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Beitrag |
    
Xell (vredolf)
Junior Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 22:25: | 
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Man zeige, dass für die Anzahl N(n!) der Nullen am Ende
von n! folgender Zusammenhang gilt:
lim(n->oo) N(n!) = n/2
Diese asymptotische Formel liefert übrigens bereits für nicht
allzu große n recht genaue Werte.
Viel Spaß beim Knobeln wünscht
Xell |
Xell (vredolf)
Junior Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 22:58: |
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Tippfehler, die zu beweisende Formel muss folgendermaßen lauten:
lim(n->oo) N(n!) = n/4 |
Xell (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. August, 2002 - 16:32: |
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Wenn sich niemand an der Lösung versucht, es aber trotzdem
Interessenten geben sollte, löse ich es morgen nachmittag auf.
Darum bitte ich nun um eine Reaktion!
Grüße,
X. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1304
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. August, 2002 - 16:49: |
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Es läuft wohl auf
1/5 + 1/25 + 1/125 + ... + 1/5^k -> 1/4
hinaus. Gruß
Z. |
Xell (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. August, 2002 - 20:49: |
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Ja! |
Xell (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. August, 2002 - 14:59: |
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Nun denn:
Um die Anzahl der Endnullen in n! zu bestimmen, müssen wir
die Häufigkeit des Faktors 10 in n! bestimmen. Da 10=2*5 ist
und der Faktor 5 seltener als 2 vorkommt, ist N(n!) gleich
der Häufigkeit (->der Potenz) von 5 in der PFZ von n!
Man zähle nun die Häufigkeit von 5^1, 5^2, 5^3, ...
in der PFZ von n! und ist fertig.
Die Häufigkeit von 5^1 ist die Zahl kleiner gleich n/5,
also [n/5].
Analog ist die Häufigkeit von 5^j in n! [n/5^j].
Demnach:
N(n!) = [n/5] + [n/5^2] + [n/5^3] + ... + [n/5^k]
Bestimmung von k:
Es muss gelten 5^k <= n, also k <= ln(n)/ln(5)
Die größte Zahl, die dies erfüllt ist [ln(n)/ln(5)].
Also: N(n!) = sum( [n/5^j], j=1..[ln(n)/ln(5)] )
Für n->oo: [ln(n)/ln(5)]->oo
Daher: N(n!) = sum( [n/5^j], j=1..oo)
Näherung: N(n!) ~= sum( n/5^j, j=1..oo) = n/4
Die letzte Zeile ist zugegebenermaßen höchstens plausibel,
dennoch sprechen alle empirischen Messungen für die Zulässigkeit
der Umformung. ;-)
Auch wenn es kein vollwertiger Beweis ist, würde ich mir
eher "n/4" merken als "Summe aller...Gaußklammer...", wenn
mich jemand nach N(n!) fragt.
Gruß,
X.
P.S.: Mit einem kleinen Schritt kommt man von hier aus
auch schnell zur Anzahl der Teiler der Zahl n! |
Robert (emperor2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. August, 2002 - 15:11: |
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Nun eine Frage zu folgender Aussage:
"Da 10=2*5 ist und der Faktor 5 seltener als 2 vorkommt ist N(n!) gleich der Häufigkeit (->der Potenz) von 5 in der PFZ von n!"
WO kommt denn die 5 seltener vor?
Gruß Robert
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. August, 2002 - 16:22: |
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Hallo Xell,
nur ein kleiner Nachtrag zu deiner interessanten Lösung. Man kann N(n!) recht gut abschätzen:
[(n-1)/4] - (k+1) <= N(n!) <= [(n-1)/4] , mit k = [ln(n)/ln(5)]
Noch zwei bemerkenswerte Spezialfälle (für m > 0):
1.) n = 4*5^m ==> N(n!) = n/4 - 1
2.) n = 5^m - 1 ==> N(n!) = n/4 - m (größte Abweichung von n/4)
Viele Grüße
sol@ti
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Xell (vredolf)
Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. August, 2002 - 16:43: |
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Robert: Die fünf kommt seltener in der PFZ(n!) vor, d.h.,
wenn n!=2^c * 5^a * b mit 5 und 2 teilt nicht b, dann ist
sicher a < c.
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