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DIZ
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 12:36: | 
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Hallo,
Eine konventionelle Waage hat zwei Schalen.
Auf einer Seite steht eine Sanduhr und
auf der anderen Seite soviel,
daß diese im Gleichgewicht ist.
Was passiert , wenn man
die Sanduhr rumdreht ?
viel spass!! |
chris
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Juni, 2001 - 13:02: |
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solange der sand nach unten fällt, wirkt durch die potentielle energie (die beim fallen zu kinetischer wird) beim auftreffen der sandkörner am boden eine kraft (d.h. die seite geht nach unten) sobald der sand durch ist stellt sich das gleichgewicht wieder ein.
kommt hin oder? |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 08:09: |
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Wenn wir den Einfluß der Luft beiseite lassen, so ist die während des Aufstoßens übertragene Kraft gleich der Impulsänderung in dieser Zeit t. Fallhöhe h: P = m v = m sqr(2 g h), also F = m g * sqr(2 h / g*t²) = m g K.
Der Unterschied zum regulären Gewicht müßte an diesem "Korrekturfaktor" K hängen. Abschätzung h =! 5 cm,t =! 0,1 s -> K = 1. |
DIZ
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 09:53: |
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zu cris :
auftreffende sandkörner übertragen einen impuls
auf die waage.
aber was ist mit den fallenden Körnern,
die sich noch im "Flug" befinden ? |
franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Juni, 2001 - 11:31: |
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Die wiegen, Luft nicht beachtet, nix. Genau deshalb mein Versuch einer Abschätzung dieser konkurrierenden Effekte: Neigt sich die Waage beim Schütten? (Scheint mir noch offen.) |
Yleph (Yleph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Juni, 2001 - 12:55: |
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Einschwingvorgänge und das Eigengewicht der Uhr und außerdem die Höhe des Sandes in beiden Gefäßen werden mal vernachlässigt.
t0 sei der Umdrehzeitpunkt, t1 die Fallzeit eines Sandkornes und Fg das Gewicht des Sandes, F das von der Waage angezeigte Gewicht.
Dann rieselt in der Zeit t die Sandmasse m = f * t durch das Loch der Uhr (f = const. "Fluß").
Solange noch der Sand noch nicht auf den Boden trifft nimmt die Menge des Sandes ab, der seine Gewichtskraft auf die Uhr, und damit auf die Waage überträgt.
Dh. zum Zeitpunkt t0 ist das Gewicht der Uhr gleich Fg.
Zum Zeitpunkt t' (zwischen t0 und t1) befindet sich genau f * t' Sand zwischen Loch und Boden der Uhr. Dh. die Gewichtskraft wird um f * t' * g (g Erdfallbeschl.) verringert.
Dh. F(t) = Fg - f * g * t für t zw. t0 und t1.
Ab dem Zeitpunkt t1 trifft in der Zeit t die Masse f * t auf den Boden der Uhr. Dh. die Menge des durch das Loch rieselnden Sandes ist von nun gleich der auftreffenden, die dann wieder ihre Gewichtskraft auf die Waage ausübt.
=> Die Masse des rieselnden Sandes ist konstant gleich f*t1 und damit die Verringerung der Gewichtskraft durch Rieseln (f*g*t1).
Die für die Impulsänderung beim Auftreffen benötigte Kraft wirkt aber zusätzlich zur Gewichtskraft auf die Waage.
Die kinetische Energie des Sandes ist gleich der Änderung der potentiellen Energie durch den Fall, dh. E = m*g*h = 1/2*m*v², Fallhöhe h = 1/2*g*(t1)².
=> v = Sqrt(g²*(t1)²) = g*t1 ist die Aufprallgeschwindigkeit.
Da die Geschwindigkeit nach dem Aufprall 0 ist ist die Impulsänderung des in der Zeitspanne t auftreffenden Sandes gleich m*v=(f*t)*(g*t1).
Diese Impulsänderung pro Zeit t ist gleich der Kraft die auf die Waage übertragen wird und deshalb ist die von der Waage ablesbare Kraft:
F(t) = Fg - f * g * t1 + f * g * t1 = Fg für t zw.t1 und t2.
Wenn das obere Gefäß leer ist (Zeitpunkt t2), wird ein zum Zeitraum t0 bis t1 symmetrischer Vorgang stattfinden, dh. F(t) = Fg + f * g * t für t zw. t2 und Stillstand.
Danach befindet sich das System in Ruhe und die Waage zeigt Fg an.
Das ganze auf eine Zweischalenwaage zu übertragen bleibt dem geneigten Leser überlassen.
Man kann nun noch berücksichtigen, daß üblicherweise der Sand in Sanduhren nicht flach sonder in Haufen vorzufinden ist, dann muß man ein permanentes Rieseln des Sandes in beiden Gefäßen und eine Verkürzung der Fallzeit in die Rechnung mit einbeziehen, aber das ist von der Form der Sanduhr und ihrem Füllstand abhängig und deshalb höchstens für konkrete Fälle berechenbar.
Dann könnte man auch gleich damit anfangen den Sand nicht als ideale Flüssigkeit sondern als poröse Festkörperkrümel unbestimmbarer Form und Größe zu betrachten. |
Friedel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Juli, 2001 - 03:35: |
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Um den Vorgang zu untersuchen muß man ein paar zusätzliche Definitionen machen. Die Sanduhr ist ein geschlossenes System, luftdicht. Dadurch ist es auch egal, ob es außer mit Sand, mit Vakuum gefüllt ist (genial bescheuerte Formulierung), mit Luft, oder sonst einem nicht-festen Medium mit kleinerer Dichte als der Dichtes des Sandes gefüllt ist.
Zeitpunkt T(0):
Noch kein Sandkorn bewegt sich -> Die Waage ist im Gleichgewicht. Die Gesamtkraft F auf das System ist seime Masse • g.
Zeitraum T(0) bis T(1). T(1) ist der Zeitpunkt, wo das erste Sandkorn unten ankommt:
Die Sabdkörner beginnen nach unten zu rieseln. Ein immer großer werdende Masse beschneunigt gleichmäßig mit g nach unten. Die resultierende Kraft wirkt der F entgegen -> Die Sanduhr ist leichter.
Zeitraum T(1) bis T(2). T(2) ist der Zeitpunkt, wo das letzte Sandkorn anfängt zu fallen:
Die Sandkörner prasseln auf den Boden der Sanduhr. Der Impuls, der pralell zu F wirkt, ist genau so groß wie die Summer aller Beschleunigungen, die die gerade fallenden Sandkörner erfahren -> Die Waage ist wieder im Gleichgewicht.
Zeitraum T(2) bis T(3). T(3) ist der Zeitpunkt, wo das letzte Sandkorn unten ankommt:
Solange unten noch Sandkörner ankommen ändert sich an den Impulsen nix. Die Summe der Beschleunigungeb, die die fallenden Sandkörner erfahren, nimmt mit der Zahl der Sandkörner ab, die gerade unterwegs sind -> Die resultierende Gesamtkraft nimmt immer mehr zu, die Eieruhr wird schwerer.
Zeitpunkt T(3):
Alles ist wieder in Ruhelage. Keine Beschleunigung und keine Impulse -> Gleichgewicht |
Yleph (Yleph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 12:18: |
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Hi Friedel,
es ist nicht egal, ob die sanduhr nur Sand oder noch sonstwas enhält, da du dann die Reibung (im günstigsten Fall) bzw. die Kollisionen der Sandkörner mit den Luftatomen und der Luftatome untereinander betrachten (im realistischsten Fall) müßtest.
Nehmen wir den günstigsten Fall an, dann sorgt die Reibung dafür, daß die Beschleunigung nicht mehr konstant ist, sondern von der Fallzeit (da die Reibungskraft geschwindigkeitsabhängig ist) abhängt. Und dann hast du plötzlich Differentialgleichungen statt Grundrechenarten. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 12:25: |
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hi DIZ,
sehr nett, dass Du uns was zum abmuehen gibst, und dann selber zuschaust und Dich amuesierst.
Was ich aber vermisse sind kommentare Deinerseits z.B. zu den sehr verzwickten ansaetzen von Yleph, der offenbar spass daran hat, durch zusaetzliche kollisionen und reibungen die aufgabe eher schwieriger als einfacher zu machen.
Friedel argumentiert meiner Ansicht nach genau in die richtige richtung. was mir aber problematisch erscheint ist z.B. die Aussage
"Der Impuls, der pralell zu F wirkt, ist genau so groß wie die Summer aller Beschleunigungen, die die gerade fallenden Sandkörner erfahren -> Die Waage ist wieder im Gleichgewicht."
Hier handelt es sich meiner meinung nach um eine reine behauptung.
ich habe den eindruck, dass Friedel das problem so angehen moechte, dass die zwischenzeitlichen auslenkungen symmetrisch zur mittellage sind. zu einer solchen annahme besteht jedoch kein anlass.
deshalb geb ich mal meine loesung:
was innerhalb der sanduhr passiert ist für die berechnung der aufgabe nur in zweierlei hinsicht wichtig.
1) die vorgaenge laufen quasi kontinuierlich ab, d.h. wir muessen uns nicht um das auftreffen einzelner koernchen kuemmern, sondern koennen beruhigt annehmen, das ein kontinuierlicher materialfluss innerhalb der sanduhr stattfindet.
2) der schwerpunkt des gesamtsystems "sanduhr" bewegt sich waehrend des rieselns nach unten.
d.h. so lange die sanduhr laeuft kann man sagen, dass der schwerpunkt der sanduhr ganz langsam faellt. dieser langsame fall fuehrt dazu, dass die sanduhr leichter wird.
nach abschluss des rieselns wird sie wieder dasselbe gewicht haben, aber die situation ist nicht mehr dieselbe, denn der schwerpunkt der abgelaufenen sanduhr liegt tiefer als derjenige der aufgezogenen. wenn die waage also keine aktiven rueckstellkraefte haette (was die meisten waagen aber haben) waere hinterher die schale mit der eieruhr zwar in ruhe aber hoeher als die mit dem gegengewicht.
viele gruesse (in erwartung Deiner kommentare)
mrsmith |
uhrmacheruwe
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. April, 2011 - 23:52: |
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Wenn man die Sanduhr umdreht, hebt sich die Schale auf der die Sanduhr stand, weil diese jetzt entlastet wird und die andere Schale senkt sich, da sie jetzt schwerer ist. :-) |
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