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Rudolf
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 13:06: | 
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Hallo Freunde!
Kennt ihr das berühmte Ziegenproblem? Über die Lösungen haben schon kompetente Fachleute auf Biegen und Brechen gestritten. Ich stelle einmal die Aufgabe vor und meine eigenen Überlegungen und würde gerne eure Meinung dazu lesen.
Die Aufgabe:
Am Ende einer Fernseh-Show darf der Hauptgewinner durch eine Art Losentscheid seinen Gewinn ermitteln. Er wählt eine von drei Türen, hinter denen sich möglicherweise der Gewinn verbirgt. Eine der drei Türen verbirgt den Hauptgewinn, hinter den beiden anderen steht jeweils ein Ziegenbock als Symbol für die Niete.
Nachdem nun der Gewinner eine Tür ausgewählt hat, gibt der Showmaster ihm eine zusätzliche Chance: Er öffnet eine der beiden verbliebenen Türen, eine Niete natürlich, und bietet dem Kandidaten die Chance, seine Wahl beizubehalten oder auf die dritte noch verbliebene Tür zu wechseln. Die entscheidende Frage lautet: Erhöhen sich seine Gewinnchancen, wenn er wechselt, oder bleiben sie gleich (oder sinken sie gar)?
Die angeblich richtige Lösung ist, daß die Gewinnchance bei einem Wechsel doppelt so groß ist als beim Beibehalten der ürsprünglichen Wahl. Ich jedoch meine, daß sämtliche mit bedingten Wahrscheinlichkeiten operierenden "Beweise" dafür von einem völlig falschen Ansatz ausgehen.
Hier meine Überlegungen:
Die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Ausgang eines Experiments hängt bei gleicher Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ausgänge nur von der Anzahl der Möglichkeiten (n) ab und beträgt W=1/n. Dies gilt jedoch nur dann, wenn keine zusätzliche Information, den Ausgang des Experiments betreffend vorhanden ist.
Zunächst weiß der Kandidat nur, daß sich der Gewinn hinter einer von drei Türen befindet, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Er trifft eine beliebige Wahl und erhält anschließend durch das Öffnen einer Türe, hinter der sich eine Niete befindet zusätzliche Information:
Er weiß, daß sich hinter der geöffneten Türe der Gewinn sicher nicht befindet (W=0). Somit ist es sicher (W=1), daß sich der Gewinn hinter einer der restlichen Türen befindet. Sie beträgt für jede der Türen nunmehr 1/2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat sich also durch die Zusatzinformation geändert und die ursprüngliche Verteilung ist nicht mehr relevant. Es ist daher völlig gleichgültig, ob er bei seiner Wahl bleibt oder ob er wechselt.
Was meint ihr dazu? |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 15:21: |
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Hallo Rudolf,
Da liegst du ziemlich falsch!
Am Besten stellst du dir das Experiment mit 100 Türen, einem Gewinn und 99 Ziegenböcken vor.
Der Kandidat wählt nun eine Tür und der Quizmaster (der die Gewinntür ja kennt) öffnet 98 Türen mit Böcken dahinter.
Glaubst du noch immer, die beiden verschlossenen Türen haben dann gleiche Gewinnchancen?
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Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 15:23: |
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Hi Rudolf!
Ich denke, du unterliegst hier einem Irrtum. Erstens wird durch das Öffnen Zusatzinformation preisgegeben und außerdem reduziert sich das Probelm doch darauf, dass man immer genau dann gewinnt mit der Änderungsstrategie, wenn man anfangs falsch liegt. Das Falschliegen ist bekanntlich mit P=2/3 wahrscheinlicher als das Richtigliegen und folgliche Verlieren.
Sollte das nicht einsichtig sein, dann simulier es doch einfach mal.
Bei mir ergab sich in einem größeren Versuch eine Wahrscheinlichkeit von ~68%, richtig zu liegen mit der Änderunstaktik.
mfG, Xell (a.k.a. Michael)
P.S.: Nicht etwa der Rudolf aus'm "Mathe m. Spaß"-Forum? |
Pomplito
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 20:33: |
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Ähm bitte klärt einen Unwissenden darüber mal auf.
Auf wenn er 98 Türen öffnet, so bleiben doch 2 Türen zu. Da niemand weiss, hinter welcher Tür der Gewinn ist, ist die Chance richtig zu liegen 0.5.
Weil ich habe Tür 1 gewählt z.B. dann weiss ich, ich liege mit 2/3 Wahrscheinlichkeit falsch. Nun fällt eine Entscheidung weg. Bleibe ich bei der Tür habe ich 1/2 Gewinnchance, wechsle ich habe ich auch 1/2 Gewinnschance, oder wo ist da mein Denkfehler? |
Rudolf, der Echte
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 06:36: |
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Hallo!
Da schreibt jemand unter meinem Namen und meiner email-Adresse!
Natürlich ist die Chance beim Wechseln 2/3. Wenn man das Spiel oft spielt und der Kandidat mal wechselt, mal nicht, kommt tatsächlich 50% heraus, das ist genau das Mittel von 1/3 beim Beharren und 2/3 beim Wechseln. Was bei der anderen Lösung nicht berücksichtigt wurde ist die Tatsache, daß die erste Wahl den Spielverlauf insofern
beeinflußt, daß der Showmaster das Tor, das der Kandidat ausgewählt hat, nicht öffnen darf.
Gruß, Rudolf
Für Pomplito:
Überleg dir das mal mit den 100 Türen. Die Tür bei der ersten Wahl zu erraten ist winzig, nämlich nur 1%. Werden nun 98 leere Türen geöffnet, dann befindet sich der Gewinn zu 99% hinter der noch geschlossenen nicht beim ersten Mal gewählten Tür. |
ZahlReich-Technik
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Juni, 2001 - 19:50: |
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Rudolf der Echte,
um Deine Beiträge sicher kenntlich zu machen, kannst Du Dir ein Benutzerkonto (kostenlos) einrichten, dann hast Du das Senden unter Deinem Benutzernamen/email paßwortgeschützt.
ZahlReich-Technik |
fjhey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 15:10: |
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hallo zusammen
die lösung herzuleiten würde den platz hier sprengen, deshalb sei auf gero v. randows buch "das ziegenproblem" verwiesen. darin befindet sich auch ein basic-listing zur simulation.
viel spaß
fjhey |
pecahuna
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 17:20: |
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hallo fjhey,
das ist ja erstaunlich. nach dem lesen dieser paar beitraege hier habe ich den eindruck, dass ich das problem ziemlich gut verstanden habe. und da gibt es einen blaubluetigen, der damit ein ganzes buch fuellt? wie hat er das denn gemacht?
um noch mal einen anderen aspekt zu bringen:
es gibt drei verschiedene gleichwahrscheinliche moeglichkeiten fuer die position des gewinns.
schauen wir mal von der position des showmasters aus:
der showmaster hat beim oeffnen der tueren in zwei von drei faellen nur eine einzige wahl, eine tuer zu oeffnen, denn hinter der anderen ist der gewinn, auf die verbleibende aber hat der kandidat gesetzt. nur in einem von drei faellen, kann der showmaster eine beliebige tuere oeffnen, naemlich dann, wenn der kandidat schon den richtigen tip abgegeben hat.
viele gruesse pecahuna |
Jasoistes
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 18:33: |
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Das Buch ist nur gefüllt um damit den Leuten Geld herauszulocken! |
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