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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 16:18: | 
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Der Kreis x² + y² = 202 , die Hyperbel x² - y² = 40 und die gedrehte Hyperbel xy = 44 schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt P im ersten Quadranten.
Welche Koordinaten hat P ?
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 20:15: |
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Hallo sol@ti,
damit auch dieses Rätsel in Angriff genommen wird, störe ich mich einfach nicht daran, dass ich in eine Falle laufe, die du wahrscheinlich hier versteckt hast und behaupte:
Den Punkt P gibt es nicht.
Addiert man die Gleichungen
x² + y² = 202 und x² - y² = 40, folgt
2x² = 242 => x=11 (im 1. Quadranten)
=> y=9 (auch im 1. Quadranten)
weitere Lösungen des Systems
x² + y² = 202 und x² - y² = 40
sind nicht möglich.
Das Zahlenpaar x=11, y=9 erfüllt aber nicht die Gleichung xy=44.
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. August, 2002 - 16:52: |
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Hallo Juppy,
ja, mit Dezimalzahlen hast du wohl recht ;-)
Aber ...
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Juppy (juppy)
Junior Mitglied
Benutzername: juppy
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. August, 2002 - 18:42: |
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ok. Demnächst werde ich diese Möglichkeit mit bedenken und nicht wieder sofort antworten, nur weil ich keine Lösung finde.
Durch Probieren bin ich gleich bei meinem ersten Versuch auf eine mögliche Lösung gestoßen:
P(11;4)
Wie ich dich einschätze, kennst du außer dem Zahlensystem dieser Lösung bestimmt dutzende von Stellensystemen, in denen dieses Gleichungssystem erfüllbar ist.
Jetzt kannst du ja mal raten, in welchem System meine Lösung gilt ;-)
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. August, 2002 - 19:22: |
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Ausgezeichnet Juppy,
das ist die korrekte Lösung! (der Kreisradius ist übrigens ~ 12.1012 ;-)
Ich kenne deine Basis, denn es gibt tatsächlich kein anderes System, in der das Gleichungssystem erfüllbar ist.
Viele Grüße
sol@ti
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Juppy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 19:21: |
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Hi sol@ti,
mein Ansatz, um die Eindeutigkeit zu zeigen:
Zahlen im n-er-Stellensystem, x,y > 0:
K) x² + y² = 202 = 2n²+2
H1) x² - y² = 40 = 4n
H2) xy = 44 = 4n + 4
K+H1) 2x² = 2n²+2+4n => x² = (n+1)² => x=n+1
K-H1) 2y² = 2n²+2-4n => y² = (n-1)² => y=n-1
H2) xy = 4n+4 => (n+1)(n-1) = 4(n+1)
=> (n+1)(n-1-4) = 0 => n+1 = 0 V n-5 = 0
=> n=5
ich denke, damit habe ich gezeigt, dass die Zahlen nur im Quintalsystem gemeint sein können, oder?
Gruß
Juppy
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. August, 2002 - 19:48: |
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Hallo Juppy,
vielen Dank für diesen schönen Beweis! Ja, jetzt ist alles klar. Der Trick war, es als Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten aufzufassen. Natürlich war die Probier-Lösung auch richtig, aber eine elegante mathematische Formulierung ist halt noch schöner.
Viele Grüße
sol@ti
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