| Autor |
Beitrag |
    
Cindy (Cindyy)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 18:38: | 
|
Man wähle zwei beliebige natürliche Zahlen aus und bilde deren Summe, ihre Differenz und ihr Produkt. es ist zu beweisen, daß es unter diesen Zahlen wenigstens eine durch 3 teilbare ist. |
Martin (Martin243)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 19:01: |
|
Wir haben also zwei beliebige natürliche Zahlen a und b. Es ergeben sich für dieses Zahlenpaar 6 Möglichkeiten (eigentlich 32 = 9, aber es kommen drei Möglichkeiten doppelt vor):
(Wir setzen voraus: m,n Element aus N0)
I) a = 3m ; b = 3n
II) a = 3m ; b = 3n+1
III) a = 3m ; b = 3n+2
IV) a = 3m+1 ; b = 3n+1
V) a = 3m+1 ; b = 3n+2
VI) a = 3m+2 ; b = 3n+2
I)
Hier sind alle 3 Ergebnisse durch 3 teilbar:
a + b = 3m + 3n = 3*(m+n)
a - b = 3m - 3n = 3*(m-n)
a * b = 3m * 3n = 9mn = 3*(3mn)
II)
Hier ist nur das Produkt durch 3 teilbar:
a * b = 3m * (3n+1) = 3*(3mn+m)
III)
Hier ist auch nur das Produkt durch 3 teilbar:
a * b = 3m * (3n+2) = 3*(3mn+2m)
IV)
Hier ist nur die Differenz durch 3 teilbar:
a - b = (3m+1) - (3n+1) = 3m-3n+1-1 = 3*(m-n)
V)
Hier ist nur die Summe durch 3 teilbar:
a + b = (3m+1) + (3n+2) = 3m+3n+1+2 = 3*(m+n+1)
VI)
Hier ist wieder lediglich die Differenz durch 3 teilbar:
a - b = (3m+2) - (3n+2) = 3m-3n+2-2 = 3*(m-n)
Wir haben alle möglichen Fälle untersucht und gezeigt, dass in jedem Fall mindestens eine der drei Rechenoperationen ein durch 3 teilbares Ergebnis ergibt. |
|
