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Ein beweis

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sop
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 20:55:   Beitrag drucken

hi,
ich bin im mathe-projektkurs an unserer schule, und wir machen jeden monat eine art: aufgabe des monats. jedenfalls hieß eine mögliche aufgabe:

Beweisen Sie, dass 45 ein Teiler von (39^21 + 21^39) ist!

Da wir aber auf keinen lösungsweg kamen, haben wir diese aufgabe erst einmal herausgenommen. also: könntet ihr uns hierbei weiterhelfen und den beweis führen? - mfg sop


45 | 39^21 + 21^39
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Martin (Martin243)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 23:10:   Beitrag drucken

Hi, sop!

Die Aufgabe hat mich gereizt. Habe einen Entwurf, ohne viele Kommentare. Schau's dir an und schreib mal, was du davon hälst. Auch Fragen sind mir willkommen. Ich hoffe, die Symbolik ist nicht falsch.

Teilerfrage
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Fireangel (Fireangel)
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Februar, 2001 - 16:14:   Beitrag drucken

Hi Martin,
dem ersten Teil des Beweises stimme ich voll zu.

Ab 2.) finde ich kürzer und leichter:

21^n = 1 mod 10 ;für alle n

39^n = 9 mod 10 ;für alle ungeraden n

=> 21^39 + 39^21 = 0 mod 10

Zahlen mit 5 mod 10 oder 0 mod 10 sind durch 5 teilbar.

(n = x mod y bedeutet, dass n beim Teilen durch zehn neben allen ganzen vielfachen von y den Rest von x/y ergibt.)
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Jürgen Jesinghaus
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Veröffentlicht am Dienstag, den 24. April, 2001 - 10:32:   Beitrag drucken

1. 39^21 + 21^39 = 0 mod 5 und
2. 39^21 + 21^39 = 0 mod 9

Zu 1: wegen 39 = -1 mod 5 und 21 = 1 mod 5
hat die linke Seite den Wert (-1)^21 + 1^39 = -1 + 1 = 0 mod 5.

Zu 2: wegen 39 = 21 = 3 mod 9
hat die linke Seite den Wert 3^21 + 3^39 mod 9, beide Summanden enthalten die 9, sind demnach = 0 mod 9 (und damit die ganze linke Seite).

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