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Kegelspielchen

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ronny77 (ronny77)
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Neues Mitglied
Benutzername: ronny77

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 21:19:   Beitrag drucken

Hi Leute!
Hab Probleme mit der Aufgabe!

Ein Kegel der Höhe H steht auf der Spitze? Er wird teilweise mit Wasser gefüllt, so dass das Wasser bis zur Höhe h steht. Nach dem Verschließen der Füllöffnung wird der Kegel so umgedreht, dass er auf seiner Grundfläche steht. Wie hoch ist jetzt der Wasserstand?

Viel Spaß,
MfG,

ronny77
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Xell (vredolf)
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Senior Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 242
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 26. August, 2002 - 23:17:   Beitrag drucken

Hi ronny77!

Das Volumen des Wassers in dem Kegel ist vor und nach dem
Umdrehen dasselbe, nennen wir es V.

Vor dem Umdrehen:
Der Radius der Grundseite des Kegels sei R. Wir haben nun
den Kegel aus Wasser mit Radius r < R.
Es ist: V=pi*r^2*h
Außerdem ist wegen Ähnlichkeit r/h=R/H <=> r=R/H * h und damit
V=pi * R^2/H^2 * h^3


Nach dem Umdrehen gilt:
V=pi*R^2*h' mit der neuen zu bestimmenden Höhe h'.

Da die Volumina gleich bleiben, setzen wir die Ausdrücke
problemlos gleich:
pi*R^2*h' = pi * R^2/H^2 * h^3
=> h' = h^3/H^2


Ergebnis: Die Füllhöhe ist von dem Radius des Kegels überhaupt
nicht abhängig, weswegen die Nichtangabe dessen (im Nachhinein)
plausibel erscheint.

Zum Abschluss ein kleines Zahlenbeispiel:
Ein Kegel mit Höhe H=2m wird auf den Kopf gestellt und
mit Wasser gefüllt, bis eine Füllhöhe von h=1m erreicht ist.
Es ergibt sich dann nach erneutem Umdrehen auf die Grundfläche
die neue Füllhöhe h' = 1^3 m^3/(2^2 m^2) = 0,25m.
Hier ist die Füllhöhe nach dem Umdrehen also gerade die
Hälfte derer vor dem Umdrehen auf die Grundfläche.

Gruß,
X.

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Juppy (juppy)
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Junior Mitglied
Benutzername: juppy

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 19:25:   Beitrag drucken

Hi Xell,
Ich glaube, bei der Volumenformel hast du an einen Zylinder gedacht.
V=pi*r^2*h/3
das bringt keine große Änderung, das Wasservolumen ist halt
V = pi/3 * R^2/H^2 * h^3


################################################
aber das, was bei dir "Nach dem Umdrehen gilt", ist mir schleierhaft:
V = pi*R^2*h'
??
################################################

mein Vorschlag:

Bezeichne das Kegelvolumen mit K, es gilt
K = pi/3*R^2*H

Bezeichnen wir den Stoff in dem Kegel, der nicht Wasser ist, als Luft.
Dann gilt für das Luftvolumen L,
was nach dem Umdrehen eine Höhe von H-h' hat,
analog zur Formel V = pi/3 * R^2/H^2 * h^3:

L = pi/3 * R^2/H^2 *(H-h')^3


L muss sich mit V zu K ergänzen, also gilt:
pi/3 * R^2/H^2 *(H-h')^3 + pi/3 * R^2/H^2 * h^3 = pi/3*R^2*H |*3*H^2/pi/R^2

(H-h')^3 + h^3 = H^3

diese Gleichung nach h' umgestellt ergibt
(H-h') = (H^3 -h^3)^(1/3)
h' = H - (H^3 -h^3)^(1/3)

dann gilt mit dem Beispiel Kegelhöhe H=2m, Wasserhöhe h=1m:
h'/m = 2 - (8 - 1)^(1/3)
also ungefähr h'=0.087m


Gruß
Juppy
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Xell (vredolf)
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Senior Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 244
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 22:38:   Beitrag drucken

1.Ich hab mich mit der Volumenformel geirrt, wie du es
richtig erklärt hast. Gedacht habe ich dennoch an einen Kegel
bei der sonstigen Rechnung.

2.Du verwendest hier eine falsche Analogie, da der neue
Radius der Grundfläche der Luftsäule durch r=R/H * h'
gegeben ist.
Damit haben wir:
L=pi/3 * R^2/H^2 * (h')^2 * (H-h')

Fortsetzung folgt...

Gruß,
X.
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Xell (vredolf)
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Senior Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 245
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. August, 2002 - 23:36:   Beitrag drucken

Damit:
V=pi/3*R^2*H - L = pi/3*(R^2*H - R^2/H * (h')^2 * (H-h'))
= (R^2*pi/3)*(H - 1/H * (H*(h')^2 - (h')^3))
= (R^2*pi/3)*(H - (h')^2 - (h')^3/H)

Gleichsetzen mit dem gleichen Anfangsvolumen:

(R^2*pi/3)*(H - (h')^2 - (h')^3/H) = pi/3 * R^2/H^2 * h^3
<=> H - (h')^2 - (h')^3/H = h^3/H^2
<=> (h')^3 + H*(h')^2 + h^3/H - 1 = 0

Es läuft dann auf die Lösung dieser unappetitlichen
Gleichung dritten Grades hinaus. Hier erstmal Schluss für
heute Nacht, ich bitte um Überprüfung.

X.
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Markus (boothby81)
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Moderator
Benutzername: boothby81

Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 15:37:   Beitrag drucken

hi xell.

habe überprüft und das ergebnis von juppy bestätigen können. dein einwand bei 2. ist nicht richtig. es gilt:
R/H = r/h = r(luft)/(H-h')
damit ist der radius des luftkegels über dem wasser nach dem umdrehen r(luft) = R/H * (H-h')

gruß
markus
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Juppy (juppy)
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Junior Mitglied
Benutzername: juppy

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 19:20:   Beitrag drucken

Hi Xell,
um Missverständnisse auszuschließen, möchte ich meine Verwendung von H-h' und h' etc. an diesem Bild illustrieren:

Bezeichnungen

Gruß
Juppy
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Juppy
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 19:28:   Beitrag drucken

Ähem, statt R sollte dort 2R stehen.
J
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Xell (vredolf)
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Senior Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 246
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. August, 2002 - 19:58:   Beitrag drucken

OK, jetzt seh ich es auch! War wohl nicht mein Tag gestern :-)

Grüßle,
X.
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Wölfchen
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Oktober, 2002 - 19:04:   Beitrag drucken

Hallo Juppy kannst du mir bitte mal genau erklähren wie du auf die Gleichungen von V und L kommst ist ich kann das momentan nicht so richtig nachvollziehen

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