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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 17:03: | 
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Viele Primzahlen lassen sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen. Oft sogar mehrfach wie z.B. 263 = 2²+3²+9²+13³ = 5²+6²+9²+11².
Für mein Zahlenalbum bin ich auf der Suche nach einer Primzahl p = a²+b²+c²+d² , mit "proportionaler" Zerlegung a:b = c:d .
Könnt ihr mir helfen?
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Robert (emperor2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 17:28: |
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Hi Sol@ti!
(*) a2 + b2 + c2 + d2 = p
(**) a/b = c/d => a2/b2 = c2/d2
(*) umformen bringt uns auf:
b2(1 + a2/b2) + d2(1 + c2/d2)
nach (**) gilt jetzt:
b2(1 + a2/b2) + d2(1 + a2/b2)
=
(1 + a²/b2)(b2 + d2) = (b2 + a2)(b2 + d2) / b2 = p
Nehmen wir nun an das a, b, c, d größer als 0 sind, und b2 ja entweder (b2 + a2) oder (b2 + d2) teilt, ist p damit keine Primzahl!
Gruß Robert
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 19:09: |
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Großartig Robert,
du bist ja ein Blitzrätsler, nicht mal eine halbe Stunde! Und aus meiner Zahl für's Album wird wohl nichts werden - schade ;-)
Die Umformung kann ich nachvollziehen aber leider ist dein elegantes Schlussargument zu schnell für mich. Bitte erklär mir die Aussage:
... und b² ja entweder (b² + a²) oder (b² + d²) teilt, ...
Wenn ich a = 8, b = 10, c = 12 und d = 15 wähle, gilt a:b = c:d
b² + a² = 164 , b² + d² = 325, aber b (geschweige denn b²) teilt weder 164 noch 325 ?
Viele Grüße
sol@ti
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franz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 20:13: |
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Hi,
@Robert: die Idee deiner Argumentation verstehe ich nicht. Im Prinzip hast du nach dem Umformen p=x*y/z, das kann doch Primzahl sein z.b. 6*14/12=7. Ich kenne mich mit Zahlentheorie nicht so toll aus, aber wo ist mein Denkfehler?
Gruß Franz
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Robert (emperor2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 22:40: |
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@sol@ti und franz
Also ich formuliere es mal so:
b2 teilt entweder (b2 + a2) oder (b2 + d2) oder das Produkt der beiden. Der Nachweis, dass bei den beiden ersteren Fällen keine Primzahl entstehen kann ich nicht schwer.
1) b2 | (b2 + a2)
==> q * (b2 + d2) = p ==> Dies ist nie eine Primzahl, da beide Faktoren größer als 1 sind.
2) b2 | (b2 + d2) ==> analog zu 1!
3) b2 | (b2 + d2)*(b2 + a2)
Hier ist mir noch keine ordentliche Begründung eingefallen, warum des dann ka Primzahl ist 
Und franz! Man beachte das ein Verhältnis a/b = c/d gilt, dass für diese Aufgabe sehr wichtig ist!
Gruß Robert
MFG Robert
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 169
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. August, 2002 - 06:48: |
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Hi Robert, Franz und sol@ti,
es gibt eine etwas einfachere Begründung
wenn a/b = c/d gilt, gilt auch folgendes:
a/b = c/d = k | hier kann k element der rationalen Zahlen sein
=> a = k * b und c = k * d
(k*b)^2 + b^2 + (k*d)^2 + d^2 = p
k^2*b^2 + b^2 + k^2*d^2 + d^2 = p
(k^2 + 1) * (b^2 + d^2) = p | hier folgt aber damit p überhaupt eine natürliche Zahl sein kann, daß k eine natürliche Zahl sein muß.
ist k = 1 => a = b und c = d => p ist keine primzahl, sondern eine durch 2 teilbare zahl, für welche gilt: p > 2
und für jedes k > 1 ist p sowieso keine primzahl;
und k <= 0 ist ausgeschlossen;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 170
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. August, 2002 - 07:15: |
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Nachtrag:
ist k eine rationale Zahl:
k = m/n mit m und n element der natürlichen Zahlen
ist es auch möglich, daß p eine natürliche Zahl ist, m und n sind ohne gemeinsame Teiler (Primfaktoren)
1 + k^2 = 1 + m^2/n^2 = (m^2+n^2)/n^2
(m^2 + n^2)/n^2 * (b^2 + d^2) = p
hier muß aber gelten, daß die Summe b^2+d^2 ein Vielfaches vom Nenner n^2 ist;
und übrig bleibt nach Kürzung des Faktors n^2 wieder ein Produkt zweier natürlicher Zahlen, welches sicher keine Primzahl ergibt;
Jetzt ist es komplett, und alle Unklarheiten aus dem Weg geräumt.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. August, 2002 - 14:41: |
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Hi Walter,
gute Idee. Ich habe es noch etwas verkürzt.
Aus (k^2+1)*(b^2+d^2)=p folgt, dass
k^2+1 = 1 ist da p Primzahl und b^2+d^2 > 1, also ist k=0 und damit ist a=c=0.
Eine proportionale Zerlegung bekommt man also nur, wenn p Summe zweier Quadrate ist, aber diese trivialen hast du sicherlich nicht gesucht. 
gruß clara |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. August, 2002 - 16:29: |
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Gratulation Walter!
Dein "Nachtrag" ist der strenge Beweis, dass es keine proportionale Zerlegung geben kann. Der Trick ist die Verwendung der gekürzten Verhältniszahl k. Bravo, ein schlauer Beweis!
Vielen Dank für's fleißige Miträtseln natürlich auch an Franz, clara und ganz besonders Robert!
sol@ti
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Robert (emperor2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 70
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. August, 2002 - 17:14: |
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@Walter
Nette Idee, die eigentlich alles aussagt
Gruß Robert
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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