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Ulrich Kreitner (monkey_uli)
Neues Mitglied
Benutzername: monkey_uli
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 11:48: | 
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Kann man eine Pizza mit sechs geraden Schnitten in 23! oder mehr Teile zerlegen? |
Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Neues Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 12:30: |
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Bist Du durch meinen Beitrag in der Geometrieecke
aufmerksam geworden ?
Ich behaupte es ist ein Stück zuviel, bei sieben
Schnitten würde man nach meiner 'Intuition' max.
29 Stücke, also auch die verlangten 23 erhalten.
Mit etwas probieren ist die Aufgabe leicht lösbar, aber eben nur via Anschauung - für 'echte' Mathematiker etwas unbefriedigend !! |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 148
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 13:07: |
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Hallo Ihr zwei,
mathematisch gesehen kann das Problem sehr leicht durch eine rekursive Folge ausgedrückt werden:
x_n = x_(n-1) + n mit x_0 = 1 und n Anzahl der Teilungen
Also mit jeder Teilung erhält man maximal n neue Flächen.
Bsp:
0 Teilungen = x_0 = 1
1 Teilung = x_1 = 1 + 1 = 2
2 Teilungen x_2 = 2 + 2 = 4
3 Teilungen x_3 = 4 + 3 = 7
4 Teilungen x_4 = 7 + 4 = 11
5 Teilungen x_5 = 11 + 5 = 16
6 Teilungen x_6 = 16 + 6 = 22
...
Wenn man die Formel umstellt kommt man sehr schnell auf die explizite Bildungsvorschrift:
x_n = 1 + n*(n+1)/2 mit n >= 0 (siehe gaußsche Summenformel)
Murray |
Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Neues Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 13:22: |
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Hallo Onkel,
zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich nicht versucht habe ein Bildungsgesetz für die Folge zu finden.
Mein Hauptproblem ist ja, ob diese Folge tatsächlich die max. mögliche Stückezahl beschreibt und wenn ja, wie aus der Folge das geometrische Konstruktionsprinzip hergeleitet werden kann oder umgekehrt. |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 149
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Oktober, 2002 - 14:00: |
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Hallo Klaus,
die Folge beschreibt genau das Maximum. Wenn man mal darüber nachdenkt, und deshalb habe ich die rekursive Folge aufgeschrieben, kann man mit jeder neuen Teilung n nur maximal n-1 Linien schneiden und damit maximal n neue Flächen schaffen.
Und genau das ist es was Du "mit der Pizza" geometrisch versuchen mußt - alle vorherigen Linien schneiden. Wenn dann noch alle Stücke gleich groß sein sollen (an Fläche) dann hast Du ein echtes Problem
Murray |
Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Junior Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Oktober, 2002 - 10:05: |
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Hallo Murray,
anschaulich ist alles 'sonnenklar', siehe 'überschaubare' Bspe. für n=3 evtl. noch n=4.
Klar ist auch, das man die Maximalzahl an neuen Flächen erhält, wenn die n-te Gerade alle (n-1) vorherigen schneidet. Aber wo steht geschrieben (und nicht 'gesehen' ), dass dabei genau n neue Flächen herauskommen ?
Ein guter Geist hat mir gestern eine Lösung genannt, die zwar bestechend ist, aber '3 Etagen' oberhalb deiner angesiedelt ist.
Ungläubige Grüße
Klaus
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Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Oktober, 2002 - 14:03: |
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Hallo Klaus,
das scheint mir der Unterschied zwischen Informatikern und Mathematikern. Mathematisch gesehen ist es sicherlich ein riesiges Problem eine Pizza zu zerschneiden. Ich bin Informatiker und packe das Problem einfach von der praktischen Seite her an - da kommt zwar keine Berechnung raus, aber das Ergebnis ist das gleiche .
Es ist doch aber interessant, das ich die richtige Formel und das richtige Ergebnis habe und Du mir die Lösung nicht glaubst, weil sie zu einfach ist - Du bist Mathematiker, richtig?
n Schnitte erzeugen immer n+1 Flächen, egal wie sie angeordnet sind (außer sie liegen übereinander)- stelle sie dir einfach parallel zueinander vor - zwei Schnitte erzeugen also 3 neue, senkrecht schneidbare Flächen. Kreuzen sich diese Linien, dann entstehen zwar zusätzliche Flächen nach links (oder rechts), aber senkrecht gibt es nie mehr als 3 zu schneiden. Damit kann mit einem neuen Schnitt, sich die Anzahl der Flächen nur verdoppeln (oder n+1 dazukommen).
Das ist für n=2 genau das gleiche wie für n=17 (auch wenn man das sich nicht mehr vorstellen kann).
Ich kann Dir das leider nicht mathematisch erklären, sondern nur logisch
Folgender Trick hilft beim Teilen der Pizza:
Drehe die Pizza immer so, das du sie von oben nach unten zerschneidest und schau wieviele Flächen du zerschneidest, wenn du die Linie parallel verschiebst. Du kannst nie mehr als n Flächen zerteilen (und damit verdoppeln).
So verlierst Du nicht einmal die Übersicht bei n=6.
Murray |
Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Junior Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 09:33: |
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Hallo Murray,
richtig geraten, ich bin ein Mathematikus, der immer nach allgemeingültigen Lösungen sucht in Gestalt von Formeln.
Da war der Beweis ( Kreis durch n-Eck approximieren, zerschnittene Pizza als (dreidimesionalen) Polyeder auffassen und dann den Eulerschen Polyedersatz anwenden ) genau nach 'meinen Geschmack'
Gruß
Klaus |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 151
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Oktober, 2002 - 10:53: |
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Hallo Klaus,
ich habe gestern echt gegrübelt, woher ich das Problem kenne und warum ich es so schnell lösen konnte. Dann ist es mir wieder eingefallen, es ist eine Abwandlung des, in der Informatik bekannten, ScanLine-Problems.
Jetzt kann ich Dir auch die ganze Sache erklären, wenn Du möchtest - Du hast ja schon Deine mathematische, und für meine Begriffe viel zu komplizierte, Lösung.
Ein Freund von mir sagte mal: "Die Informatik ist die Hexerei der Mathematik". Ich finde es auch merkwürdig, aber dort wo sich Mathematik und Informatik überschneiden (z.B. bei geometrischen Problemen), hat letztere meist die einfacheren, praktischeren Lösungen parat.
Ich muß mir mal die Mühe machen und ein Bild malen. Aber jetzt muß ich erstmal arbeiten.
Murray |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 563
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Oktober, 2002 - 12:22: |
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meiner (Un)taten eine,
in
letzter Zeit,
war
klausrudolf meine, auf den Polyedersatz basierende
Lösung
zuzumailen.
DOCH
ALLE ACHTUNG murray!
Deine
Lösung halte ich durchaus für die bessere,
und
ich vermisse da keine mathematische Strenge,
und
ich meine Informatik ist doch ein Teilgebiet der Mathematik
-
oder sollte man Mathematik und Informatik gleich als Teilgebiete der Logik
betrachten?
Die
vielleicht einzige, nicht explizit genug (und von mir garnicht) behandelte Frage
ist
OB
es tatsächlich möglich ist
beliebig viele Geraden in der Ebene so zu legen daß jede alle anderen Schneidet,
und
durch keinen Schnittpunkt 3 oder mehr Geraden gehen.
ABER
die Überlegungen dazu sind recht einfach.
1)JEDE SOLL JEDE ANDER SCHNEIDEN:
dazu ist es nur notwendig, daß keine einziges Paar zueinander paralleler Geraden existiert
2)IMMER NUR 2 DURCH EINEN SCHNITTPUNKT
wenn das Problem für n Geraden gelöst ist
ziehe
man - der Anschaulichkeit wegen einen konvexen - geschloßenen Linienzug/Kurve
der/die
alle Schnittpunkte einschließt
und
die (n+1)te Gerade dann so, daß sie den Linienzug / die Kurve weder berührt noch schneidet
-
da sieht man auch gleich, daß sie n+1 neue Gebiete bildet
(
in
der einen durch die neue Gerade bestimmten Halbebene liegen dann alle bisherigen Schnittpunkte,
auf der neuen Geraden die neuen Schnittpunkte,
und
die ander Halbebene wird durch die n alten Geraden in n+1 - noch offene - Gebiete zerlegt
),
die
"abzuschließen" nur mehr der das ganze umgebende Kreis / topologisches Äquivalent
fehlt.
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Tina (xz7lx3)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: xz7lx3
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 01:29: |
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habt ihr dabei berücksichtigt daß man die Pizza nicht nur schneiden kann wie jeder Pizza Bäcker sie schneiden würde, sondern auch horizontal??? So bekäme man mit 3 Schnitten schon 8 Teile. Mit 5 Schnitten hätte man schon 16 Stücke, wobei mir dann die obere gehört ;-).
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Roland (excalibur81)
Mitglied
Benutzername: excalibur81
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Januar, 2003 - 15:29: |
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dann konnte man mit 4 Schnitten schon 15 Teile haben, dazu musste man aber schon ziemlich schief schneiden
0 Schnitt: 1 Teil
1 Schnitt: 2 Teile = 1+1
2 Schnitt: 4 Teile = 2+2 = 2 + 1+1
3 Schnitt: 8 Teile = 4+4 = 4 + 1+1+2
4 Schnitt: 15 Teile = 8+7 = 8 + 1+1+2+3
5 Schnitt: ?? Teile (= 15 + 1+1+2+3+4 = 26?)
ich schatze, die Formel konnte dann kubisch sein, dann waren es bei 5 Schnitten 26 Teile
f(n) = 1 + Summe(1+Summe(hmmm...))
(sorry, heute keine Umlaute) |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 189
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 11:28: |
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Hmmm, damit wird das Problem aber wirklich kompliziert.
Um auch mal hier wieder die ganze Denkerei zu vereinfachen, kann man sie die Pizza riesengroß vorstellen. Und zwar so groß das man sie einfach wegläßt und nur ein Ebenenschnittproblem im R3 betrachtet.
Die Frage lautet also: In wieviele Teile kann der R3 maximal durch n Ebenen geteilt werden?
Nun, das Linienschnittproblem im R2 ist ja schon lange vor unserer Zeit gelöst wurden. Wenn ich mich recht entsinne sogar von unserem Freund Euler :-)
Er hat es zwar nicht allgemein formuliert, das n Linien immer nur n-1 neue Schnitte durchführen können, aber er zeigte zumindest das bei 3 Linien die 3. nur maximal durch 2 Punkte führen kann (damit ist die Verallgemeinerung geschenkt :-).
Allerdings habe ich bisher noch nix über Ebenenschnitt gefunden.
Onkel Murray |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 190
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 11:35: |
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BTW (by the way - nebenbei :-):
Viel interessanter ist doch die Frage wie die Raumteilung im Rn weitergeht (also für 4, 5 oder mehr Dimensionen)?
Gibt es vielleicht eine allgemeine Formel mit der man die Teilungen im Rn berechenen kann (inklusive R2 - dessen Lösung wir ja schon haben)?
Onkel Murray |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 363
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 11:40: |
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Kann es sein, daß der Pferdefuß in der Zahl 23 liegt?
23 ist eine Primzahl!!!
;-)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 191
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 12:08: |
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Schon wahr und die Quersumme von 23 ist 5 - das ist doch viel interessanter :-)
Onkel Murray
PS: Walter, wir Illuminaten sollten wirklich nicht so offen auftreten :-)
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heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 13:37: |
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@Onkel Murray
Es gibt tatsächlich eine einfache Formel (Summe von Binomialkoeffizienten) für die maximale Anzahl von d-dimensionalen "Kuchenstücken" mit n Schnitten (=Hyperebenen)
Sd k=0 (n k)
Als Spezialfälle erhält man
für d=2 ("Pizza") : 1 + n*(n+1)/2
für d=3 ("Kuchen") : 1 + n*(n²+5)/6 , wie Roland richtig erkannt hat
Gruß,
Gjallar
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Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 192
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 13:58: |
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@heimdall:
Ich danke Dir, damit ist das Thema endlich einfürallemal vom Tisch
Hast Du auch eine Quelle, wo man mehr über obige Formel nachlesen kann? Oder wer sie wann und warum aufgestellt hat?
Onkel Murray
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heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 08:34: |
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Hallo Onkel Murray,
ich weiß leider keinen Link zum Beweis (wird meist als "well known classical result" einfach vorausgesetzt). Ich kenne es im Zusammenhang mit Neuronalen Netzen, wo ja genau das verwendet wird: Klassifizierung durch trennende Hyperebenen.
Im Buch "Introduction to Geometry" von Coxeter wird es bewiesen. Der historisch erste Beweis soll von Ludwig Schläfli (1814-1895) stammen (als Verallgemeinerung des von Jacob Steiner (1796-1863) angegebenen 3-dim. Falles)
Gruß,
Gjallar
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Lounge_lizard (Lounge_lizard)
Neues Mitglied
Benutzername: Lounge_lizard
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2005
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Februar, 2005 - 16:36: |
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In der Aufgabenstellung ist von "geraden Schnitten" die Rede. Es ist jedoch nicht explizit das Stapeln verboten worden. Wenn man die Pizzastücke stapelt, dann kann man mit jedem geraden Schnitt die Ausgangszahl verdoppeln. Formel dazu: Anzahl Stücke= 2^n, wobei n die Zahl der Schnitte ist. Bei 1 Schnitt sind es 2 Stücke, bei 2 Schnitten 2x2= 4 Stücke, bei 6 Schnitten 2^6= 64 Stücke. |
