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Widi
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 17:21: | 
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jemand aus meiner klasse hat mir ein rätsel gestellt. ich bin allerdings der meinung, dass es ein unmöglichs rätsel ist!
Kann man 36 Offiziere von 6 verschiedenen Regimentern und
6 verschiedenen Dienstgraden so in einem Quadrat aufstellen, dass
keine Zeile und keine Spalte zwei Offiziere desselben Regiments bzw.
mit demselbem Dienstgrad enthält?
Eine Lösung wär echt super! (Bestätigung dass es unmöglich ist ist auch ok!) |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 20:44: |
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Hi Widi,
Einige Bemerkungen zum Eulerschen Problem der36 Offiziere.
Die von Dir genannte Aufgabe wurde Leonhard Euler am
Hofe Katharinas der Grossen in Petersburg vorgelegt.
Euler konnte trotz Bemühungen und interessanten Ansätzen
keine Lösung finden, und er war schliesslich der (richtigen)
Meinung, dass es für den Fall n = 6 (6 verschiedene Dienstgrade
aus 6 verschiedenen Regimentern) keine Lösung gäbe.
Erst viel später, nämlich im Jahr 1900, gelang es dem französischen
Mathematiker G.Tarry, den Unmöglichkeitsbeweis für n = 6 zu
erbringen.
Ungefähr vor 50 Jahren gelang der Nachweis, dass die Aufstellung
für alle natürlichen Zahlen n> = 3 möglich ist,
ausser eben für die in Petersburg vorgegebene Zahl n= 6 (!)
Für n = 4 sei die folgende Lösung genannt
(erste Zahl: Nummer des Dienstgrades, zweite Zahl :Regimentsnummer):
11,22,33,44
23,14,41,32
34,43,12,21
42,31,24,13
Hoffentlich sind Dir diese Angaben dienlich !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 08:11: |
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Hi Widi,
In einem Nachtrag gebe ich Dir noch je eine Lösung für
a) n = 5 und b) n = 7:
a)
11,22,33,44,55
54,15,21,32,43
42,53,14,25,31
35,41,52,13,24
23,34,45,51,12
b)
11,22,33,44,55,66,77
76,17,21,32,43,54,65
64,75,16,27,31,42,53
52,63,74,15,26,37,41
47,51,62,73,14,25,36
35,46,57,61,72,13,24
23,34,45,56,67,71,12
Als Zeitvertreib schlage ich vor.
Bilde die Zeilensummen !
Bilde die Spaltensunmmen !
Bilde die Summe der Glieder in der Nebendiagonalen !
Berechne die Determinante !!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
widi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 18:06: |
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Danke |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 22:34: |
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Hallo megamath
Wenn man das Ergebnis auf die ganzen natürlichen Zahlen ausweitet, so heißt das, dass die Aufgabe für genau alle Zahlen außer 2 und 6 lösbar ist. Ich kenne ein analoges Ergebnis. Es gilt nämlich für alle n aus N ausser 2 und 6: Aut(Sn)=Sn, wobei die Gleichheit als Isomorphie zu verstehen ist. Komischer Zufall, oder haben die Sachen was miteinander zu tun? Immerhin könnte man die Aufgabe mit Permutationen beschreiben.
viele Grüße
SpockGeiger |
Murray (Murray)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 09:15: |
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Hallo,
1. Ich finde das sowieso seltsam, gibt es nicht irgendwie einen Grund oder Beweis warum das bei 2 und 6 nicht geht und sonst immer?
2. Spockgeiger: Was meinst Du mit Aut() und was mit S_n - bzw. was ist Dein analoges Beispiel?
Murray |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 18:29: |
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Hi Murray
Wie megamath bereits sagte, gibt es einen Beweis. Für n=2 ist die Unmöglichkeit sofort erkennbar.
Sn ist die Menge der Permutationen von n Elementen, also die Menge der bijektiven Abbildungen p:{1,...,n}->{1,...,n}. Mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung bildet die Sn eine Gruppe.
Ist G eine Gruppe, so bezeichnet man mit Aut(G) die Menge der Automorphismen auf G, d.h. der bijektiven Homomorphismen von G nach G. Diese Menge mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ist ebenfalls eine Gruppe.
viele Grüße
SpockGeiger |
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