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Zahl gesucht!

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Roth
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 16:35:   Beitrag drucken

gesucht wird eine Zahl, deren Quersummenquadrat um 81 grösser ist als sie! (mit lösungsweg)

viel spass!
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Ulrich
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 21:59:   Beitrag drucken

Hallo Roth,

Die gesuchte Zahl heiße x.

Eine einstellige Zahl kommt für x nicht in Frage, da dann ihr Quersummenquadrat gleich ihrem Quadrat ist und ihr Quadrat nicht um 81 größer sein kann als sie selbst.

x kann maximal vierstellig sein, da das Quersummenquadrat einer fünfstelligen Zahl höchstens gleich (5*9)² = 2025 ist, also immer kleiner als die Zahl x selbst.
Allgemein ist leicht erkennbar, dass jede höhere Stellenanzahl n über das maximale Quersummenquadrat (9n)² = 81n² hinauswächst:
10n-1 > 81n² für n > 4.

Also gilt bisher 9 < x < 10000

Wenn x eine vierstellige Zahl wäre, müsste
x <= (4*9)²-81 gelten, da das Quersummenquadrat einer vierstelligen Zahl maximal (4*9)² ist.
Also
x <= 1215, also insgesamt bisher:

9 < x < 1216

Da x < 1216 gilt, kann das Quersummenquadrat von x maximal
(1+1+9+9)² = 400 sein, da alle verbleibenden vierstelligen Zahlen eine geringere Quersumme als 20 haben.

Das wiederum heißt, dass keine vierstellige Zahl für x möglich ist, da x <= 400-81 gelten müsste.

Also kann x nur zwei- oder dreistellig sein:

9 < x < 1000


Das Quersummenquadrat einer dreistelligen Zahl ist höchstens gleich (9*3)² = 729, also muss gelten
x <= 729-81 = 648

also 9 < x < 649

Das Quersummenquadrat einer Zahl x < 649 ist höchstens (5+9+9)² = 529, also muss gelten
x <= 529-81 = 448

also 9 < x < 449

Das Quersummenquadrat einer Zahl x < 449 ist höchstens (3+9+9)² = 441, also muss gelten
x <= 441-81 = 360


Das Quersummenquadrat einer Zahl x < 361 ist höchstens (2+9+9)² = 400, also muss gelten
x <= 400-81 = 319

also 9 < x < 320

Alle Zahlen über 300 fallen aus, denn ihr Quersummenquadrat ist höchstens gleich (3+1+9)² = 169, also kleiner als 300.

also 9 < x < 300

Alle Zahlen über 199 und unter 279 fallen ebenfalls aus, denn ihr Quersummenquadrat ist höchstens (2+7+9)² = 324, das ist zu gering, als dass es um 81 größer sein könnte als x.

Also 9 < x < 200 oder 279 < x < 300
Das um 81 verminderte Quersummenquadrat für x mit 279 < x < 289 ist maximal (2+8+8)² -81 = 243


Quersumme sei Q, dann soll gelten:

Q²-81 = x

zerlege die linke Seite:

(Q - 9)*(Q + 9) = x


Zwei Fälle:
a) x ist zweistellig
b) x ist dreistellig


a) Zwei Fälle: a1) Q ist ungerade, a2) Q ist gerade

a1) Q ist ungerade => (Q-9)*(Q+9) ist gerade
=> x ist gerade, hat also eine gerade Einerziffer und eine ungerade Zehnerziffer
a2) Q ist gerade => (Q-9)*(Q+9) ist ungerade
=> x ist ungerade, hat also eine ungerade Einerziffer und eine ungerade Zehnerziffer

Mit anderen Worten: in keinem Fall hat ein zweistelliges x zwei gerade Ziffern gleichzeitig.


b) Zwei Fälle: b1) Q ist ungerade, b2) Q ist gerade

b1) Q ist ungerade => (Q-9)*(Q+9) ist gerade
=> x ist gerade, hat also eine gerade Einerziffer und genau eine von Zehner-/Hunderterziffer ist gerade
b2) Q ist gerade => (Q-9)*(Q+9) ist ungerade
=> x ist ungerade, hat also eine ungerade Einerziffer, wieder ist genau eine von Zehner-/Hunderterziffer gerade

Mit anderen Worten: in keinem Fall hat ein dreistelliges x drei gerade Ziffern gleichzeitig.


Schreibe alle Q²-81 mit Q€IN und 9 < Q²-81 < 200 oder 279 < Q²-81 < 300 auf und streiche alle
zweistelligen x, bei denen zwei Ziffern gerade und alle dreistelligen x, bei denen alle drei Ziffern gerade sind:


Qx=Q²-81
1019
1140
1263
1388
14115
15144
16175
19280



Es bleiben übrig:

Qx=Q²-81
1019
1263
14115
15144
16175


Bei diesen fünf Fällen halte ich es gegenüber dem bisherigen Aufwand vertretbar,
sie alle auf die Eigenschaft hin zu testen, ob Q die Quersumme von x ist.

Es ergibt sich als Lösung: x = 19.


wenn x negativ sein darf:

Q²-81 < 0 gilt nur für -9 < Q < 9, der Wertebereich von x=Q²-81 ist hier beschränkt auf
-82 < x < 0, eine Tabelle gibt schnell Aufschluss:


Qx=Q²-81
-8-17
-7-32
-6-45
-5-56
-4-65
-3-72
-2-77
-1-80


Man sieht schnell, dass nur x=-17 in Frage kommt.


Wahrscheinlich könnt ihr es mit euren Zahlentricks auch einfacher, ich aber leider nicht.
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Ulrich
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 22:22:   Beitrag drucken

Hallo nochmal, ich sehe gerade, dass ich noch was übersehen habe:
bei
b) x ist dreistellig

hat x niemals drei ungerade Ziffern, also können die 115 und die 175 vor dem Test auch noch aus der Liste gestrichen werden.
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roth
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Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 22:11:   Beitrag drucken

sehr gut! danke!

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