Autor |
Beitrag |
Steff_
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 17:33: |
|
In ein spitzwinkliges Dreieck ABC werden Rechtecke PCRS einbeschrieben, so dass P und Q auf der Seite AB liegen, R auf der Seite BC liegt und S auf der Seite AC liegt. Bestimmen sie die menge aller Punkte M, die Umkreismittelpunkte eines solchen Rechtecks sind. Könnt ihr mir HELFEN? BITTE! |
James
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 20:39: |
|
Hallo Steffi, Ist das Denksport? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 21:27: |
|
Hi Steff, Deine Aufgabe kann auf verschiedene Arten gelöst werden; ich wähle eine analytich-geometrische Methode. Das gegebene Dreieck ABC wird so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem gelegt, dass die Seite AB auf der x-Achse liegt und der Mittelpunkt der Seite AB mit dem Nullpunkt O zusammenfällt Die Koordinaten der Punkte A und B sind:: xA = - d , yA = 0 , xB = d , y B = 0 mit d > 0. Die dritte Ecke C habe die Koordinaten xC = g , yC = h mit h > d , abs(g) < d . Zuerst ermitteln wir die Gleichung der Geraden AC: Diese lautet: y = h / (g+d ) * ( x + d ).....................................................................(1)( Wir überzeugen uns, dass die Gerade durch die Punkte A und C geht, indem wir die Koordinaten dieser Punkte der Reihe nach in die Geradengleichung einsetzen : alles o.k. ! Nun ermitteln wir die Schnittpunkte der parallelen Geraden p zur Seite AB im Abstand t von ihr Die Gleichung dieser Geraden lautet y = t. Der in dieser Gleichung auftretende Parameter t variiert von t = 0 bis t = h, exklusive Grenzen 0 und h. Die Gerade g schneidet AC im Punkt S , die Gerade BC in R. Wir berechnen die Koordinaten dieser Schnittpunkte aus den Gleichungen der Geraden Ergebnis: xS = [ t* ( g + d ) ] / h - d , y S = t In Analogie ( ersetze - d durch d , d durch - d ) kommt xR = [ t* ( g - d ) ] / h + d , yR = t Daraus ergeben sich ohne weiteres die Koordinaten der Ecken P und Q des Rechtecks: xP = xS , yP = 0 und xQ = xR , yQ = 0. Der Umkreismittelpunkt des Rechtecks PQRS stimmt mit dem Mittelpunkt M des Rechtecks überein. Wir erhalten M als Mittelpunkt der Strecke SQ, also: xM = ½ * ( xS + xQ ) = ½ * [t / h * ( g + d + g - d ) - d + d ] -= g * t / h . yM = ½ * t In xM = x(t) ,yM= y(t) haben wir bereits eine Parameterdarstellung des gesuchten geometrischen Ortes von M vor uns Es handelt sich um eine Strecke OE. für t = 0 ergibt sich der Nullpunkt O, für t = h kommt der Punkt E (g / ½ * h ) N.B. E liegt auf der Höhe durch C und halbiert diese. Die Gleichung der Geraden, auf der die Strecke OE liegt, erhält man durch Elimination von t ; sie lautet: y = ½ * h / g * x . Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 21:58: |
|
Aufgabe ist aus der Runde 1 der akt. Mathe-Olympiade. Siehe http://www.mathe-wettbewerbe-nrw.de/MoLw/Aufgaben/Runde1_01/Download/a41101.pdf Ist die Runde 1 schon beendet? Gruß Matroid |
Steff_
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 17:03: |
|
danke erst mal für die antwort H.R. Moser! aber damit komme ich noch nicht zurecht. kannst du mir bitte mal einen anderen Lösungsvorschlag geben? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 23:21: |
|
Hi Steff, Ich führe Dir eine weitere Methode vor, bei welcher Strahlensätze und einfache Trigonometrie benützt werden. Die Bezeichnungen sind ähnlich wie beim letzten Mal Dreieck ABC Seite AB , Mittelpunkt O ; Streckenlängen AO = OB = d d = ½ * c , Seite AC = b , Innenwinkel alpha bei A. Höhe CF = h (F auf AB) Momentaufnahme: eingeschriebenes Rechteck PQRS: ( diese Reihenfolge der Ecken ). P und Q auf AB , R auf BC , S auf AC Seiten des Rechtecks p , q mit PS = p , SR = q M: Mittelpunkt des Rechtecks N: Mittelpunkt der Seite PQ (N auf AB) . Als Variable verwenden wir die Strecke u = AS. Ferner gelte ON = n , NM = m Ziel: Wenn wir nachweisen können, dass der Quotient m/n konatant , d.h. unabhängig von u und damit unabhängig von der Wahl des Punktes S auf AC ist, bewegt sich M auf einer Geraden durch O, womit das Nötigste nachgewiesen ist. Mit Hilfe der Strahlensätze erhalten wir: q / (2*d ) = (b-u) / b , daraus q = ( b - u ) * 2 * d / b ferner: p / h = u / b , daraus p = h*u / b . Auf der Geraden AB lesen wir ab: d + n = u * cos (alpha) + ½ * q, somit n = u * cos (alpha) + ½ * q - d = n = u * cos (alpha ) + (b-u)*d / b - d = u * cos(alpha) - u * d / b . für m erhalten wir: m = p / 2 = h*u / (2* b) Mit diesen Daten kommt der Quotient: n / m = 2 * b / (h*u) * { u* cos (alpha - u * d / b } BRAVO ! u hebt sich weg ! Wir erhalten schlicht und einfach: n / m = 2 / h * { b * cos (alpha) - d } Deute den Quotient {b * cos (alpha) - d } / [ h / 2 ] trigonometrisch. Anm. Es ist reizvoll, eine Zeichnung herzustellen für die Daten: alpha = 30°, h = 13 , b = 26,5 , d = 14 Für n/m erhalten wir 1,376. Dieses Resultat lässt sich leicht in der Zeichnung bestätigen. Mit freundlichen Grüssen H.Moser,megamath. |
Steff_
| Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 15:38: |
|
danke ersteinmal. und wieviele Punkte von M erhalte ich jetzt? Könnte das ein Schüler des Jahrganges 9 selber herausfinden??? Hat man da schon vereinfachte Trigometrie dran? |
|