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Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 01:53: | 
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Eine Ziffer große Wirkung
Also ich poste einfach mal eine nette Aufgabe, die man schnell lösen kann, für Zwischendurch.
(a)Man ermittle alle positiven ganzen Zahlen n mit der folgenden Eigenschaft: SChreibt man vor den Anfang der im Dezimalsystem geschriebenen Zahl n zusätzlich eine geeignet gewählte Ziffer, so ergibt sich die Zahl 57 · n.
(b) Und als Zusatz: Man beweise, dass keine positive ganze Zahl n existiert, aus der sich das in (a) beschriebene Voranstellen einer Ziffer die Zahl 56 · n ergeben würde.
Viel Spaß  Robert}
MFG Robert
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 714
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 11:35: |
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Hi Robert!
(a)
Es muss laut Aufgabenstellung gelten:
57*n = n + d*10m (alles natürliche Zahlen)
Dabei soll d einstellig sein (Ziffer).
Also:
56*n = d * 10m
Man sieht, dass d ein Vielfaches von 7 sein muss (weil 7|56, aber nicht 7|10m) und wir wissen (laut Aufgabenstellung), dass d<10. Also gilt d=7.
(Ausnahme: triviale Lösung n=0)
Also muss gelten:
8n = 10m
8n = 2m * 5m
n = 2m-3 * 5m
Für m können wir nun alle natürlichen Zahlen >2 einsetzen und haben die Lösungen.
Dummerweise lässt sich die oben erwähnte Lösung (wenn man sie den gelten lassen will) mit n=0 nicht darstellen...
(b)
Selbe Überlegung wie oben:
56n = n + d * 10m
55n = d * 10m
Und jetzt mal ohne Formalitäten:
Ist n ungerade, dann endet die Zahl auf 5, ist also kein Vielfaches einer Zehnerpotenz.
Ist n gerade, dann ist 55n trotzdem ein Vielfaches von 11 und daraus wird nie eine Zahl der obigen Form mit einem einstelligen d.
Ich nehme an, die 0 willst du hier nicht gelten lassen...
MfG
Martin |
Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 11:48: |
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@Martin
Sehr schön! Da die 0 wirklich so eine nicht nette Zahl ist *gg* füge ich noch hinzu:
n € lN \ {0}
Schöne Lösung
Gruß Robert
MFG Robert
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Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 12:54: |
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a)
Ich würde mahl sagen alle Zahlen der Form
125*10n mit n eine natürlich Zahl, die geeignete Zahl ist die 7 in diesem Fall.
außerdem noch die 0 mit der 0
Ich weiß nicht ob das alle sind aber mehr habe ich so auf anhieb nicht gefunden
b)
Ich habe es durch intelligentes ausprobieren bestätigt, allerdings kein besonders eleganter Beweis, halt ausprobieren.
Wenn kein anderer was intelligentes postet dann schreib ich hin wie es geht.
Mit der 0 geht es aber ;)
} |
Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 13:06: |
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@Jan
Deine Lösung zu a) ist richtig. (Martin hat es ja auch raus)!
Zu dieser Aufgabe sind dies alle Lösungen.
zu b) schau dir doch mal die Lösung von Martin an. Genau so wie er hatte ich es auch.
Poste mal dein "probieren" (nur probieren is kein voll.Beweis)
Gruß Robert
MFG Robert
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