| Autor |
Beitrag |
    
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 17:35: | 
|
Seht mal was ich beim Einfärben periodischer Zahlen entdeckt habe:
5/13 = 0.p(384615)
9/14 = 0.6p(428571)
14/17 = 0.p(8235294117647058)
17/22 = 0.7p(72)
31/58 = 0.5p(3448275862068965517241379310)
Zählt mal die rote und die blaue Hälfte einer Periode zusammen - alles 9er !
Ist das Zufall oder steckt da mehr dahinter? Und warum klappt's bei 56/57 nicht?
56/57 = 0.p(982456140350877192)
|
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 17:49: |
|
Du kommst auf Ideen, Zahlen einfärben.
Also unsereins wird schon für verrückt erklärt wenn er die Bäume im Park rot und schwarz anmalt und dann behauptet es sein praktischer Informatikunterricht.
Murray
PS: Kleiner Insidergag für Informatiker. |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 18:22: |
|
Also bei sol@ti ist alles möglich, aber kein Zufall.
Ich denke Du hast die linken Zahlen aus den rechten konstruiert.
z.B. ist 0.p(63) = 7/11
Mein Problem ist jetzt, wie ich von derartigen Periodendarstellungen über Grenzwerte zu den eigentlichen Brüchen gelange.
Erstmal die Idee dabei:
Man denke sich eine Zahl wie auf der rechten Seite, z.B. 0.p(63) dann ist das ja gleich
lim(n)(Sn i=163/10^(2*i)) mit n gegen unendlich
Problem 1: Man weis ja nicht das der Grenzwert 7/11 ist, wie rechnet man das also aus?
Problem 2: Kann man beweisen, das es für derartig konstuierte Zahlen immer eine Lösung gibt?
Murray
(Beitrag nachträglich am 23., August. 2002 von murray editiert) |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. August, 2002 - 18:59: |
|
Hi,
ich weiss gar nicht genau wie du das meinst, wenn du fragst, ob etwas dahinter steckt.
Ich kann mir eine beliebige Periode denken, z.B. 71. Dann gilt 71/99=0,p(71). Deine Beobachtung ist dann natürlich nicht erfüllt.
Das es bei Deinen obigen Zahlen so ist hat etwas mit dem Nenner zu tun und mit dem Primteilern der "9er" Zahlen (Zahlen wie 9,99,999,9999,...) zu tun. Es ist z.B.:
5/13=384615/999999 und 13 ist ein Primteiler von 999999.
9/14 muss man erst mal in eine Zahl verwandeln, dessen Periode gleich nach dem Komma beginnt und dann ergibt sich folgendes:
9/14*10-6=3/7=0,p(428571) = 428571/999999 und 7 ist ein Primteiler von 999999.
Weiter bin ich noch nicht.
gruß clara |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. August, 2002 - 10:51: |
|
Hallo,
ihr habt gute Argumente. Man kann sich beliebige Perioden zusammenbasteln und z.B. solche betrachten, wo die Summe der beiden Hälften 4444... ergibt oder das Zahlenmuster 12345... oder sonst was. Stimmt! Aber das Besondere der 9er-Ergänzungsperioden (ich nenn sie mal so, weil ja jede Ziffer einer Hälfte die 9er-Ergänzung der entsprechenden Ziffer der anderen Hälfte ist) ist die Häufigkeit ihres Auftretens.
Wie groß ist wohl die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufällig gewählten Bruch p/q (2 <= q <= N, 1 <= p <= q, N fest vorgegeben) mit periodischer Dezimaldarstellung, die Summe der Periodenhälften das Zahlenmuster 12345... hat? Ich würde intuitiv sagen, die Wahrscheinlichkeit ist verschwindend gering. Es gibt solche Brüche aber sie sind sehr selten. Und das selbe könnte man auch von der 9er-Ergänzung annehmen: möglich aber selten (ich glaube so habt ihr's gemeint).
Mit einem kleinen Programm hab ich das für N = 99 durchgezählt (also alle echten Brüche mit Nenner 2 bis 99). Es gibt 4851 solche Brüche, 4290 haben eine periodische Dezimaldarstellung und davon haben genau 2200 (also mehr als die Hälfte) eine 9er-Ergänzungsperiode. Und das kann wirklich kein Zufall sein!
Die Fragen sind also:
1.) Kann man bei einem vorgegeben Bruch die Periodenlänge voraussagen? (Ist sie ungerade gibt's keine zwei gleich langen Hälften und damit keine 9er-Ergänzung)
2.) Kann man bei einem vorgegeben Bruch direkt entscheiden, ob er eine 9er-Ergänzungsperiode hat (ohne sie auszurechnen)? Beispiel 435643/309032489
Viele Grüße
sol@ti
|
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. August, 2002 - 18:17: |
|
Hi,
ich glaube, dass es Zufall ist und wenn man mit N größer wird, dann werden wohl auch nicht mehr mehr als die Hälfte der periodischen Dezimalzahlen eine 9er-Ergänzungsperiode haben.
Ich kenne keine Methode mit der man die Periodenlänge herausfinden kann (noch nicht?).
Ich habe mir überlegt, dass der Nenner eines Bruches mit 9er-Ergänzungsperiode als notwendige Bedingung folgendes erfüllen muss:
Er muss entweder durch 2 oder 5 teilbar sein oder er muss Teiler einer "9er-Zahl" (siehe oben) sein.
Bei Wunsch kann ich versuchen, den Beweis aufzuschreiben.
Zu Deinem Bruch oben würde ich also sagen, dass er keine 9er-Ergänzungsperiode hat, weil er die notwendige Bedingung nicht erfüllt. Dass er nicht durch 2 oder 5 teilbar ist, ist offensichtlich und das er kein Teiler einer 9er-Zahl ist habe ich wie folgt herausgefunden:
Angenommen der Nenner erfüllt diese Bedingung, dann gilt: Es gibt n aus |N so dass:
Nenner*n = 9er-Zahl.
Da der Nenner auf 9 endet, muss n auf 1 enden. Dann stimmt schon mal die Endziffer. Die Zweitletzte Ziffer von n muss eine 9 sein, dann stimmen schon mal die letzten beiden Ziffern. Die Ziffern die man so für n gewinnt, sind natürlich eindeutig.
Bei Deinem Nenner oben ergibt es sich nun, dass man ab einem gewissen Zeitpunkt immer wieder dieselbe Zahl vorne an n ansetzen muss, d.h. man kommt zu keinem Ende. Also kann der Nenner kein Teiler einer 9er-Zahl sein.
Ich vermute dass diese ganze "Erscheinung" eng mit der 9 zusammenhängt, weil man periodische Zahlen mit "9er-Nenner" schreiben kann und damit, dass sich die Ziffern der Zahlen im kleinen Einmal-Eins der 9er-Reihe ebenso zu 9 addieren lassen. Bei größeren Zahlen ist dies dann aber immer weniger der Fall.
gruß clara
|
Carmichael (carmichael)
Mitglied
Benutzername: carmichael
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. August, 2002 - 22:27: |
|
Hi,
Sei a/b ein vollständig gekürzter Bruch.
b besitzt die Darstellung 2^x*5^y*z mit ggT(z,10) = 1.
Dann gilt: a/b besitzt genau dann eine "9-er Ergänzungsperiode", wenn es ein k gibt, so dass 10^k + 1 durch z teilbar ist.
Ich gebe dazu nochmal keinen Beweis an, da er nicht so schwer ist.
P.S. Zur Periodenlänge ist folgendes bekannt:
wie oben: a/b, b = 2^x*5^y*z. Die Periodenlänge ist die Ordnung von 10 modulo z.
dazu noch was:
Es gilt:
m = 142857
2*m = 285714
3*m = 428571
4*m = 571428
5*m = 714285
6*m = 857142
Finde andere solche Zahlen m
Gruß, Carmichael |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 11:04: |
|
Bravo Carmiachael,
du hast den farbigen Mummenschanz natürlich gleich durchschaut ;-)
Der Beweis ist (zumindest auf deinem Niveau) "Standard". Aber vielleicht findest du folgende Vermutung überlegenswert:
Sei a/b ein vollständig gekürzter Bruch.
b besitzt die Darstellung 2^x*5^y*z mit z>2 und ggT(z,10) = 1.
Dann gilt: a/b besitzt genau dann eine "9-er Ergänzungsperiode", wenn es keinen Primfaktor p von z gibt, sodass die Ordnung von 10 mod p ungerade ist.
Zu deinem "Zahlendreher": Sei p eine Primzahl und die Ordnung von 10 mod p sei p-1. Dann sind alle Vielfachen k*[10^(p-1) / p], k=1,...,p-1 solche Zahlendreher, z.B. p = 7 (dein Beispiel), 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97,...
@clara: Ich fürchte, in deine Überlegungen haben sich kleine Ungenauigkeiten eingeschlichen. Die 2er- und 5er-Potenzen im Nenner bestimmen nur die Länge der Vorperiode, auf die eigentliche Periode haben sie keinen Einfluss. Außerdem ist jede Zahl n mit ggT(n,10) = 1 Teiler einer "9er-Zahl". Ich hab mal spaßhalber die kleinste 9er-Zahl mit Teiler 309032489 gesucht: sie hat 76,327.281 Neuner!
Viele Grüße
sol@ti
|
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 11:07: |
|
Ups, entschuldige den Carmiachael!
|
Carmichael (carmichael)
Mitglied
Benutzername: carmichael
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 13:21: |
|
Hi,
deine Lösung zum Zahlendreher ist natürlich korrekt ( kleiner Tippfehler, es muss heißen: k*[(10^(p-1) -1) / p] ).
Zu der Vermutung: Soweit ich das jetzt sehe, ist die falsch.
Gegenbeispiel: setze z = 17*19;
ord_17(10)=16=2*8, ord_19(10) = 18 = 2*9,
aber 10^k = -1 (mod 17*19) ist nicht lösbar.
MfG Carmichael
|
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. August, 2002 - 16:36: |
|
Hallo Carmichael,
vielen Dank für dein Gegenbeispiel! Mir erschien die Vermutung durchaus plausibel. Aber hier die zugehörigen Periodenhälften von 1/(17*19)
003095975232198142414860681114551083591331269349845201238390092879256965
944272445820433436532507739938080495356037151702786377708978328173374613
da ist nix mit 9er-Ergänzung. Die Äquivalenz gilt also nur, wenn z selbst eine Primzahl ist.
Beim Zahlendreher hatte ich die eckige Klammer als Gaußklammer gemeint, dann sollte es schon stimmen (einfach um die Periodenlänge verschieben, dann abschneiden). (10^(p-1) -1) / p geht natürlich glatt auf.
Viele Grüße
sol@ti
|
|
