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Beitrag |
    
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 16:40: | 
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Hallo Leute!
Das Problem:
Ein Kandidat steht vor 3 verschlossenen Türen. Genau hinter einer steht als Hauptgewinn eine Ziege. Der Kandidat entscheidet sich für eine Tür, der Spielleiter öffnet daraufhin eine der beiden anderen Türen, und die Ziege befindet sich nicht dahinter. Der Kandidat erhält daraufhin die Möglichkeit, seine Wahl zu ändern. Wird dadurch die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Kandidaten größer ?
a) Wie groß ist die Gewinnchance in diesem Fall mit/ohne "Änderungsstrategie"?
b) Wie groß ist die Gewinnchance bei a Ziegen und n Toren mit/ohne der beschriebenen "Änderungsstrategie"?
Unten steht meine Lösung. Wenn ihr es selbst lösen wollt, bitte nicht weiterlesen!
((Anm.: Bei b) erhalte ich für die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen mit Änderung
Pmit(a,n)=a/n* n-1/n-2)) |
thalesx
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. April, 2001 - 17:21: |
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zu a)
Wahrscheinlichkeit mit Änderung: 2/3
Wahrscheinlichkeit ohne Änderung: 1/3 |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 15:53: |
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Eine sehr ausführliche Lösung findet man Ziegenproblem |
Alex (Thjalfi)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. April, 2001 - 17:42: |
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Also ich werde es mal in Worten ausdrücken:
Der Kandiat muss zuerst wählen, die Chance, dass er nichts kriegt, liegt bei 2/3. Nachdem der Quizmaster ein Tor aufgemacht hat unter dem keine Ziege ist, ist die wahrscheinlichkeit, dass er bei einem Wechsel die Ziege bekommt größer, da die Wahrscheinlichkeit, dass er vorher nicht auf einer Zeige war größer ist.
Nicht verstanden? auch egal |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 13:17: |
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Hallo Freunde!
Ihr liegt beim Ziegenproblem alle falsch, genauso wie bereits unzählige wirklich kompetente Fachleute vor euch einen Trugschluß begangen haben.
Hier meine Überlegungen:
Die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Ausgang eines Experiments hängt bei gleicher Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Ausgänge nur von der Anzahl der Möglichkeiten (n) ab und beträgt W=1/n. Dies gilt jedoch nur dann, wenn keine zusätzliche Information, den Ausgang des Experiments betreffend vorhanden ist.
Zunächst weiß der Kandidat nur, daß sich der Gewinn hinter einer von drei Türen befindet, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Er trifft eine beliebige Wahl und erhält anschließend durch das Öffnen einer Türe, hinter der sich eine Niete befindet zusätzliche Information:
Er weiß, daß sich hinter der geöffneten Türe der Gewinn sicher nicht befindet (W=0). Somit ist es sicher (W=1), daß sich der Gewinn hinter einer der restlichen Türen befindet. Sie beträgt für jede der Türen nunmehr 1/2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung hat sich also durch die Zusatzinformation geändert und die ursprüngliche Verteilung ist nicht mehr relevant. Es ist daher völlig gleichgültig, ob er bei seiner Wahl bleibt oder ob er wechselt.
Stehen anfangs n Tore zur Auswahl, dann verteilt sich die Wahrscheinlichkeit nach dem Öffnen eines Tores, hinter dem sich eine Niete befindet, auf n-1 Tore. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für den Kandidaten beträgt daher 1/(n-1), wieder unabhängig davon, ob er wechselt oder bei seiner Wahl bleibt.
Gruß, Rudolf |
Xell
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Juni, 2001 - 13:56: |
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Hi Rudolf!
Ich denke, du unterliegst hier einem Irrtum. Erstens wird durch das Öffnen Zusatzinformation preisgegeben und außerdem reduziert sich das Probelm doch darauf, dass man immer genau dann gewinnt mit der Änderungsstrategie, wenn man anfangs falsch liegt. Das Falschliegen ist bekanntlich mit P=2/3 wahrscheinlicher als das Richtigliegen und folgliche Verlieren.
Sollte das nicht einsichtig sein, dann simulier es doch einfach mal.
Bei mir ergab sich in einem größeren Versuch eine Wahrscheinlichkeit von ~68%, richtig zu liegen mit der Änderunstaktik.
mfG, Xell (a.k.a. Michael)
P.S.: Nicht etwa der Rudolf aus'm "Mathe m. Spaß"-Forum? |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 06:42: |
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Hallo!
Da schreibt jemand unter meinem Namen und meiner email-Adresse!
Natürlich ist die Chance beim Wechseln 2/3. Wenn man das Spiel oft spielt und der Kandidat mal wechselt, mal nicht, kommt tatsächlich 50% heraus, das ist genau das Mittel von 1/3 beim Beharren und 2/3 beim Wechseln. Was bei der anderen Lösung nicht berücksichtigt wurde ist die Tatsache, daß die erste Wahl den Spielverlauf insofern
beeinflußt, daß der Showmaster das Tor, das der Kandidat ausgewählt hat, nicht öffnen darf.
Gruß, Rudolf
Für Xell:
Ja, mich (den Echten) gibts auch manchmal in "Mathe macht Spaß". |
ROLW
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 15:25: |
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hmmm, das mit den P=2/3 nach dem Tauschen klingt zwar logisch, aber ich hätte auch die Wahrscheinlichkeit mit dem fifty-fifty vermutet, denn wenn ich 2 Tore habe ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter einem der Hauptgewinn verbirgt P=1/2 und das ist hier ja auch der Fall, nachdem ein Tor geöffnet wurde, das den Hauptgewinn NICHT enthält....
vielleicht verstehe ich eure Formulierungen nicht richtig...
das am Anfang die Wahrscheinlichkeit für das Richtiegliegen P=1/3 ist, ist klar und für das Falschliegen P=2/3, wenn aber ein 'falsches' Tor geöffnet wurde, bleiben die Wahrscheinlichkeiten doch nicht gleich...sondern werden für Gewinn und Nichtgewinn neu verteilt, also P1=1/2 und P2=1/2, ich raff' nicht ganz warum die Wahrscheinlichkeit für das 1. Tor weiterhin P=1/3 ist und sich die Wahrscheinlichkeit von P=2/3, die zuvor für Tor 2 und 3 galt, sich nun NUR auf das 2. Tor verteilt!!!???
Jetzt sind nur noch 2 Tore da, folglich kann sich meine Wahrscheinlichkeit nicht auf 'Drittel' beziehen....
wo liegt hier mein denkfehler??? |
chnüschu
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Juli, 2001 - 22:44: |
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vielleicht siehst du es besser, rolw, wenn du es praktisch überlegst:
nimm mal an, dass der kandidat glaubt, dass das wechseln etwas nützt und deswegen immer wechselt, nachdem der spielleiter ein tor geöffnet hat.
des weiteren nimmst du an, dass sich der sieg hinter dem zweiten (mittleren) tor befindet.
jetzt kannst du einfach alle drei möglichkeiten durchgehen:
1. wenn der kandidat zu beginn das linke tor wählt, öffnet der spielleiter das rechte tor (das mittlere kann er ja nicht) - unser kandidat wechselt und gewinnt.
2. wenn der kandidat zu beginn das mittlere tor wählt, öffnet der spielleiter das linke oder das rechte tor - unser kandidat wechselt auf das rechte resp. das linke und verliert.
3. wenn der kandidat zu beginn das rechte tor wählt, öffnet der spielleiter das linke - unser kandidat wechselt auf das mittlere und gewinnt.
-> also gewinnt der kandidat in zwei von drei fällen, wenn er der strategie des wechselns glaubt!
oder -> der kandidat wechselt bis auf einen fall immer von einem verlust-tor auf das sieges-tor.
oder -> das wissen des spielleiters (wo sich der sieg befindet) ist die komponente, aufgrund derer man nicht sagen darf, dass es keine rolle spielt!
gruss chnüschu. |
ROLW
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Juli, 2001 - 21:23: |
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thx chnüschu - hat mir echt geholfen - ist ja ganz logisch - wenn mans weiß *yeah*
cu ROLW (record of lodoss war) |
Anna (Angelinside)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 21:22: |
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ich denke das mit ohne ohne wechsel, die chance nach dem oeffnen des 3 Tores (danach!) gleich ist. Wenn ers bei seiner erst wahl belaesst ist die chance das es richtig war bei 1/2, da das andere schon raus ist, wenn er neu waehlt ist die wahrscheinliuch keit auch bei 1/2, da es nur noch zwei tore sind. Und man koennte auch sagen, nun, bei der wahrscheinlichkeit 1/2 waehlt er noch mal Tor a (also bleibt bei der ersten wahl) oder er waehlt mit der WK 1/2 neu auf Tor b. MAcht doch dann nach dem oeffnen des 3 Tores keinen Untercshied oder? |
chnueschu
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 08:50: |
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hi anna.
nach dem oeffnen des dritten tores?
es hat nur drei tore. geoffnet wird nur eines, nicht alle drei!
jedenfalls gewinnt der spieler nur, wenn der gewinn hinter dem zuerst geoeffneten tor ist.
(es ist natuerlich moeglich, dass die anderen tore aus gruenden der show auch noch geoeffnet werden, damit man zum beispiel sieht, wo sich der gewinn versteckt haette).
chnueschu. |
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