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Roth
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 16:35: |
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gesucht wird eine Zahl, deren Quersummenquadrat um 81 grösser ist als sie! (mit lösungsweg) viel spass! |
Ulrich
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 21:59: |
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Hallo Roth, Die gesuchte Zahl heiße x. Eine einstellige Zahl kommt für x nicht in Frage, da dann ihr Quersummenquadrat gleich ihrem Quadrat ist und ihr Quadrat nicht um 81 größer sein kann als sie selbst. x kann maximal vierstellig sein, da das Quersummenquadrat einer fünfstelligen Zahl höchstens gleich (5*9)² = 2025 ist, also immer kleiner als die Zahl x selbst. Allgemein ist leicht erkennbar, dass jede höhere Stellenanzahl n über das maximale Quersummenquadrat (9n)² = 81n² hinauswächst: 10n-1 > 81n² für n > 4. Also gilt bisher 9 < x < 10000 Wenn x eine vierstellige Zahl wäre, müsste x <= (4*9)²-81 gelten, da das Quersummenquadrat einer vierstelligen Zahl maximal (4*9)² ist. Also x <= 1215, also insgesamt bisher: 9 < x < 1216 Da x < 1216 gilt, kann das Quersummenquadrat von x maximal (1+1+9+9)² = 400 sein, da alle verbleibenden vierstelligen Zahlen eine geringere Quersumme als 20 haben. Das wiederum heißt, dass keine vierstellige Zahl für x möglich ist, da x <= 400-81 gelten müsste. Also kann x nur zwei- oder dreistellig sein: 9 < x < 1000 Das Quersummenquadrat einer dreistelligen Zahl ist höchstens gleich (9*3)² = 729, also muss gelten x <= 729-81 = 648 also 9 < x < 649 Das Quersummenquadrat einer Zahl x < 649 ist höchstens (5+9+9)² = 529, also muss gelten x <= 529-81 = 448 also 9 < x < 449 Das Quersummenquadrat einer Zahl x < 449 ist höchstens (3+9+9)² = 441, also muss gelten x <= 441-81 = 360 Das Quersummenquadrat einer Zahl x < 361 ist höchstens (2+9+9)² = 400, also muss gelten x <= 400-81 = 319 also 9 < x < 320 Alle Zahlen über 300 fallen aus, denn ihr Quersummenquadrat ist höchstens gleich (3+1+9)² = 169, also kleiner als 300. also 9 < x < 300 Alle Zahlen über 199 und unter 279 fallen ebenfalls aus, denn ihr Quersummenquadrat ist höchstens (2+7+9)² = 324, das ist zu gering, als dass es um 81 größer sein könnte als x. Also 9 < x < 200 oder 279 < x < 300 Das um 81 verminderte Quersummenquadrat für x mit 279 < x < 289 ist maximal (2+8+8)² -81 = 243 Quersumme sei Q, dann soll gelten: Q²-81 = x zerlege die linke Seite: (Q - 9)*(Q + 9) = x Zwei Fälle: a) x ist zweistellig b) x ist dreistellig a) Zwei Fälle: a1) Q ist ungerade, a2) Q ist gerade a1) Q ist ungerade => (Q-9)*(Q+9) ist gerade => x ist gerade, hat also eine gerade Einerziffer und eine ungerade Zehnerziffer a2) Q ist gerade => (Q-9)*(Q+9) ist ungerade => x ist ungerade, hat also eine ungerade Einerziffer und eine ungerade Zehnerziffer Mit anderen Worten: in keinem Fall hat ein zweistelliges x zwei gerade Ziffern gleichzeitig. b) Zwei Fälle: b1) Q ist ungerade, b2) Q ist gerade b1) Q ist ungerade => (Q-9)*(Q+9) ist gerade => x ist gerade, hat also eine gerade Einerziffer und genau eine von Zehner-/Hunderterziffer ist gerade b2) Q ist gerade => (Q-9)*(Q+9) ist ungerade => x ist ungerade, hat also eine ungerade Einerziffer, wieder ist genau eine von Zehner-/Hunderterziffer gerade Mit anderen Worten: in keinem Fall hat ein dreistelliges x drei gerade Ziffern gleichzeitig. Schreibe alle Q²-81 mit Q€IN und 9 < Q²-81 < 200 oder 279 < Q²-81 < 300 auf und streiche alle zweistelligen x, bei denen zwei Ziffern gerade und alle dreistelligen x, bei denen alle drei Ziffern gerade sind:
Q | x=Q²-81 | | 10 | 19 | 11 | 40 | 12 | 63 | 13 | 88 | 14 | 115 | 15 | 144 | 16 | 175 | 19 | 280 | Es bleiben übrig:
Q | x=Q²-81 | | 10 | 19 | 12 | 63 | 14 | 115 | 15 | 144 | 16 | 175 | Bei diesen fünf Fällen halte ich es gegenüber dem bisherigen Aufwand vertretbar, sie alle auf die Eigenschaft hin zu testen, ob Q die Quersumme von x ist. Es ergibt sich als Lösung: x = 19. wenn x negativ sein darf: Q²-81 < 0 gilt nur für -9 < Q < 9, der Wertebereich von x=Q²-81 ist hier beschränkt auf -82 < x < 0, eine Tabelle gibt schnell Aufschluss:
Q | x=Q²-81 | | -8 | -17 | -7 | -32 | -6 | -45 | -5 | -56 | -4 | -65 | -3 | -72 | -2 | -77 | -1 | -80 | Man sieht schnell, dass nur x=-17 in Frage kommt. Wahrscheinlich könnt ihr es mit euren Zahlentricks auch einfacher, ich aber leider nicht. |
Ulrich
| Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 22:22: |
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Hallo nochmal, ich sehe gerade, dass ich noch was übersehen habe: bei b) x ist dreistellig hat x niemals drei ungerade Ziffern, also können die 115 und die 175 vor dem Test auch noch aus der Liste gestrichen werden. |
roth
| Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 22:11: |
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sehr gut! danke! |
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