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Zauberer

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Matthias
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Veröffentlicht am Montag, den 03. September, 2001 - 15:28:   Beitrag drucken

Hi, wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.


Ein Zauberer sagt: "Denke dir zwei Zahlen. Addiere und multipliziere sie nun. Addiere und subtrahiere jetzt die beiden erhaltenen Ergebnisse. Nenne mir nur die Ergebnisse dieser Addition und Subtraktion."
Nun kann der Zauberer die beiden ursprünglichen Zahlen angeben.
Kannst du dies erklären?

Hinweis: Der Zauberer addiert 1 zu den ihm genannten Zahlen

Beispiel: Petra: "Summe 95 Differenz 59" Zauberer: "Die Zahlen sind 7 und 11"
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Montag, den 03. September, 2001 - 19:34:   Beitrag drucken

Wir denken uns zwei beliebige Zahlen a und b.
Wir führen die geforderten Rechenoperationen durch und nennen dem "Zauberer" die beiden erhaltenen Zahlen:
c = ab + (a + b) und
d = ab - (a + b).

Du gibst den Hinweis, dass der "Zauberer" zu den beiden Zahlen je 1 addiert, also machen wir das auch und erhalten:
c + 1 = ab + (a + b) + 1 und
d + 1 = ab - (a + b) + 1.

Wenn wir nun etwas geschickt sind, sehen wir, dass sich die Terme rechts vom Gleichheitszeichen auch anders schreiben lassen, nämlich so:
c + 1 = (a + 1)(b + 1) und
d + 1 = (a - 1)(b - 1).

Der Zauberer muss also nur die beiden Zahlen c+1 und d+1 in je zwei Faktoren zerlegen, sie sich paarweise um zwei unterscheiden. Die zwischen diesen Faktorenpaaren liegenden Zahlen sind die ursprünglich gedachten.
Ich erkläre das an dem Beispiel:

c + 1 = 96
d + 1 = 60

96 = (a + 1)(b + 1)
60 = (a - 1)(b - 1)

Nun gibt es mehrere Möglichkeiten, beide Zahlen zu zerlegen, aber wenn man sie alle durchgeht, sieht man, dass nur eine Möglichkeit folgende Eigenschaft aufweist:
96 = 8 * 12 ; 60 = 6 * 10
8 = 6 + 2 ; 12 = 10 + 2.
D.h. die Faktoren der Summe müssen durch jeweiliges Addieren der Zahl 2 zu den Faktoren der Differenz erzeugbar sein. Die Zahlen dazwischen (6 ; 7 ; 8 und 10 ; 11 ; 12) sind die anfangs gedachten.
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Montag, den 03. September, 2001 - 19:46:   Beitrag drucken

Hättest du nicht den Hinweis gegeben, dass der "Zauberer" 1 dazuaddiert, hätte ich es anders gelöst:

Ich erhalte die Zahlen:
c = ab + (a + b) und
d = ab - (a + b).

Nun addiere ich einmal c und d und subtrahiere sie einmal, erhalte also:
e = ab + (a + b) + ab - (a + b) = 2ab und
f = ab + (a + b) - [ab - (a + b)] = 2(a + b)

Beide Zahlen teile ich durch zwei und versuche e/2 in zwei Faktoren zu zerlegen, die gleichzeitig die Summanden von f/2 sind. Das sind dann die beiden gesuchten Zahlen.
Am Beispiel:

c = 95
d = 59

e = c + d = 95 + 59 = 154
f = c - d = 95 - 59 = 36

e/2 = 77
f/2 = 18

77 lässt sich nur in 7 * 11 zerlegen (mal von 1*77 abgesehen). Diese Faktoren ergeben addiert auch 18, also haben wir die gesuchten Zahlen gefunden.


Jetzt für dich:
c = 431
d = 351
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dave
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 13:26:   Beitrag drucken

Nach Martins Ansatz braucht man überhaupt nicht mehr probieren. Man kann die 2 Zahlen als Lösung einer quadratischen Gleichung erhalten.

z. B. x^2-18+77=0 Lösung:7,11

David
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dave
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Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 13:29:   Beitrag drucken

natürlich solls heißen: x^2-18x+77=0

David
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. September, 2001 - 12:02:   Beitrag drucken

Natürlich hat dave Recht, aber ob so oder so:
Es kommt nicht auf das Lösungsverfahren an, sondern auf die Zahlen selbst. Denn es wird schwer die Teiler einer sechsstelligen Zahl (als Beispiel) zu finden. Genauso schwer wird es auch sein, die dazugehörige quadratische Gleichung zu finden.

Gruß

Martin

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