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Mir qualmt der Kopf!!!

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Cindy (Cindyy)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 13:57:   Beitrag drucken

Es sind alle natürlichen Zaheln zu ermitteln, die folgende Bedingungen erfüllen:

a) die Zahl ist sechstellig
b) die aus der ersten und zweiten bzw. aus der dritten und vierten bzw. der fünften und sechsten ziffer gebildeten Zahlen verhalten sich wie 1:2:3.
c) die Zahl ist durch 72 teilbar.
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 14:32:   Beitrag drucken

Die Zahl x hat die Form:

x = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f

a) mit a ungleich 0;

b) 10a + b : 10c + d : 10e + f = 1 : 2 : 3
also:
60a + 6b = 30c + 3d = 20e + 2f

c) Die Zahl ist durch 72 teilbar, also gleichzeitig durch 8 und durch 9.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus den letzten 3 Ziffern (d,e,f) gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.
Sie ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme (a+b+c+d+e+f) durch 9 teilbar ist.
Also:
100d + 10e + f ist durch 8 teilbar
a + b + c + d + e + f ist durch 9 teilbar

Da gemäß b) die ersten beiden Ziffern mit 3 multipliziert immer noch eine zweistellige Zahl ergeben sollen (und zwar die letzten beiden Ziffern), kommen für 10a+b nur Zahlen bis 33 in Frage. Also haben wir momentan 24 Möglichkeiten (wegen 10a + b im Bereich von 10 bis 33).

Wegen dem Verhältnis 1:2:3 und der Teilbarkeit durch 9 wissen wir, dass
10a+b+10c+d+10e+f, also 10a+b+20a+2b+30a+3b = 60a+6b durch 9 teilbar sein muss, also zumindest 20a+2b durch 3(oder einfacher 10a+b, denn die Division durch 2 ändert sich nichts an der Teilbarkeit durch 3).
Also kommt aus unserer Menge von 24 Möglichkeiten nur noch jede dritte in Frage, da nur jede 3. natürliche Zahl ein Vielfaches von drei ist.
Wir zählen mal unsere Möglichkeiten für 10a+b auf:
12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33.

Hier fallen schon mal die ungeraden Zahlen weg, da sich somit eine ungerade Endziffer ergäbe, die ja nicht durch 8 oder 72 teilbar ist. Bleiben übrig:
12; 18; 24; 30.

Nun können wir alle 4 Zahlen bilden (ist ja nicht so viel) und systematisch auf Teilbarkeit durch 8 prüfen:

122436 : 8 = 15304,5 negativ
183654 : 8 = 22956,75 negativ
244872 : 8 = 30609 Jipppiieee!
306090 : 8 = 38261,25 negativ

Unsere Zahl lautet also: 244872.

Wir prüfen nochmal:

244872 ist sechsstellig.

Es gilt : 24 : 48 : 72 = 1 : 2 : 3.

244872 : 72 = 3401


Das war's.

Simpel, net wahr?
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 14:35:   Beitrag drucken

Ach ja, nur der Form halber:
Direkt am Anfang sollte man vielleicht schreiben:

a Element aus N<10 ; b,c,d,e,f Element aus N0<10.

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