| Autor |
Beitrag |
    
Pumpe
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 15:17: | 
|
Folgendes Rätsel bekomme ich nicht gelöst, das ist mir einfach zu schwer. Es wäre schön, wenn es vielleicht jemand von euch herausbekommen würde! Viel Spass beim Knobeln.
37 Freunde gehen in den Wald um Pilze zu sammeln, wobei jeder einen Korb hat. Dabei vereinbaren sie aber ein Spielchen. Jeder stellt seinen Korb im Wald hin, und zwar so, dass die Abstände zwischen den 37 Körben jeweils paarweise verschieden sind. Danach sucht jeder der Freunde einen Pilz und legt diesen in den Korb des Freundes, welcher seinem eigenen Korb am nächsten ist. Nun die Frage:
1. Gibt es am Ende Körbe, in denen kein Pilz drin ist und warum?
( Das dies so sein muss ist mir klar, so denke ich zumindest, aber eine Begründung fällt mir nicht ein... )
2. Wieviele Pilze können sich maximal in einem Korb befinden, wenn man davon ausgeht, dass der Wald eben ist? (keine Hügel)
3. (Der Hammer!) Wie verändert sich Aussage 2, wenn man annimmt, dass die Körbe nicht in einer Ebene stehen, sich die Freunde also in einem beliebig zerklüfteten Gebirgswald befinden? |
Marina
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 21:08: |
|
1) kann ich nur sagen das, dass so sein muss denn
stelle dir vor:
Der Korb der dem der Person1 am nächsten steht ist
der von Person2----- das heißt Person1 muss seinen Pilz
in den Korb von Person2 legen und umgekehrt.
Also: Bilden sich immer Pärchen und da 37 nicht durch
2 teilbar ist und die Abstände zwischen den Körben
jeweils paarweise verschieden ist, findet Person37
keinen Partner. Deshalb ist sein Korb leer.
2)Ich glaube man könnte hierbei mit der Vorstellung
arbeiten, dass Person1 der Partner von jedem Freund
ist. Indem man sich vorstellt, dass Person1 der
Mittelpunkt eines Kreises ist.
3)Kein Plan!!!
So ich hoffe das hilft dir.
Marina |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 21:26: |
|
hi
das rätsel hört sich interessant an...
zu 1.:
ich nehme an, die frage ist so gemeint, daß gefragt ist, ob bei jeder möglichen anordnung der körbe mindestens ein korb leer bleibt.
kann nur sagen, daß sich nicht unbedingt pärchen bilden, wie marina gesagt hat. aber ich glaub schon, daß immer einer leer bleibt. nehmen wir mal an, daß alle körbe wie folgt auf einer geraden stehen:
Korb1 ...1m... Korb2 ...2m... Korb3 -usw.- Korb36 ...36m... Korb37
also immer ein meter mehr platz zwischen den körben. dann legt jede person ihren pilz in den mit der um eins niedrigeren nummer, bis auf person 1, die ihren in korb 2 legt. also ist in jedem korb ein pilz, bis auf korb 2, der 2 pilze hat, und korb 37, welcher leer bleibt.
mehr hab ich mir noch nicht überlegt, kann nur sagen, daß sich 3. SEHR seltsam anhört...
guß
markus |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 22:05: |
|
Nur mal kurz zu Punkt 3:
Der Unterschied liegt vermutlich darin, dass die Dreiecksungleichung (AB+BC>=AC) nur in der Ebene gilt. |
Gandalf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 00:51: |
|
Das Problem ist ja auch, dass die Pilze nicht auf einer Geraden stehen müssen sondern irgendwie beliebig in der Ebene.
Zu der 2.Frage: Der Korb, wo sich die meisten Pilze kann sich irgendwie nicht im Mittelpunkt eines Kreises befinden, auf dem sich die anderen befinden, da sonst die Abstände nicht verschieden wären, paarweise. Aber ich denke es sind maximal 5, weil vielleicht hat das was mit dem Fermatschen Satz zu tun, ist aber nur eine Ahnung.
Echt schwieriges Rätsel, ich weiss auch erstmal nicht weiter. Algebra ist nicht so meine Stärke! |
Gandalf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 01:05: |
|
Ich glaube zumindest die 1.Frage beantworten zu können!
Wir wissen die Abstände sind paarweise verschieden, damit kann man von jedem Korb den Korb suchen, der am nächsten steht.
Nun wählt man sich einen Korb a, dessen Abstand zum nächstgelegensten Korb b maximal wird, also so dass kein anderer Korb c existiert, dessen Abstand zum nähesten Korb von c grösser ist, als der Abstand von a bis b. Diesen muss es geben, da die Abstände ja verschieden sind!
Hierraus sieht man aber, dass der Korbbesitzer von a seinen Pilz in den Korb b legen muss, da es der nächste Korb ist.
Alle anderen Korbbesitzer (auch der von b) legen ihre Pilze in irgendwelche Körbe, aber nicht in Korb a, da ihre nächsten Körbe nicht a sind, denn dann wäre der Abstand von a bis b nicht maximal. Das ist ein Widerspruch und somit muss Korb a leer bleiben.
Damit ist die Frage 1 beantwortet! |
RainerJ
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 16:24: |
|
Zu Frage 2
Wie Gandalf sagt, es sind maximal 5, aber mit dem Fermatschen Satz hat dies nichts zu tun!
In der Ebene gibt es genau 6 Punkte die von einem Punkt gleichweit entfernt sind und die paarweise ebenfalls diese Entfernung voneinander haben. (Euklidkonstunktion des regelmäßigen 6-ecks)
Damit lassen sich maximal 5 Punkte um einen Zentralpunt finden, deren Abstand untereinander ein bißchen größer ist als der größte Abstand eines dieser 5 Punkte von diesem Zentralpunkt.
Hügeliges Gelände.
Jetzt wird es kosmologisch!!!
Ist der Raum positive gekrümmt(Kuppe, oder Doline) sind es (eventuell)weniger Punkte. (Es hängt davon ab wie sehr der Raum gekrümmt ist) Ist der Raum negativ gekrümmt (Sattel) sind es 6 oder mehr.Und zwar immer mindestens 6!!!
Hat hoffentlich geholfen.
Gruß
Rainer |
RainerJ
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 16:24: |
|
Zu Frage 2
Wie Gandalf sagt, es sind maximal 5, aber mit dem Fermatschen Satz hat dies nichts zu tun!
In der Ebene gibt es genau 6 Punkte die von einem Punkt gleichweit entfernt sind und die paarweise ebenfalls diese Entfernung voneinander haben. (Euklidkonstunktion des regelmäßigen 6-ecks)
Damit lassen sich maximal 5 Punkte um einen Zentralpunt finden, deren Abstand untereinander ein bißchen größer ist als der größte Abstand eines dieser 5 Punkte von diesem Zentralpunkt.
Hügeliges Gelände.
Jetzt wird es kosmologisch!!!
Ist der Raum positive gekrümmt(Kuppe, oder Doline) sind es (eventuell)weniger Punkte. (Es hängt davon ab wie sehr der Raum gekrümmt ist) Ist der Raum negativ gekrümmt (Sattel) sind es 6 oder mehr.Und zwar immer mindestens 6!!!
Hat hoffentlich geholfen.
Gruß
Rainer |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 21:37: |
|
jo, auf die antwort zu 2. bin ich im laufe des tages auch gekommen. nimmt man den korb 1, in den die 'vielen' pilze sollen nämlich als mittelpunkt eines kreises, so kann man auf diesen sechs körbe stellen (= eckpunkte eines regelmäßigen sechsecks, s.o. bei rainerj), die alle sowohl zu ihren kreisnachbarn als auch zu korb 1 den gleichen abstand haben, den radius des kreises. da die abstände aber alle unterschiedlich sein sollen, ist die maximalanzahl um eins geringer, also 5.
nun zu 3.: da das 'beliebig zerklüftet' ein bißchen vage ist, nehmen wir mal an, wir dürfen die körbe überall im raum plazieren (d.h. also auch zwei körbe direkt übereinander). dann würde sich das problem doch (analog zu dem in der ebene) darauf reduzieren, herauszufinden, wieviele körbe man auf einer kugeloberfläche plazieren kann, so daß alle mindestens den abstand des kugelradiuses bis zum nächsten korb haben. der mittelpunkt der kugel wäre dann der korb, der gefüllt werden soll.
was meint ihr dazu?
gruß
markus |
RainerJ
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 09:22: |
|
Hallo Markus
Ich denke du hast recht.
Leider gibt es im Raum keine dem Sechseck entsprechende Figur. Aber beim Ikosaeder ist der Umkugelradius leicht kleiner als der Abstand der 12 Eckpunkte. Damit sind es dann mindestens 12 Pilze im Korb. Da der Umkugelradius wirklich nur minimal kleiner ist als der Abstand der Eckpunkte denke ich die Antwort ist 12. Aber ich weiß keinen Beweis.
Gruß Rainer |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 15:30: |
|
ha, ich hab doch gewußt, daß ich sowas schon mal irgendwo gelesen hab. und nach ein 'bißchen' blättern ;-) gestern abend bin ich auch fündig geworden. in nem alten 'spektrum der wissenschaft' (ausgabe september 1992, s. 12-14) ging es zwar um fernsehmasten auf dem mars, aber gelöst wurde es mit hilfe von 'kußzahlen', was uns bei unserem problem mit den pilzen auch weiterhilft.
eine kußzahl ist die anzahl gleichgroßer kugeln, die eine kugel gleicher größe berühren ('küssen'), ohne sich gegenseitig zu durchdringen. der zu füllende korb steht also im mittelpunkt der mittleren kugel, die anderen im mittelpunkt der äußeren kugeln. der abstand der körbe ist dann also mindestens der zweifache kugelradius.
die kußzahl für den dreidimensionalen raum ist, wie bereit vermutet, 12. symmetrisch angeordnet liegen sie auf den ecken eines ikosaeders, aber es ist relativ viel spielraum, so daß sie auch relativ weit verschoben werden können, ohne daß der abstand kleiner als 2r wird.
das kußproblem wurde bereits für die dimensionen 1, 2, 3, 8 und 24 gelöst (stand: 1992). würden wir z.b. im 24-dimensionalen raum pilze sammeln, so könnten maximal 196560 (evt. 196559) pilze in einem korb landen ;-).
gruß
markus |
Markus (Boothby81)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 15:32: |
|
ha, ich hab doch gewußt, daß ich sowas schon mal irgendwo hab. und nach ein 'bißchen' blättern ;-) gestern abend bin ich auch fündig geworden. in nem alten 'spektrum der wissenschaft' (ausgabe september 1992, s. 12-14) ging es zwar um fernsehmasten auf dem mars, aber gelöst wurde es mit hilfe von 'kußzahlen', was uns bei unserem problem mit den pilzen auch weiterhilft.
eine kußzahl ist die anzahl gleichgroßer kugeln, die eine kugel gleicher größe berühren ('küssen'), ohne sich gegenseitig zu durchdringen. der zu füllende korb steht also im mittelpunkt der mittleren kugel, die anderen im mittelpunkt der äußeren kugeln. der abstand der körbe ist dann also mindestens der zweifache kugelradius.
die kußzahl für den dreidimensionalen raum ist, wie bereit vermutet, 12. symmetrisch angeordnet liegen sie auf den ecken eines ikosaeders, aber es ist relativ viel spielraum, so daß sie auch relativ weit verschoben werden können, ohne daß der abstand kleiner als 2r wird.
das kußproblem wurde bereits für die dimensionen 1, 2, 3, 8 und 24 gelöst (stand: 1992). würden wir z.b. im 24-dimensionalen raum pilze sammeln, so könnten maximal 196560 (evt. 196559) pilze in einem korb landen ;-).
gruß
markus |
|
