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Beitrag |
    
Thomas Gärtner
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 18:14: | 
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Hallo,
Kann jemand "Das Rätsel vom Schaaf" und einer kreisrunden Wiese lösen?. Das Schaaf wird am Rand dieser Wiese angebunden. Die Frage ist nun, wie lang das Seil zum Anbinden sein muß, damit das Schaaf nur die Hälfte der Fläche abgrast.
Vielen Dank |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 20:50: |
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Sei rW der Radius der Wiese, dann beträgt deren Fläche (Flächeninhalt):
AW = prW2.
Das Schaf soll aber nur die Hälfte dieser Fläche wegknabbern, also die Fläche:
AS = 0,5 * AW.
Wenn nun rS die Länge der Schnur ist, dann gilt:
prS2 = 0,5 * prW2
durch p geteilt:
rS2 = 0,5 * rW2
Wurzel daraus:
rS = rW * Ö0,5 = rW * 2Ö2
So viel dazu!
Ich hoffe, ich konnte helfen.
Viel Spaß noch...
Martin |
Lamm
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 21:56: |
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Hi Martin,
Ist doch völliger Stuss was Du da schreibst! |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 15:52: |
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Ist natürlich blöd, wenn man sich die Aufgabe nicht richtig durchliest und direkt von zwei konzentrischen Kreisen ausgeht. Das wäre auch viel zu einfach...
Ich glaube jetzt zu verstehen:
Der linke Kreis ist die gesamte Wiese, der rechte Kreis ist die Fläche, über die sich die angeleinte Ziege bewegen kann.
Das Grüne ist das übriggebliebene Gras, das braune ist die Fläche, die die Ziege wegfressen darf.
Ich habe die Lösung, allerdings kann man sie wahrscheinlich nur näherungsweise angeben.
Sie wird nachgeliefert. |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 15:58: |
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Habe ich das jetzt richtig verstanden (jetzt mal von der Qualität der Grafik abgesehen)?
Vielleicht weißt du ja die Lösung, Lamm? |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 16:31: |
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Hallo!
Man kann die Aufgabe mit der Integralrechnung lösen. Dazu legt man z.B. den grünen Kreis mit Radius r in den Ursprung und den großen Kreis mit Radius R in den Punkt (r ; 0).
Dann reicht es, nur die obere Hälfte der beiden Kreise zu betrachten. Für den grünen Kreis hat man die Formel
f(x) = +-Wurzel(r2 + x2)
Und der andere Kreis:
g(x) = +-Wurzel(R2 + (x-r)2)
Als nächstes muss man den (oberen) Schnittpunkt der beiden Kreise finden, indem f und g gleichgesetzt werden. Sei xs diese Stelle.
Dann kann man das Integral von -r bis xs bilden und davon das Integral von r-R bis xs abziehen. Die Fläche, die übrigbleibt, muss ein viertel (hälfte der hälfte) der grünen Kreisfläche sein.
Mit der sich ergebenden Formel ist es dann möglich aus dem Radius r den Radius R zu berechnen.
Falls gewünscht, kann ich auch die Gleichungen mal hinschreiben.
Mfg.
Uwe |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 16:44: |
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Eine weitere Möglichkeit ist, die entstehenden Flächen aus Kreissektoren und Dreiecken zusammenzusetzen. Für die Kreissektoren müssen die beiden Winkel von den Kreiszentren bis zum Punkt (xs ; f(xs) ) berechnet werden.
Bis dahin ...
Uwe |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 17:14: |
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Hallo Thomas,
Für angepflockte Ziegen siehe hier:
(gilt sicher auch für Schaate)
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/2417.html?Freitagden10Mrz20002248#POST9181 |
Thomas Gärtner
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 19:04: |
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Araiguma (Uwe) kannst du die die Gleichungen hinschreiben?
Vielen Dank an alle!!! |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 21:59: |
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Hallo Thomas!
Leider habe ich im Moment wenig Zeit. Daher schreibe ich meine Lösungsidee in mehreren Schritten.
Um den Schnittpunkt von f und g zu finden, setze ich beide Funktionen gleich (Wurzel=W):
f(x) = g(x)
W(r2 - x2) = W(R2 - (x-r)2) | quadrieren
r2 - x2 = R2 - (x-r)2 | ausmult.
r2 - x2 = R2 - x2 + 2rx - r2 | zusammenfassen
2rx = 2r2 - R2 | : (2r)
xs = (2r2 - R2)/(2r) = r - R2/(2r)
Für den zweiten Lösungsweg benötigt man noch ys:
ys = f(xs) = f(r - R2/(2r)) = W(r2 - (r - R2/(2r))2)
= W(r2 - r2 + R2 - R4/(4r2))
= W(R2 - R4/(4r2))
= W( (4R2r2 - R4)/(4r2) )
= 1/(2r) W( 4R2r2 - R4 )
= 1/(2r) W( R2(4r2 - R2) )
= R/(2r) W( 4r2 - R2 )
Den nächsten Teil schreibe ich gleich, wenn ich es schaffe. |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 22:17: |
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Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 22:29: |
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Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. September, 2001 - 00:21: |
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In der Integral-Tabelle des Bronstein ist zu lesen (int = Integral):
Für X = a2 - x2 gilt
int(W(X)dx) = 1/2 (x W(X) + a2arcsin x/a)
Für X = ax2 + bx + c und D = 4ac-b2 sowie k = 4a/D gilt
int(dx/W(X)) = -1/W(-a) arcsin (2ax+b)/W(-D), falls a<0 und D<0
int(W(X)dx) = (2x+b)W(X)/(4a) + 1/(2k)int(dx/W(X)), siehe oben
Angewendet auf f und g:
ínt(f(x) dx) = int(W(r2 - x2) dx)
= 1/2 (xW(r2-r2) + r2arcsin x/r)
int(g(x) dx) = int(W(R2 - (x-r)2) dx)
= -1/2 ( (x+r)W(R2-(x-r)2) + R2arcsin (r-x)/R )
Soweit ich mich nicht verrechnet habe. |
Araiguma (Uwe)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. September, 2001 - 20:08: |
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Ich habe es nochmal mit Maple durchgerechnet und es stimmt. Oben steht aber r2-r2, was natürlich r2-x2 heissen muss. |
Hungry-sheep
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 17:53: |
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Hi Uwe,
habe Deine Variante mit der Integration probiert!
Sie zeigt aber nur, das der Ansatz korrekt ist.
D.h. es zeigt 0=0, was ja richtig ist, liefert aber kein explizites Ergebnis für R = Länge des Seiles von Schaf zu Anpflockpunkt!
Wäre dankbar für explizite Angabe von R.
Danke |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 00:16: |
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Ich dachte, ich schreib einfach nochmal meine Idee in diesen Beitrag, der andere ist Dank mir  leider etwas unübersichtlich geworden.
Ich zeichne einen Kreis um M mit dem Radius R.
Ich zeichne P "ganz oben" auf den Umfang dieses Kreises. Der Kreis um P habe den Radius r.
So, jetzt noch mal zur Aufgabe:
Also, wir wissen:
r>R, sonst klappt das mit dem Halbkreis nicht, d. h., die geschnittene Fläche des Kreises mit Radius r ist andernfalls kleiner als die Hälfte des Kreises mit Radius R. Ebenso müssen die Schnittpunkte S,S´ oberhalb von M liegen.
Jetzt zur Ausarbeitung:
Ich zeichne einen Kreis mit dem Radius R um M. Dann wähle ich r>R so, dass die Schnittpunkte der beiden Kreise oberhalb von M liegen. Nun zeichne ich die Sekante SS´ ein, und die Strecke PM, die senkrecht auf SS´ steht.
(P ist der Mittelpunkt des Kreises mit Radius r).
Der Schnittpunkt dieser beiden Strecken sei O und SO werde mit x bezeichnet, OP mit h.
Dann gilt:
1.)
x^2+h^2=r^2
2.)
x^2+(R-h)^2=R^2
=>
h=(1/2)r^2/R (*)
Dann sei alpha der Winkel zwischen OP,PS´.
Damit ergibt sich für alpha:
h/r=cos(alpha)
Also ist
alpha=arccos((1/2)r/R). (mit (*)).
Analog bezeichne betea den Winkel zwischen SM,MO.
Dann gilt für beta:
x/R=sin(beta)
also
beta=arcsin(x/R)
Da x^2+h^2=r^2
=>
beta=arcsin({r/[2R]Wurzel(r^2-4R^2)}}
Damit ergibt sich die Fressfläche zu:
I)Kreisausschnitt geg. durch (PSS´), (formal) berechenbar mit alpha.
II) Kreisausschnitt geg. durch MSS´(berechenbar durch beta) - Fläche Dreieck MSS´ (berechenbar, da x^2+(R-h)^2=R^2 und h=(1/2)*r^2/R) - Fläche Dreieck SS´P (berechenbar, analog nach Pyth.)
Damit erhältst du (ohne Garantie) folgende zu erfüllende Gleichung:
[alpha/180°]*pi*r^2+[beta*pi*[R^2/180°]-[r/2]Wurzel(r^2-4R^2)]
=(pi/2)*R^2
Wie man das jetzt elementar lösen kann, seh ich nicht...
Vielleicht hat aber jemand noch ne Idee ?
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 00:32: |
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So, noch ne Skizze dazu (wenn auch schlechte Qualität):
Unten der Winkel ist Beta !!! (Winkel OMS´)
Winkel POS´ ist 90°.
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 23:57: |
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Siehe auch hier:
http://www.bigbandi.de/dokus/ziege/
Freundliche Grüße
STEVENERKEL |
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