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Lösungen der Funktion x²+1=2y² ?

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Benjamin Sambale (eulereuklid)
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Junior Mitglied
Benutzername: eulereuklid

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 20:42:   Beitrag drucken

Ich brauche mal euere Hilfe:
x²+1=2y²
y=sqrt((x²+1)/2)=f(x)
Diese Funktion hat unendlich viele ganzzahlige Lösungen.
Sie lauten zum Beispiel 7;5 oder 41;29
Wer kann mir sagen wie diese Lösungen aufgebaut sind?
Außerdem habe ich herausgefunden, dass:

lim x(n+1)/x(n)= sqrt(srt(2)+1) (x(n) soll die n-te Lösung darstellen.
n-->Unendlich

Das liegt warscheinlich daran:

lim f(x) = sqrt(1/2)*x
x--> Unendlich

Aber warum weis ich trotzdem noch nicht.

Wenn man die Funktion verallgemeinert zu y=sqrt(x+a)/2)
So existieren nicht für alle a's ganzzahlige Lösungen, während:
y=sqrt(x+a)/a) immer mindestens eine (wenn a Quadratzahl --> x=0, y=1)
ganzzahlige Lösung.
Helft mir mal auf die Sprünge ist mir nämlich alles nicht klar.
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 24. August, 2002 - 10:54:   Beitrag drucken

Hallo Benjamin,

alle Lösungen deiner Gleichung werden durch die Rekursion

xn+1 = 3xn + 4yn , x0 = 1
yn+1 = 2xn + 3yn , y0 = 1

beschrieben.

Deinen Grenzwert für xn+1/xn kann ich nicht bestätigen, ich erhalte ~ 5.82843.

Bei der Verallgemeinerung meinst du sicher x² in der Wurzel?

Viele Grüße
sol@ti
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Xam
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 24. August, 2002 - 11:18:   Beitrag drucken

Hallo sol@tis Grenzwert ist übrigens
(1+wurzel(2))^2, er ergibt sich auch ,
wenn man die pythagoräischen Zahlentripel (a,b,c)so ordnet, dass der unterschied
zwischen b und c immer gleich ist, also
z.B.
(3,4,5)
(5,12,13)
(7,24,25)
...
und dann ein c durch das "Vorgänger c " teilt.

Bei c-b nicht gleich 1
also
(6,8,10)
(8,15,17)
....

kann man die (zyklisch auftretenden) Quotienten auch zu diesem Grenzwert addieren.
MfG
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 530
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 08:03:   Beitrag drucken

vor Jahren schon irritiert mich diese Diophantische
Gleichung("Fermatsche" nennt die Literatur sie auch), d.h. der in Büchern gezeigte Lösungsweg ( ersteinmal eine, wie mir scheint, aus der Luft gegriffene Kettenbruchentwicklung ).
Selbst
fand ich alle rationalen Lösung.
Können,
davon ausgehend, nicht auch die ganzzahligen isoliert werden?
fermatRational
obiges funktioniert natürlich auch, wenn die 2 durch eine andere Zahl ersetzt wird (ein Nichtquadrat soll es natürlich sein )
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Q.
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 08:29:   Beitrag drucken

Die angegebenen Formeln für x und y sind keine Lösungen der Gleichung wie man durch Einsetzen spezieller Zahlenwerte für p und q leicht sieht.

Die Auflösung nach x ist nicht richtig, es muss heißen: x = √(2y²-1)
Damit funktioniert dann der Ansatz nicht mehr.

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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 531
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 11:07:   Beitrag drucken

hoppla, wovon ich sprach war x²-1 = Dy²; (hier D=2)

dann funktioniert
der
Ansatz x = Wurzel(1+Dy²) = 1 ±ay
und
es wird | y | = 2a/(2-a²)
---
wär eigentlich extrathread fällig.


(Beitrag nachträglich am 07., Oktober. 2002 von friedrichlaher editiert)
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Muriel
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 11:50:   Beitrag drucken

Hallo Friedrich,
wiederum habe ich nur die erste Zeile deiner Berechnung oben gelesen:
Zitat:
x²+1 = 2y²; x=Ö(1-2y²)

Das muss man sich auf der Zunge zergehen lassen!
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Gilda
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 07. Oktober, 2002 - 22:36:   Beitrag drucken

Was stimmt denn jetzt?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 543
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 18:25:   Beitrag drucken

@Gilda, @Moderatoren:
das Posting von Benjamin Sambale
errinnerte
mich
an x² - Dy² = 1
und
ich brachte einiges durcheinander.
Es
wäre mir recht, wenn in ein paar Tagen meine Beiträge, diesen eingeschlossen, aus diesem
Thread gelöscht werden,
und
dann auch gleich Muriel's.
Hier werde ich dann nur noch einen Verweis auf
den neuen Thread den ich eröffne, anbringen.
Ich
bitte, die Verwirrung zu entschuldigen.
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Muriel
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Oktober, 2002 - 19:31:   Beitrag drucken

Hallo Friedrich,
dass du deinen eigenen ******** gelöscht haben willst, kann ich ja verstehen aber für wen hälst du dich denn, dass du verlangst, meine Beiträge sollten gelöscht werden?
**********************

Anmerkung:
Das blaue wurde von der ZahlReich-Technik überschrieben, da es persönliche Beleidigungen enthielt. Wir bitten darum, bei den mathematischen Inhalten zu bleiben und danken dafür im Voraus. Allgemeine Anmerkungen bitte in den nichtmathematischen Bereich schreiben (Technische Fragen .....)

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