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Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Oktober, 2001 - 16:34: | 
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Eine Urne enthält acht Kugeln, durchnummeriert von 1 bis 8. Alex und Betty ziehen jeweils vor dem anderen verdeckt eine Kugel (ohne zurücklegen). Dann äußert A eine Vermutung, ob die Zahl auf seiner Kugel höher ("mehr") oder niedriger ("weniger") als die Zahl auf Bs Kugel ist. Anschließend gibt B eine Vermutung ab.
B hat gewonnen, wenn ihr Tipp korrekt und As Tipp falsch ist. Da A zuerst antworten muss und dadurch im Nachteil ist, gewinnt A nicht nur dann, wenn sein Tipp korrekt und Bs Tipp falsch ist, sondern auch, wenn beide daneben liegen. Wenn beide Tipps richtig sind, gewinnt keiner.
Beobachten wir die beiden ein wenig.
A und B spielen zunächst beide nach der Strategie, dass sie bei 1, 2, 3 oder 4 "weniger" und bei 5, 6, 7 oder 8 "mehr" sagen. Z. B. zieht A die 3 und B die 2. A sagt "weniger", B sagt "weniger". D. h. beide denken, dass die Zahl auf ihrer Kugel kleiner als auf der Kugel des anderen ist. Gewonnen hat B, da ihr Tipp korrekt, der von A aber falsch ist.
Nach hundert Spielen steht es ausgeglichen. Beide haben gleichhäufig gewonnen und verloren. (Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von A ist gleich der W'keit für einen Sieg von B, nämlich 3/14. Hoffe, ich habe mich hier und bei den folgenden Berechnungen nicht vertan.)
B hat bisher von As Antworten noch kein Kapital geschlagen. Sie ändert nun ihre Strategie, indem sie "weniger" sagt, falls A "weniger" sagt und sie eine der Kugeln 1, 2 hat, oder, falls A "mehr" sagt und sie eine der Kugeln 1, 2, 3, 4, 5, 6 hat. In allen anderen Fällen sagt sie "mehr".
Nun ändert sich das Blatt zugunsten von B. Die W'keit, dass A gewinnt, ist nur noch 1/14; die W'keit, dass B gewinnt, ist 5/14.
Nach weiteren hundert Spielen ärgert das A, und er beginnt B zu foppen. Er wechselt zur "Deppenstrategie" und sagt willkürlich (jeweils mit W'keit 1/2) "mehr" oder "weniger".
Dadurch, dass jetzt bei vielen Spielen beide Tipps falsch sind und in diesem Fall A als Gewinner gilt, kippt die Situation zugunsten von A. Die W'keit für einen Gewinn von A ist 16/56 und die W'keit für einen Gewinn von B 13/56.
Nach weiteren hundert Spielen merkt B, dass As Antworten offensichtlich unabhängig von der Zahl auf seiner Kugel sind. Sie verfällt zurück in ihre Ausgangsstrategie.
Jetzt ist die W'keit für eine Gewinn von A gleich 6/28 und die für einen Gewinn von B gleich 11/28.
Und so fort.
Wie lautet denn nun die optimale Strategie für A und B? Wer ist bei diesem Spiel im Vorteil?
Dieses Spiel habe ich mir selbst ausgedacht und möchte es hier zur Diskussion stellen. Ich möchte nicht ausschließen, dass sich vor mir schon mal jemand darüber Gedanken gemacht hat.
Viele Grüße
Zaph |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 02:36: |
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Hi Zaph
Ich würde mich gern beteiligen, hätte dazu aber erstmal ein paar Fragen:
Ist die Zahl 8 wichtig? Wenn nicht, würde ich sie gern auf 4 oder 5 runterschrauben, da teilweise kombinatorische Aspekte bei meinem Lösungsweg beachtet werden müssen.
Was muss A maximieren, die Differenz der Gewinnwahrscheinlichkeiten oder etwa nur nur seine Gewinnwahrscheinlichkeit?
viele Grüße
SpockGeiger |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 18:08: |
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Hallo SpockGeiger,
für A ist es wichtig, dass seine Gewinnw'keit größer als seine Verlustw'keit ist. Für B gilt dasselbe natürlich analog. Also geht es darum, die Differenz zu maximieren/minimieren.
"8" ist nicht sooo wichtig. Am schönsten wäre natürlich eine allgemeine Aussage zu "n".
Wenn wir wissen, wie es mit 4 geht, gibt das aber vielleicht schon mal einen Hinweis, wie es bei 8 aussehen könnte.
Rein vom Gefühl denke ich aber, dass 8 komplexer ist als 4, die Lösung von 4 also nicht umbedingt auf n verallgemeinert werden kann. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 21:08: |
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Hallo alle,
bin ab morgen für 1 1/2 Wochen nicht da.
Wenn ihr etwas postet und ich nicht drauf antworte, deutet das bitte nicht als Desinteresse.
CU
Zaph |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 00:20: |
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Hallo Zaph
Bin echt mal auf das Ergebnis gespannt, da ich anderer Meinung bin. Ich glaube, es könnte sich um eines der Paradoxa in der Spieltheorie handeln, d.h. wenn sich eine der Personen auf eine Strategie festlegt, gibt es für den anderen immer eine Strategie, sodass er gewinnt. Auch glaube ich, dass zwar die rechnerische Komplexität mit wachsendem n steigt, dass Ergebnis aber ab 4 oder 5 (ist so ein Gefühl, die Zahl könnte größer sein, aber ich glaube nicht viel; oder natürlich die ganze Vermutung ist Humbug, aber das ist nunmal das mit Vermutungen ) gleich bleibt. Ich freue mich auf die weitere Diskussion nach Deinem Urlaub, viel Spaß dabei!!
viele Grüße
SpockGeiger |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 18:05: |
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Hi SpockGeiger,
ich denke schon, dass es eine optimale Strategie für A bzw. B gibt.
Für n = 4 habe ich mal versucht, das Problem vollständig zu analysieren.
Sei
pi = P(A sagt "kleiner" | A zieht Nr. i)
qi = P(B sagt "kleiner" | B zieht Nr. i und A sagt "kleiner")
ri = P(B sagt "kleiner" | B zieht Nr. i und A sagt "größer")
Umfangreichere Überlegungen und Berechnungen (bei denen es aber durchaus möglich ist, das ich mich vertan habe) haben ergeben, dass die optimale Strategie für A ist:
p1 = 1, p2 = 1/2, p3 = 1/2, p4 = 0
Wenn A nach dieser Strategie spielt, kann B, egal welche Strategie sie anwendet, den Wert
G = p(A gewinnt) - p(B gewinnt)
nicht unter -1/6 bringen.
Die optimale Strategie für B lautet:
q1 = 1, q2 = 0, q3 = 1, q4 = 0
r1 = 1, r2 = 1, r3 = 0, r4 = 0
Wenn B nach dieser Strategie spielt, kann A, egal welche Strategie er anwendet, den Wert G nicht über -1/6 bringen.
Leider ist die Rechnung etwas umfangreicher und nicht so ohne weiteres auf größere n übertragbar. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 21:09: |
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Hallo Zaph
Ich hatte angefangen, mich mit dem Thema zu beschäftigen. Ich hatte einfach mal die Gewinnwahrscheinlichkeit für n beliebig aufgestellt, kriegte aber etwas raus, das zu einfach war, um richtig zu sein. Und dann ist das Semester dazwischengekommen. Gib mir ein bisschen Zeit, im Moment hab ich etwas Stress. Ich muss voller Scham zugeben, dass ich mich mit den Begriffen der Spieltheorie nicht auskenne, allerdings halte ich eine "Gewinnstrategie" für eine, bei der man zumindest sicher nicht verliert. Deinen Ergebnissen zufolge hätte also B eine Gewinnstrategie. Bei der "optimalen Strategie" kommt es drauf an, wie man es definiert. Wenn es darum gehen soll, den Verlust im worst case zu minimieren, dann wäre doch in unserem Fall die beste Strategie für A, nicht zu spielen, oder?
Ich melde mich wieder, wenn ich Ergebnisse vorweisen kann.
viele Grüße
SpockGeiger |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 11:42: |
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Hallo SpockGeiger,
mit Spieltheorie kenne ich mich auch nicht aus. Ich weiß nur, dass es solche "randomisierten Strategien" gibt, wie ich es beim Fall n = 4 angesetzt habe. Wahrscheinlich gibt es wesentlich effizientere Möglichkeiten, die pi, qi, ri auszurechnen als ich es gemacht habe und möglicherweise kommt man dann auch für n = 8 zu einem Ergebnis.
Deine Idee, dass die "optimalen Strategie" diejenige ist, nicht zu spielen, kannst du ja mal den Millionen Roulettespielern oder den Abermillionen Lottospielern erläutern ;-) |
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