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Amerikanisches 'Calculus AP Exam'...

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Robert (Robbj123)
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Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 19:45:   Beitrag drucken

Dies ist die erste Free Response Aufgabe aus dem in Amerika angebotenen Calculus AB AP Exam. Mit dem Bestehen des Tests können High School Schüler schon Punkte für ihre College Laufbahn bekommen. Der Test besteht aus 90 Ankreuzaufgaben und 6 Free Response Fragen, also Fragen wo der Lösungsweg mit angegeben werden muss. Folgende Aufgabe ist #4 und damit die erst, die GANZ ohne Taschenrechner gelöst werden muss. Zeit ca. 15 min.
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Water is pumped into an underground tank at a constant rate of 8 gallons per minute. Water leaks out of the tank at the rate of sqrt(t+1) gallons per minute, for 0<=t<=120 minutes. At time t=0, the tank contains 30 gallons of water.

(a)How many gallons of water leak out of the tank from the time t=0 to t=3 minutes?

(b)How many gallons of water are in the tank at the time t=3 minutes?

(c)Write an expression for A(t), the total number of gallons of water in the tank at time t.

(d)At what time t, for 0<=t<=120, is the amount of water in the tank a maximum? Justify your answer.

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Mal schauen wer diese Aufgabe rausbekommt, und man muss noch bedenken, dass sie 12 Klässlern gestellt wurde.
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G.W. Bush
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Veröffentlicht am Montag, den 19. März, 2001 - 22:48:   Beitrag drucken

Zum Verständnis:

Eingepumpt wird in den Tank also 8*t Gallonen pro Minute, t in Minuten, und es fließen sqrt(t+1)*t aus. Der Tank beinhaltet zu Beginn (t=0) 30 Gallonen.

Daraus sollte sich dann dieses Gesetz ergeben:

A(t) = (8-sqrt(t+1))*t+30
=> A(0)=30 [w]

Oder hab' ich da was falsch übersetzt/verstanden??

mfG
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. März, 2001 - 09:41:   Beitrag drucken

Hallo Robert,
Da es sich um einen Calculus Test handest, ist auch anzunehmen, dass Integral/Differentialrechnung vorkommen muss.
a)
Water out = ò0 3 sqrt(t+1)dt = 14/3 gal

Um dies zu finden setzen wir u=t+1
ò u½ = (2/3)(u(3/2) = (2/3)(t+1)3/2
Grenze = 3: (2/3)*43/2) = 16/3
Grenze=0: (2/3)*1 = 2/3
insgesamt also = 14/3
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b)
Water flowing in: 8*3 = 24 gal
Water flowing out: 14/3 gal
Water already in: 30 gal

Total water in the tank after 3 minutes: 30+24-14/3 = 148/3 gal
=======================
c)
A(t) = 30 + 8*t - ò0 tsqrt(t+1)dt =
= 30 + 8*t -(2/3)(t+1)3/2 + 2/3 wobei A(t) in gal und t in min zu setzen ist.
===========================
d)
A'(t) = 8 - (t+1)½ = 0
sqrt(t+1) = 8
t = 63 minutes
Nach 63 Minuten erreicht der Tankinhalt ein Maximum.
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