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Der Wurm am Bungee-Seil

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Denksport » Zahlenrätsel » Der Wurm am Bungee-Seil « Zurück Vor »

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Lothar Christoph (Lohdinger)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 09:08:   Beitrag drucken

"Ein Wurm hängt am untersten Ende eines (unendlich dehnbaren) Bungee-Seils. In einer Sekunde klettert er 1 cm nach oben, danach dehnt sich das gesamte Seil um 1 Meter. Danach klettert er wieder 1 cm und das Seil dehnt sich wieder um 1 Meter. Nach jedem Zentimeter, den der Wurm geklettert ist, dehnt sich das gesamte Seil um 1 Meter.
Frage: wird der Wurm das obere Ende jemals erreichen, und wenn ja, wann?"
Der Lösungsweg ist recht simpel: beim ersten mal schafft der Wurm 1%, danach 1/2%, dann 1/3, etc... Man muß also die Summe für n: 1 bis unendlich von 1/n bilden (harmonische Reihe), allerdings habe ich bisher noch keine griffige Formulierung für diese Summe gefunden, denn man muß herausfinden, für welches n die Summe > 100 ist. Leider habe ich weder Maple noch Mathematica, und mein kleines Basicprogramm packt so große Zahlen leider nicht, wer kann mir helfen?
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 10:16:   Beitrag drucken

Hallo Lothar!

Wozu musst du denn eine Reihe aufstellen? Die Frage ist doch nur, ob es möglich ist, daß der Wurm nach oben kommt. Und dies ist nicht der Fall, da er immer kleinere Strecken zurücklegen kann, so daß der Grenzwert seiner Bewegung gegen 0 auf dem Seil strebt. Ich denke, daß das reicht.

MfG

Ralph
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 01:18:   Beitrag drucken

Hi Lohdinger

Lass Dich nicht verwirren, Dein Lösungsweg ist richtig. Die Zahl, die Du suchst, ist ungefähr 0.155*1044. SN k=11/k lässt sich annähern durch ln(N), d.h. Deine gesuchte Zahl ist in der Nähe von e100. Allerdings ist "Nähe" sehr weit zu fassen. Hier ist es z.B. ein bisschen mehr als die Hälfte davon, zumindest stimmt aber die Größenordnung.

viele Grüße
SpockGeiger
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Danny Lade (Murray)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 12:58:   Beitrag drucken

Hallo SpockGeiger,

ich persönlich würde auch Ralph zustimmen. Entweder habe ich die Aufgabe nicht richtig verstanden oder hier passiert was völlig unlogisches ;-)

Wenn ich mir mal so überlege, daß der Wurm etwa einen Meter zurücklegt und dabei sich das Seil auf 100 Meter dehnt, dann ist er bei Meter 99. Legt er jetzt nochmal eine Meter zurück, dann ist das Seil 200 Meter lang und er ist bei Meter 198. IMHO kommt er so nie zum Ziel.

MfG Murray
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 16:41:   Beitrag drucken

Hallo Lothar,
Mir geht es so wie dem Dany: ich verstehe die Aufgabe nicht.
Mit den Prozenten habe ich sowieso immer meine Schwierigkeiten.
Du sagst: nach dem ersten Schritt schafft der Wurm 1 %.
1 % von was?
=================
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traveler
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 17:16:   Beitrag drucken

es heißt:
"beim ersten mal schafft der Wurm 1%"

bedeutet das, dass das Seil zu Anfang 1m lang ist?
(die anfängliche Seillänge wurde nicht angegeben)

Dann ist hier mal eine Tabelle für das Kriechverhalten des Wurms:


Anzahl SekundenSeillänge in cmDehnungsfaktor des SeilsAbstand vom Seilanfang in cmAbstand vom Seilende in cm
010001001,000000
1, vor Dehnung 1001990,990000
1, nach Dehnung200221980,990000
2, vor Dehnung20031970,985000
2, nach Dehnung3001,54,5295,50,985000
3, vor Dehnung3005,5294,50,981667
3, nach Dehnung4001,337,33392,670,981667
44008,33391,670,979167
45001,2510,42489,580,979167
550011,42488,580,977167
56001,213,7586,30,977167
660014,7585,30,975500
67001,1717,15682,850,975500
770018,15681,850,974071
78001,1420,74779,260,974071
880021,74778,260,972821
89001,1324,46875,540,972821
990025,46874,540,971710
910001,1128,29971,710,971710
10100029,29970,710,970710
1011001,132,221067,780,970710
4954960013364462360,932172
496496003365462350,932152
4964970013372463280,932152
497497003373463270,932132
4974980013380464200,932132
498498003381464190,932112



Die Zahl in der letzten Spalte entspricht dem Anteil am Seil, der bereits zurückgelegt wurde.
Er fällt zwar langsam, aber man sieht: er fällt.
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traveler
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 17:22:   Beitrag drucken

Es soll natürlich heißen:

Die Zahl in der letzten Spalte entspricht dem Anteil am Seil, der noch zurückgelegt werden muss.
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 17:50:   Beitrag drucken

Rekursion:
a_1 = 100;
a_n+1 = a_n*(1+1/n)-1 = a_n*(1 + 1/n - 1/a_n);
ist monoton steigend(Induktionsbeweis der Aussage a_n > n).
=> Wurm erreicht das obere Ende nie!
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 17:59:   Beitrag drucken

Womit wir wieder am Anfang wären, oder sehe ich das falsch?

MfG

Ralph
( http://www.spendensystem.de/index.php?V_ID=111 )
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 19:44:   Beitrag drucken

Hallo

Wichtig bei dieser Aufgabe ist, dass sich das Band gleichmäßig dehnt, d.h z.B. nach dem Zurücklegen des ersten Zentimeters ist der Wurm 1cm vom Anfang und 99cm vom Ende entfernt. Nun dehnt sich das Band auf 2m und der Wurm ist 2cm vom Anfang und 198cm vom Ende entfernt. Da sich bei der Dehnung nur der Anteil des Gesamtweges, der zurückgelegt wurde, nicht ändert, ist es am vorteilhaftesten damit zu rechnen. Nun legt der Wurm beim ersten Mal 1/100 des Weges zurück, beim zweiten 1/200, beim dritten 1/300 usw., da 1cm jewils der so große Anteil des Weges ist. Da der Wurm diese Anteile nacheinander zurücklegt, müssen die Wege addiert werden. Da aber S¥ k=11/(100k)=1/100*S¥ k=11/k gegen Unendlich geht, wird die Summe irgendwann 1 überschreiten, somit erreicht der Wurm in endlicher Zeit das Ende, auch wenn es lange dauert (siehe oben).

viele Grüße
SpockGeiger
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 19:51:   Beitrag drucken

Hallo SpockGeiger!

Wenn ich deine Formel richtig verstehe, möchtest du k immer weiter erhöhen. Nur leider strebt 1/k dann nicht gegen 1 sondern gegen 0.

MfG

Ralph
( http://www.spendensystem.de/index.php?V_ID=111 )
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Danny Lade (Murray)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 20:36:   Beitrag drucken

Ralph, aber da muß ich SpockGeiger Recht geben, die Summe von 1/k geht gegen unendlich, auch wenn 1/k gegen 0 geht (ich hab das neulich erst irgendwo gelesen - kann's ja nochmal raussuchen).

Wie auch immer, da obige Summe gegen unendlich geht, wenn auch sehr sehr langsam :-), muß die irgendwann einmal 100 sein und damit hat der Wurm das Ziel erreicht.Und die Näherung zeigt ja, das das ungefähr bei e^100 Zentimetern der Fall ist.

Jetzt will ich doch aber mal realistisch werden:

Das sind nämlich etwa 2,688 * 10^41 Meter und das entspricht 28411973617453069507864028411,974 Lichtjahren, will heißen das der Wurm mit Lichtgeschwindigkeit 28412 Quadrillionen (Millarden Millarden) Jahre unterwegs ist.

Danny
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 14:51:   Beitrag drucken

Hallo Danny und SpockGeiger!

Ich möchte noch einmal dieses Thema anschneiden und eine weitere Überlegung hinzusetzen, die vielleicht ein anderes Licht auf die Sache wirft. Ich gehe jetzt von Prozenten aus, die der Wurm auf der Gesamtlänge des Seiles zurückgelegt hat.

Beim 1. Kriechvorgang: 1 %
danach die Dehnung: 0,5 % (da er jetzt nur 1 cm auf 200 cm Strecke gemacht hat)
2. KV: 1 %
nach D: 2/3 %
3. KV: 1 %
nach D: 0,75 %
4. KV: 1 %

Habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht? Denn wenn nicht, erreicht der Wurm wirklich niemals sein Ziel.

MfG

Ralph
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 15:44:   Beitrag drucken

Hallo Ralph

Zu Dir fällt mir nichts mehr ein. Liest Du nicht die Beiträge? Wir berechnen doch die ganze Zeit den prozentuallen Anteil, den der Wurm geschafft hat. Es ist zwar richtig, dass dieser Wert nach jeder Dehnung immer kleiner wird, aber der Wurm fängt doch nicht jedesmal wieder von vorne an, also müssen wir die prozentuallen Streckenanteile summieren, also müssen wir 1%+1/2%+2/3%+... berechnen. Und ich hoffe, dass hier das Problem liegt. Wenn die Summanden gegen 0 gehen, folgt daraus nicht, dass die Summe konvergiert. In diesem Fall tut sie es nämlich nicht (Standardbeispiel einer divergenten Reihe, Analysis)

Wenn Du mir das nicht glaubst, dann hoffentlich einem Dozenten für Mathematik:

http://math-www.uni-paderborn.de/~chris/Index10/V/par16.ps

viele Grüße
SpockGeiger
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 15:47:   Beitrag drucken

Sorry, hab gehofft, es wird auch so als Link angezeigt:

Analysisskript

viele Grüße
SpockGeiger
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 15:50:   Beitrag drucken

Schon wieder was vergessen: Die Reihe ist zu finden auf Seite 2, 16.2 b)

viele Grüße
SpockGeiger
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 17:37:   Beitrag drucken

Hallo SpockGeiger!

Ich verstehe schon deinen Ansatz, nur habe ich Probleme damit, daß der prozentuale Anteil doch eben nicht 1 % bleibt, da sich doch der Grundwert ändert. Ich möchte versuchen, meinen Gedankengang dazu offenzulegen:

Beim ersten "Schritt", den der Wurm macht ist das Seil 100 cm lang. Das heißt, daß der Grundwert 100 ist. Der Prozentsatz ist damit 1 %. Danach dehnt sich das Seil, so daß der Grundwert 200 beträgt, da das Seil 200 cm lang ist. Damit bleibt der 1. Schritt nämlich meiner Ansicht nach nicht 1 %, sondern nur noch 0,5 %. Daß ich danach eine Summe aus allen Schritten bilden muss, ist mir schon klar. Jedoch verändert sich die Seillänge doch nicht nur für den nächsten Schritt, den der Wurm macht, sondern auch für alle vorausgegangenen. Ich weiß nicht, ob ich hierin jetzt einen Denkfehler habe.

MfG

Ralph

P.S.: Beleidigen kann ich mich selber, danke sehr.
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 18:26:   Beitrag drucken

Hi Ralph

Aber das Band dehnt sich doch nicht nur vor dem Wurm, sondern gleichmäßig (steht weiter oben nochmal explizit). Wenn Du in der Mitte eines Bandes stehst, und es wird gedehnt, dann stehst Du doch immer noch in der Mitte, weil ja sowohl die Strecke hinter Dir als auch die vor Dir sich gleichmäßig ausdehnen. Oder extremer: Du stehst ganz knapp vor dem Ziel, und das Band wird um einen Meter gedehnt, dann müsste man das Band schon sehr komisch dehnen, damit Du nun über einen Metr vom Ziel entfernt bist. "Wohl eher doch stehst Du nur ein bisschen weiter entfernt vom Ziel, prozentual gesehen bist Du aber genauso weit wie vorher.

Zu dem Thema Links: War der falsche Link Absicht, oder Versehen? Wenn es sich um ein Versehen handelt, dann könntest Du vielleicht den richtigen Link dahinsetzen. Ansonsten kenne ich die Lösung, wozu soll ich sie aber eintippen, wenn sie eh schon da steht. Bei einem Deiner anderen Beiuträge hast Du auch nen Link fälschlicherweise hierhin gesetzt.

viele Grüße
SpockGeiger
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Ralph (Raz)
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 18:37:   Beitrag drucken

Hallo SpockGeiger!

Ja, ich hatte übersehen, daß aus dem 1 cm dann 2 werden. Du hast Recht. Danke für die Belehrung.

Links: Versehen, sorry.

MfG

Ralph
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Lothar Christoph (Lohdinger)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 18:34:   Beitrag drucken

Wow, was eine Resonanz! Sorry, dass ich mich erst jetzt melde, aber ich bin im Urlaub und habe erst jetzt ein Internet Cafe gefunden...
Zuerst einmal sorry, ich habe vergessen zu erwaehnen, dass das Ursprungsseil ein Meter lang ist (Asche auf mein Haupt ;-)
Dann ware bei zwei Postings der Wurm persoenlich drin, wie SpockGeiger richtig bemerkt hatte: Wenn sich das Seil dehnt, dehnt sich nicht nur das Seil vor dem Wurm, sondern auch der Teil, den der Wurm schon zurueckgelegt hat, deshalb habe ich mit Prozenten hantiert, die aendern sich in diesem Fall naemlich nicht...
Dann ging es um die Zeit, die Wurm zum Bewaeltigen der Strecke braucht, nicht um die Geschwindigkeit. Die "harmonische Reihe" (Summe der Reziprokwerte) geht tatsaechlich gegen unendlich, also auch gegen 100, aber das dauert *sehr* lange, ergo ist das Viech steinalt, wenn es endlch oben ankommt...
mir ging es jetzt nur noch um eine griffigere Formulierung der harmonischen Reihe, vielen Dank an SpockGeiger, hat mir sehr geholfen!

Noch allen eine schoene Woche,
Lohdinger
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Alfred
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 18:58:   Beitrag drucken

Hallo ALLE,

hat schon mal jemand nachgedacht, ob das ganze physikalisch Sinn macht ??
Irgendwie scheint da "der Wurm" drinnen zu sein.

Gruß Alfred
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Danny Lade (Murray)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 19:15:   Beitrag drucken

Hallo Alfred,

Ich zitiere "Ein Wurm hängt am untersten Ende eines (unendlich dehnbaren) Bungee-Seils."

Ich glaube kaum das es ein solches Seil gibt. Es geht hier wohl nur um ein mathematisches Problem.

CU Murray
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hanker
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Veröffentlicht am Samstag, den 10. November, 2001 - 14:20:   Beitrag drucken

Also mein Lösungsvorschlag is
einfach und logisch:<br>Wir gehen wieder davon aus, dass der Wurm immer beim i-ten Schritt 1/i% der Gesamtlänge zurücklegt. Nun Gruppieren wir die Schritte. Die Gruppen sehen folgendermaßen aus:<br>
<table cellspacing="0" cellpadding="0" border="0">
<tr>
<td><FONT SIZE="-1"><FONT FACE="SYMBOL">2<sup>N+1</sup>-1</FONT></FONT></td>
<td rowspan="3"><font size="+2">1/i%</font></td>
</tr>
<tr>
<td><FONT FACE="symbol" SIZE=+2><B>S</B></FONT></td>
</tr>
<tr>
<td><FONT SIZE="-1">i=2<sup>N</sup></FONT></td>
</tr>
</table>
und da jedes 1/i >= 1/2<sup>N</sup> sind die summen jeweils größer als 1%. d.h, dass
<table cellspacing="0" cellpadding="0" border="0">
<tr>
<td><FONT SIZE="-1"><FONT FACE="SYMBOL">100</FONT></FONT></td>
<td rowspan="3"><font size="+2">  ( </font></td>
<td><FONT SIZE="-1"><FONT FACE="SYMBOL">2<sup>N+1</sup>-1</FONT></FONT></td>
<td rowspan="3"><font size="+2">1/i %) >= 100%</font></font></td>
</tr>
<tr>
<td><FONT FACE="symbol" SIZE=+2><B>S</B></FONT></td>
<td><FONT FACE="symbol" SIZE=+2><B>S</B></FONT></td>
</tr>
<tr>
<td><FONT SIZE="-1">n=0</FONT></td>
<td><FONT SIZE="-1">i=2<sup>N</sup></FONT></td>
</tr>
</table>
und der Wurm nach endlicher zeit die 100% des Seiles erreicht haben wird!
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Widi
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 18:30:   Beitrag drucken

Warum einfach wenns kompliziert auch geht. Ich sag einfach dass der wurm 1 meter lang ist, dann ist er beim 1. Schritt oben!
Oder man spielt das spiel so weiter, dass sich der(am anfang 1cm große) wurm mit dem Seil ausdehnt.

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