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ronny77 (ronny77)
Neues Mitglied Benutzername: ronny77
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 21:19: |
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Hi Leute! Hab Probleme mit der Aufgabe! Ein Kegel der Höhe H steht auf der Spitze? Er wird teilweise mit Wasser gefüllt, so dass das Wasser bis zur Höhe h steht. Nach dem Verschließen der Füllöffnung wird der Kegel so umgedreht, dass er auf seiner Grundfläche steht. Wie hoch ist jetzt der Wasserstand? Viel Spaß, MfG, ronny77 |
Xell (vredolf)
Senior Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 242 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 23:17: |
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Hi ronny77! Das Volumen des Wassers in dem Kegel ist vor und nach dem Umdrehen dasselbe, nennen wir es V. Vor dem Umdrehen: Der Radius der Grundseite des Kegels sei R. Wir haben nun den Kegel aus Wasser mit Radius r < R. Es ist: V=pi*r^2*h Außerdem ist wegen Ähnlichkeit r/h=R/H <=> r=R/H * h und damit V=pi * R^2/H^2 * h^3 Nach dem Umdrehen gilt: V=pi*R^2*h' mit der neuen zu bestimmenden Höhe h'. Da die Volumina gleich bleiben, setzen wir die Ausdrücke problemlos gleich: pi*R^2*h' = pi * R^2/H^2 * h^3 => h' = h^3/H^2 Ergebnis: Die Füllhöhe ist von dem Radius des Kegels überhaupt nicht abhängig, weswegen die Nichtangabe dessen (im Nachhinein) plausibel erscheint. Zum Abschluss ein kleines Zahlenbeispiel: Ein Kegel mit Höhe H=2m wird auf den Kopf gestellt und mit Wasser gefüllt, bis eine Füllhöhe von h=1m erreicht ist. Es ergibt sich dann nach erneutem Umdrehen auf die Grundfläche die neue Füllhöhe h' = 1^3 m^3/(2^2 m^2) = 0,25m. Hier ist die Füllhöhe nach dem Umdrehen also gerade die Hälfte derer vor dem Umdrehen auf die Grundfläche. Gruß, X.
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Juppy (juppy)
Junior Mitglied Benutzername: juppy
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 19:25: |
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Hi Xell, Ich glaube, bei der Volumenformel hast du an einen Zylinder gedacht. V=pi*r^2*h/3 das bringt keine große Änderung, das Wasservolumen ist halt V = pi/3 * R^2/H^2 * h^3 ################################################ aber das, was bei dir "Nach dem Umdrehen gilt", ist mir schleierhaft: V = pi*R^2*h' ?? ################################################ mein Vorschlag: Bezeichne das Kegelvolumen mit K, es gilt K = pi/3*R^2*H Bezeichnen wir den Stoff in dem Kegel, der nicht Wasser ist, als Luft. Dann gilt für das Luftvolumen L, was nach dem Umdrehen eine Höhe von H-h' hat, analog zur Formel V = pi/3 * R^2/H^2 * h^3: L = pi/3 * R^2/H^2 *(H-h')^3 L muss sich mit V zu K ergänzen, also gilt: pi/3 * R^2/H^2 *(H-h')^3 + pi/3 * R^2/H^2 * h^3 = pi/3*R^2*H |*3*H^2/pi/R^2 (H-h')^3 + h^3 = H^3 diese Gleichung nach h' umgestellt ergibt (H-h') = (H^3 -h^3)^(1/3) h' = H - (H^3 -h^3)^(1/3) dann gilt mit dem Beispiel Kegelhöhe H=2m, Wasserhöhe h=1m: h'/m = 2 - (8 - 1)^(1/3) also ungefähr h'=0.087m Gruß Juppy |
Xell (vredolf)
Senior Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 244 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 22:38: |
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1.Ich hab mich mit der Volumenformel geirrt, wie du es richtig erklärt hast. Gedacht habe ich dennoch an einen Kegel bei der sonstigen Rechnung. 2.Du verwendest hier eine falsche Analogie, da der neue Radius der Grundfläche der Luftsäule durch r=R/H * h' gegeben ist. Damit haben wir: L=pi/3 * R^2/H^2 * (h')^2 * (H-h') Fortsetzung folgt... Gruß, X. |
Xell (vredolf)
Senior Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 245 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 23:36: |
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Damit: V=pi/3*R^2*H - L = pi/3*(R^2*H - R^2/H * (h')^2 * (H-h')) = (R^2*pi/3)*(H - 1/H * (H*(h')^2 - (h')^3)) = (R^2*pi/3)*(H - (h')^2 - (h')^3/H) Gleichsetzen mit dem gleichen Anfangsvolumen: (R^2*pi/3)*(H - (h')^2 - (h')^3/H) = pi/3 * R^2/H^2 * h^3 <=> H - (h')^2 - (h')^3/H = h^3/H^2 <=> (h')^3 + H*(h')^2 + h^3/H - 1 = 0 Es läuft dann auf die Lösung dieser unappetitlichen Gleichung dritten Grades hinaus. Hier erstmal Schluss für heute Nacht, ich bitte um Überprüfung. X. |
Markus (boothby81)
Moderator Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 95 Registriert: 03-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 15:37: |
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hi xell. habe überprüft und das ergebnis von juppy bestätigen können. dein einwand bei 2. ist nicht richtig. es gilt: R/H = r/h = r(luft)/(H-h') damit ist der radius des luftkegels über dem wasser nach dem umdrehen r(luft) = R/H * (H-h') gruß markus |
Juppy (juppy)
Junior Mitglied Benutzername: juppy
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 08-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 19:20: |
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Hi Xell, um Missverständnisse auszuschließen, möchte ich meine Verwendung von H-h' und h' etc. an diesem Bild illustrieren: Gruß Juppy |
Juppy
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 19:28: |
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Ähem, statt R sollte dort 2R stehen. J |
Xell (vredolf)
Senior Mitglied Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 246 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 19:58: |
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OK, jetzt seh ich es auch! War wohl nicht mein Tag gestern Grüßle, X. |
Wölfchen
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Oktober, 2002 - 19:04: |
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Hallo Juppy kannst du mir bitte mal genau erklähren wie du auf die Gleichungen von V und L kommst ist ich kann das momentan nicht so richtig nachvollziehen |