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A Sherwood Forest Puzzle

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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 02. April, 2001 - 21:24:   Beitrag drucken

There, in Sherwood Forest, lived 10,201 people. Everyone had a mate except the priest. Each person had written a song. Singing was contagious.

Every song was sung to every person by a singer. (This includes the fact that each person's own song was sung to that person by some singer.) The priest, to whom everyone sang one's song, had a song that everyone sang to oneself. The priest sang to each person the song written by that person's mate and, having no mate, he sang his own song to himself.

Any singer who sang to a first person the song of the singer of a second person's song to a third, was the same singer who sang to the singer of the third person's song to the first person the song of ihe second person.

lf it was Marian who sang Robin's song to Little John, who sang Little John's song to Robin? Who sang Marian's song to her?


Versuch einer Übersetzung:

Im Wald von Sherwood lebten einst 10201 Menschen. Alle, mit Ausnahme des Priesters, waren verheiratet, und jeder der Waldbewohner hatte ein Lied komponiert. Singen war nachgerade ansteckend!

Es trug sich zu, dass jedes der Lieder jedem Waldbewohner von irgend einem Waldbewohner vorgesungen wurde. (Dabei musste sich ein Bewohner auch seine Eigenkomposition anhören.) Der Priester hörte von jedem Bewohner das eigene Lied des Bewohners, und das Lied des Priesters sang sich jeder Bewohner selbst vor. Der Priester hingegen sang jedem Bewohner das Lied des Ehepartners vor, und, da der Priester selbst keine Frau hatte, sang er sich sein eigenes Lied selbst vor.

Jeder Bewohner, der das Lied einer Person, die das Lied einer ersten Person einer zweiten Person vorsang, einer dritten Person vorsang, sang auch derjenigen Person, die der dritten Person das Lied der zweiten Person vorsang, das Lied der ersten Person vor.

Wenn nun Marianne Robins Lied Little John vorgesungen hat, wer hat dann Little Johns Lied Robin vorgesungen?

Und wer sang Marianne Mariannes Lied vor??


Viel Spaß ;-)
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 18:39:   Beitrag drucken

Hat keiner ne Idee?
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Markus (Boothby81)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 20:30:   Beitrag drucken

naja, bin am Überlegen...
aber das dauert ja schon ne Weile, bis man nur mal den Text verstanden hat ;-)

bis dann
Markus
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. April, 2001 - 20:48:   Beitrag drucken

Rein intuitiv würd ich sagen, dass is ne Gruppe oder sowas. irgend ne algebraische Struktur, bin aber glaub ich zu faul mir es heute noch zu überlegen.

a * b = c;
:<=> a singt b Lied von c
so vielleicht?
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 22:02:   Beitrag drucken

huh, ich glaub ich habs größtenteils.
Also, es ist tatsächlich ne Gruppe, die Verknüpfung ist aber folgende:
a * b = c;
:<=> c singt a Lied von b
bzw. a hört b's Lied von c

Also: Sei G die Menge aller Bewohner.
Der Priester sei e. Für einen Bewohner a sei a^-1 der Lebensgefährte.

Da jedes der Lieder jedem Waldbewohner vorgesungen wird, gilt a * b E G (Abgeschlossenheit).
Priester hört von jedem Bewohner eigenes Lied, heißt: e*a = a;
Jeder Bewohner (auch der Priester) singt sich das Lied des Priesters vor:
a*e = a;
=> neutrales Element existiert (neutrales Element)
außerdem gilt noch:
a * a^-1 = e;
und (die komplizierte Aussage):
c*(b*a) = (c*b)*a; (Assoziativität)

Damit gilt:
(a^-1 * a)*(a^-1 * a) = a^-1 * e * a = a^-1 * a;
(a^-1 * a)^-1 wird von rechts verknüpft:
=>a^-1 * a = e;
=>zu jedem a ist a^-1 inverses Element
(inverses Element)

=>G ist Gruppe, und zwar der Ordnung 10201=101^2.
So, 101 ist günstigerweise ne Primzahl.
Jede Gruppe der Ordnung p^2 mit p prim ist abelsch(kommutativ), denn es gibt genau 2 nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung n^2, und zwar Z/p^2 (zyklisch) und Z/p X Z/p.

Damit lösen wir nun die Frage "Wenn nun Marianne Robins Lied Little John vorgesungen hat, wer hat dann Little Johns Lied Robin vorgesungen".
Marianne sei w, Little John u und Robin v.

Dann gilt: u * v = w;
wegen Kommutativität folgt: v * u = w;

und das heißt ja nichts anderes , als dass Marianne (w) Little Johns (u) Lied Robin (v) vorgesungen hat.

"Wer sang Marianne Mariannes Lied vor?":
es ist also w * w gesucht, ich weiß nicht was das sein solle, der Priester kanns auf jeden Fall nicht sein, denn dann hätte w die Ordnung 2 und 2 teilt nicht 10201.

btw: Ein SuperRätsel!
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 23:10:   Beitrag drucken

Super, Carmichael :-)))

Das mit Marianne habe ich auch nicht begriffen, und glaube gar nicht, dass hier eine eindeutige Lösung existiert. Aber im nächsten Heft (American Mathematical Monthly) soll die Lösung erscheinen. Ich schreib's dann hierhin.
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. April, 2001 - 23:58:   Beitrag drucken

Ja, ich auch nicht!
man braucht sich ja nur die konkrete Gruppe (Z/10201,+) nehmen. Marian sei mal 7, die andren beide 5 und 2.
5 + 2 = 7 (also passt, mehr wissen wir ja nicht von John und Robin); und 7 + 7 = 14;
aber 14, was soll das sein?
weder 10201-5 noch 10201-2 noch 10201-7 noch 5 noch 2.
das kann man echt nicht allgemein sagen.
aber trotzdem: das Rätsel ist wirklich superschön!
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 17. April, 2001 - 16:02:   Beitrag drucken

Carmichael, versuch mal, dir hieran die Zähne auszubeißen. Stammt aus demselben Heft.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 25. Juni, 2001 - 18:13:   Beitrag drucken

Endlich hab' ich die Lösung. Dazu muss man wissen, dass der Legende nach Robin Hood mit Marian verheiratet war.

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