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Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 02:31: | 
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Hallo, ist nichts dringendes, ist mir zwar ein "Rätsel", aber leider weiß ich dafür keine Lösung, ist mehr so zur unterhaltsamen Nachdenkerei:
a) Schaut man in den Bronstein, findet man für
die Summe der k-ten Potenzen der Stammbrüche Sn=1oo n-k
nur dann konkrete Reihensummen, wenn k eine gerade Zahl ist:
für k=2 ist der Wert der Reihe gleich p2/6,
für k=4 ist der Wert der Reihe gleich p4/90
für k=6 vermute ich den Wert p6/945.
Was ist mit dem Wert der Reihe
Sn=1oo n-3 ?
Lässt der sich nicht konkret ausdrücken?
Wenn auch die fünfte Potenz der Stammbrüche vielleicht nicht so wichtig ist, die dritte Potenz ist doch eigentlich in der Anwendung noch relativ wichtig, oder?
b) Genauso ist es mit der Reihe
Sn=1oo (-1)n+1/nk,
für k=1 hat sie den Wert ln2,
für k=2 ist ihr Wert p2/12,
für k=4 steht dort 7p4/720,
der Wert für k=3 fehlt wieder.
c) Und mit Sn=0oo 1/(2n+1)k ist es wieder so:
k=2 ergibt p2/8,
k=4 ergibt p4/96
und für k=6 vermute ich, dass die Reihe den Wert p6/960 hat.
Warum ist k=3 nie dabei? |
HansMayer
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Juli, 2001 - 11:29: |
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Die Summe der Riemannschen Zetafunktion z(k) = S¥ n=1 n-k wird wird für k = 2n mithilfe der sogenannten Bernoulli-Zahlen Bkermittelt, die aber für k = 2n+1 leider gleich Null sind, d.h. der geschlossene Ausdruck für die Reihensumme verschwindet.
Für k = 2n lautet die geschlossene Formel:
z(2n) = (-1)n-1 (2p)^2n/2*(2n)!*B2n.
Für Deinen zweiten Fall lautet der geschlossene Ausdruck:
S¥ n=1 (-1)n+1/nk = (-1)n-1 (4^n - 2)*p^2n/2*(2n)!*B2n
Wiederum verschwinden die Bernoulli-Zahln für ungerades n.
Schließlich der dritte Fall:
S¥ n=0 1/(2n+1)k = (-1)n-1 (4^n - 1)*p^2n/2*(2n)!*B2n
Und nun die Werte der ersten Bernoulli-Zahlen:
B0 = 1, B1 = -1/2, B2 = 1/6, B4 = -1/30...
Die Bernoulli-Zahlen ergeben sich aus einer Rekursionsformel, die Du auch im Bronstein finden kannst.
Über die ungeraden Werte der Zetafunktion ist so gut wie nichts bekannt. Erst 1978(!) wurde bewiesen, daß z(3) irrational ist. Der Beweis dieser Tatsache ist aber hochkompliziert.
Den geschlossenen Ausdruck für z(2n) findet man mit der sogenannten Eulerschen Summenformel (vgl. Bronstein).
MfG Hans |
Constantin Reinders
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Juli, 2001 - 00:02: |
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Danke schonmal für die sehr ausführliche Antwort.
Das wird noch ein bisschen dauern, bis ich mich da richtig reingefunden habe. |
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