiden Polynome f und g! |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 18:12: |
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OK, mal sehen, was wir haben:
f(x) geht durch X(-2,-10) und durch Y(0,0), also gilt:
(I) f(-2)=-10
(II) f(0)=0
Dann ist:
(III) f'(-2)=13
(IV) f'(0)=g'(0)
(V) f"(0)=g"(0)
Für g(x) gilt, dass das Polynom durch Y(0,0) und Z(1,3) geht, also:
(VI) g(0)=0
(VII) g(1)=3
Und schließlich soll gelten:
(VIII) g'(1)=7
Die beiden Polynome f und g sollen die folgenden Koeffizienten haben:
f(x)=ax³+bx²+cx+d und
g(x)=ex³+fx²+gx+h.
Also packen wir unsere 8 Bedingungen in ein lineares Gleichungssystem mit 8 Variablen (a bis h):
(I) (-2)³a + (-2)²b + (-2)c + d = -10
(II) 0³a + 0²b + 0c + d = 0
(III) 3(-2)²a + 2(-2)b + c = 13
(IV) 3*0²a + 2*0b + c - 3*0e - 2*0f - g = 0
(V) 6*0a + 2b - 6*0e - 2f = 0
(VI) 0³e + 0²f + 0g + h = 0
(VII) 1³e + 1²f + 1g + h = 3
(VIII) 3*1²e + 2*1f + g = 7
Sieht schlimm aus, aber man kann sich das leichter machen, indem man alles erstmal ausrechnet:
(I) -8a + 4b - 2c + d = -10
(II) d = 0
(III) 12a - 4b + c = 13
(IV) c - g = 0
(V) 2b - 2f = 0
(VI) h = 0
(VII) e + f + g + h = 3
(VIII) 3e + 2f + g = 7
(II) und (VI) liefern d=0 und h=0, was wir in (I) und (VII) einsetzen können.
(IV) und (V) liefern g=c und f=b, so dass wir in (VII) und (VIII) g durch c und f durch b ersetzen.
Wir erhalten nun etwas Einfacheres:
(I) -8a + 4b - 2c = -10 <=> -4a + 2b - c = -5
(III) 12a - 4b + c = 13
(VII) e + b + c = 3
(VIII) 3e + 2b + c = 7
Löst man dieses Gleichungssystem, so erhält man:
a=1, b=0, c=1, e=2, außerdem (s.o.) d=0, f=0, g=1, h=0.
Also erhalten wir die Polynome:
f(x)= x³+x und g(x)=2x³+x |
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