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Pomplito (Pomplito)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 17:54: | 
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Ich habe mal letztens mit dem Sieb vom Erasthones herumprobiert und bin auf etwas interessantes gestossen.
Ich nahm alle natürlichen Zahlen und begann mit der kleinsten Primzahl 2, und strich alle Zahlen heraus, die durch 2 teilbar sind. Nun bildete ich zwischen zwei übrig gebliebenenen Zahlen die Differenz und speicherte sie in einer langen Reihe ab. Das Ergebnis war natürlich 2-2-2-2-2-2-2-2... (Die Periode der Reihe war 1)
Nun nahm ich von den verbliebenen Zahlen alle durch 3teilbaren heraus. Wieder bildete ich die Differenzreihe und es gab als Ergebnis an 2-4-2-4-2-4-2-4... (Die Periode der Reihe war 2)
Nun nahm ich alle durch 5teilbaren Zahlen raus. Die Differenzen ergaben folgende Reihe: 6-4-2-4-2-4-6-2-6-4-2-4-2-6-2-... (Die Periode war 8)
Nun nahm ich noch durch 7teilbaren Zahlen raus: Die Differenzen ergaben wieder eine sich wiederholende Reihe (Periode 48). Bei den durch 11teilbaren war die Periode 480. usw.
Nunja nun überlegte ich mir eine Vorschrift zur Periodenlängenberechnung: a1 = 1; an+1 = an*(b-1) (wobei b die n.primzahl ist)
Geprüft habe ich es bis zur Primzahl 31, aber dann wurde die Datenmenge für mein einfaches Programm einfach zu viel, für einen Beweis habe ich auch zu wenig Ahnung, vielleicht aber ihr.
Oder ist dass einfach nur Zufall? |
Pomplito (Pomplito)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 17:58: |
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Periode bei dem Rausstreichen von 2: 1 = 1*(2-1)
Periode bei dem Rausstreichen von 3: 2 = 1*(3-1)
Periode bei dem Rausstreichen von 5: 8 = 2*(5-1)
Periode bei dem Rausstreichen von 7: 48 = 8*(7-1)
Periode bei dem Rausstreichen von 11: 480 = 48*(11-1)
Periode bei dem Rausstreichen von 13: 5760 = 480*(13-1) |
Pomplito (Pomplito)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 18:12: |
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Was aber noch viel verwirrender und interessanter ist, ist folgendes!
Addiert man die Differenzen genau einer Periode heraus, so entspricht das dem Produkt aller bisherigen rausgestrichener Primzahln.
Bei 2: Summe = 2 ( 2 )
Bei 3: Summe = 6 ( 3*2 )
Bei 5: Summe = 30 ( 5*3*2 )
Bei 7: Summe = 210 ( 7*5*3*2 )
Bei 11: Summe = 2310 ( 11*7*5*3*2 )
etc. |
Danny Lade (Murray)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 20:02: |
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Ich hatte mal die Idee eine beschleunigte Variante des 'Siebs von Erathostenes' zu bauen.
Man streiche zunächst alle durch 2 teilbaren.
Und jetzt wird's toll ;-)
Man nehme die nächste nicht gestrichene Zahl, hier 3, und beginne mit dem Wegstreichen bei Ihrem Quadrat (3*3 = 9) und streiche in 6'er Schritten. u.s.w.
Tabelle:
Start | Schritt
3*3 = 9 | 2*3 = 6
5*5 = 25| 2*3*5 = 30
7*7 = 49| 2*3*5*7 = 210
...
Leider funktioniert das nicht so schön, wie man gleich sieht (5*7 und 5*13 würde man übersehen)
Bsp.: 25 (5*5) - streichen
30 (2*3*5) - gestrichen mit 2
35 (7*5) - gestrichen mit ???
40 (2*2*2*5) - gestrichen mit 2
45 (3*3*5) - gestrichen mit 3
50 (2*5*5) - gestrichen mit 2
55 (11*5) - streichen
Da wir aber beide auf die gleichen Zahlenreihen gekommen sind (und es beide nicht beweisen können) müßte es schon ein seltsamer Zufall sein :-) |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Oktober, 2001 - 22:59: |
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Nichts ist Zufall!
Nach dem chinesischen Restsatz ist eine natürliche Zahl in einem Bereich von 1 bis mn=p1*p2*p3*...*pn durch ihre Divisionsreste durch p1,p2,p3,...pn eindeutig bestimmt. Die Addition eines Vielfachen von mn liefert weitere Zahlen mit genau den gleichen Resten. Wählt man nun für die Primzahlen aufeinanderfolgende, beginnend mit p1=2, dann ist mn eben die Periode, mit der sich alle Reste wiederholen. Streicht man nun alle Zahlen heraus, die durch die Primzahlen p1,p2,p3....pn teilbar sind ( den Divisionsrest 0 ergeben ), dann gibt es eben nur mehr Zahlen innerhalb einer Periode, bei denen ein möglicher Rest wegfällt. Das gibt:
m1=2,Periode=2,Zahlen pro Periode=2-1=1,(1|3|5|7|9...)
m2=2*3,Periode=6,Zahlen pro Periode=(2-1)*(3-1)=2, (1,5|7,11|13,17|19,23|25,29|....)
m3=2*3*5,Periode=30,Zahlen pro Periode=(2-1)*(3-1)*(5-1)=8, (1,7,11,13,17,19,23,29|31,...)
und so weiter..
Die Summe aller Differenzen innerhalb einer Periode gibt logischerweise die Periodenlänge.
Die nicht gestrichenen Zahlen sind entweder Primzahlen größer pn oder zusammengesetzte Zahlen, welche ausschließlich aus Primfaktoren größer pn bestehen. Die kleinste dieser Zahlen ist offenbar (p(n+1))^2. Alle kleineren müssen Primzahlen sein.
Streicht man z.B. in einem Bereich von 1 bis 210 alle Zahlen heraus, die durch 2,3,5 oder 7 teilbar sind, bleiben 48 Zahlen übrig. Alle jene davon, die kleiner als 121 sind müssen (mit Ausnahme der 1) Primzahlen sein.
Ich hoffe diese knappen Ausführungen reichen, um die von euch festgestellten Merkwürdigkeiten zu erklären.
Gruß, Rudolf |
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