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Beitrag |
    
Steff_
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 17:33: | 
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In ein spitzwinkliges Dreieck ABC werden Rechtecke PCRS einbeschrieben, so dass P und Q auf der Seite AB liegen, R auf der Seite BC liegt und S auf der Seite AC liegt. Bestimmen sie die menge aller Punkte M, die Umkreismittelpunkte eines solchen Rechtecks sind.
Könnt ihr mir HELFEN? BITTE! |
James
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 20:39: |
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Hallo Steffi,
Ist das Denksport? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 21:27: |
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Hi Steff,
Deine Aufgabe kann auf verschiedene Arten gelöst werden;
ich wähle eine analytich-geometrische Methode.
Das gegebene Dreieck ABC wird so in ein rechtwinkliges
Koordinatensystem gelegt, dass die Seite AB auf der x-Achse liegt
und der Mittelpunkt der Seite AB mit dem Nullpunkt O
zusammenfällt
Die Koordinaten der Punkte A und B sind::
xA = - d , yA = 0 , xB = d , y B = 0 mit d > 0.
Die dritte Ecke C habe die Koordinaten xC = g , yC = h
mit h > d , abs(g) < d .
Zuerst ermitteln wir die Gleichung der Geraden AC:
Diese lautet:
y = h / (g+d ) * ( x + d ).....................................................................(1)(
Wir überzeugen uns, dass die Gerade durch die Punkte A und C
geht, indem wir die Koordinaten dieser Punkte der Reihe nach
in die Geradengleichung einsetzen : alles o.k. !
Nun ermitteln wir die Schnittpunkte der parallelen Geraden p
zur Seite AB im Abstand t von ihr
Die Gleichung dieser Geraden lautet
y = t. Der in dieser Gleichung auftretende Parameter t
variiert von t = 0 bis t = h, exklusive Grenzen 0 und h.
Die Gerade g schneidet AC im Punkt S , die Gerade BC in R.
Wir berechnen die Koordinaten dieser Schnittpunkte aus den
Gleichungen der Geraden
Ergebnis: xS = [ t* ( g + d ) ] / h - d , y S = t
In Analogie ( ersetze - d durch d , d durch - d ) kommt
xR = [ t* ( g - d ) ] / h + d , yR = t
Daraus ergeben sich ohne weiteres die Koordinaten der
Ecken P und Q des Rechtecks:
xP = xS , yP = 0 und xQ = xR , yQ = 0.
Der Umkreismittelpunkt des Rechtecks PQRS stimmt mit dem
Mittelpunkt M des Rechtecks überein.
Wir erhalten M als Mittelpunkt der Strecke SQ, also:
xM = ½ * ( xS + xQ ) =
½ * [t / h * ( g + d + g - d ) - d + d ] -= g * t / h .
yM = ½ * t
In xM = x(t) ,yM= y(t) haben wir bereits eine Parameterdarstellung
des gesuchten geometrischen Ortes von M vor uns
Es handelt sich um eine Strecke OE.
für t = 0 ergibt sich der Nullpunkt O,
für t = h kommt der Punkt E (g / ½ * h )
N.B. E liegt auf der Höhe durch C und halbiert diese.
Die Gleichung der Geraden, auf der die Strecke
OE liegt, erhält man durch Elimination von t ;
sie lautet:
y = ½ * h / g * x .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 21:58: |
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Aufgabe ist aus der Runde 1 der akt. Mathe-Olympiade.
Siehe http://www.mathe-wettbewerbe-nrw.de/MoLw/Aufgaben/Runde1_01/Download/a41101.pdf
Ist die Runde 1 schon beendet?
Gruß
Matroid |
Steff_
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 17:03: |
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danke erst mal für die antwort H.R. Moser! aber damit komme ich noch nicht zurecht. kannst du mir bitte mal einen anderen Lösungsvorschlag geben? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 23:21: |
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Hi Steff,
Ich führe Dir eine weitere Methode vor, bei welcher
Strahlensätze und einfache Trigonometrie benützt werden.
Die Bezeichnungen sind ähnlich wie beim letzten Mal
Dreieck ABC
Seite AB , Mittelpunkt O ; Streckenlängen AO = OB = d
d = ½ * c , Seite AC = b , Innenwinkel alpha bei A.
Höhe CF = h (F auf AB)
Momentaufnahme: eingeschriebenes Rechteck PQRS:
( diese Reihenfolge der Ecken ).
P und Q auf AB , R auf BC , S auf AC
Seiten des Rechtecks p , q mit PS = p , SR = q
M: Mittelpunkt des Rechtecks
N: Mittelpunkt der Seite PQ (N auf AB) .
Als Variable verwenden wir die Strecke
u = AS.
Ferner gelte ON = n , NM = m
Ziel:
Wenn wir nachweisen können, dass der Quotient m/n konatant ,
d.h. unabhängig von u und damit unabhängig von der Wahl
des Punktes S auf AC ist, bewegt sich M auf einer Geraden durch O,
womit das Nötigste nachgewiesen ist.
Mit Hilfe der Strahlensätze erhalten wir:
q / (2*d ) = (b-u) / b , daraus q = ( b - u ) * 2 * d / b
ferner:
p / h = u / b , daraus p = h*u / b .
Auf der Geraden AB lesen wir ab:
d + n = u * cos (alpha) + ½ * q,
somit
n = u * cos (alpha) + ½ * q - d =
n = u * cos (alpha ) + (b-u)*d / b - d = u * cos(alpha) - u * d / b .
für m erhalten wir:
m = p / 2 = h*u / (2* b)
Mit diesen Daten kommt der Quotient:
n / m = 2 * b / (h*u) * { u* cos (alpha - u * d / b }
BRAVO ! u hebt sich weg !
Wir erhalten schlicht und einfach:
n / m = 2 / h * { b * cos (alpha) - d }
Deute den Quotient
{b * cos (alpha) - d } / [ h / 2 ] trigonometrisch.
Anm.
Es ist reizvoll, eine Zeichnung herzustellen
für die Daten:
alpha = 30°, h = 13 , b = 26,5 , d = 14
Für n/m erhalten wir 1,376.
Dieses Resultat lässt sich leicht in der Zeichnung bestätigen.
Mit freundlichen Grüssen
H.Moser,megamath. |
Steff_
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 15:38: |
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danke ersteinmal. und wieviele Punkte von M erhalte ich jetzt? Könnte das ein Schüler des Jahrganges 9 selber herausfinden??? Hat man da schon vereinfachte Trigometrie dran? |
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