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Beitrag |
    
DULL (dull)
Junior Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Juli, 2002 - 11:20: | 
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Ich habe hier ein schöne Aufgabe gefunden, an der sich ja jeder in seinen Schul-/Semesterferien mal versuchen kann:
Man bestimme in der Dezimaldarstellung der Zahl
x=(√2 + √3 )2002
a) die unmittelbar vor dem Komma stehende Ziffer,
b) die unmittelbar nach dem Komma stehende Ziffer.
Die Aufgabe wurde in der letzten Mathe-Olympiade gestellt. Versucht euch mal daran! Hilfsmittel sollte nur ein Taschenrechner sein (mit drem PC wäre es ja auch zu leicht).
Gruß, DULL |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Juli, 2002 - 11:32: |
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lg(x) = 2002 * lg( sqrt(2) + sqrt(3) ) ~ 996,586
10^0,586 ~ 3,8
a) 3
b) 8
Gruß,
Walter
p.s. ohne Taschenrechner wärs a Aufgabe gewesen
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Juli, 2002 - 22:03: |
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Ich habe zwar nicht die richtige Lösung, aber wenn meine Kenntnisse der Logarithmus-Regeln nicht falsch sind, dann ist
10^996,586 = 10^996 * 10^0,586 = 10^996 * 3,8... eine 997-stellige Zahl, die mit den Ziffern 38 beginnt!
epsilon
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Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 13:59: |
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Stimmt, die Zahl beginnt mit 38(laut Maple^^)
MfG
C. Schmidt |
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 14:15: |
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Ups, da hab ich mich verrannt,
nicht die ersten beiden Stellen sondern die letze vor dem Komma und die erste nach dem Komma sind gefragt;
die zahl lautet in der Mittel 7,3
a) 7
b) 3
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 96
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 14:16: |
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Ups, da hab ich mich verrannt,
nicht die ersten beiden Stellen sondern die letze vor dem Komma und die erste nach dem Komma sind gefragt;
die zahl lautet in der Mitte 7,3
a) 7
b) 3
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 14:45: |
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Hallo,
Sei w = √3+√2 und damit 1/w = √3-√2 .
Der Schlüssel zur Lösung ist die Beobachtung: w^14 + 1/w^14 = 9313930 (exakt!)
Sei a(n) = w^(14n) + 1/w^(14n). Dann ist a(0) = 2 , a(1) = 9313930 und
a(n)*a(1) = (w^(14n) + 1/w^(14n))*(w^14 + 1/w^14) =
= w^(14n+1) + 1/w^(14n-1) + w^(14n-1) + 1/w^(14n+1) =
= a(n+1) + a(n-1)
Also die Rekursionsformel: a(n) = 9313930*a(n-1) - a(n-2)
Alle a(n) sind ganzzahlig und a(n) = -a(n-2) (mod 10).
Wegen a(0) = 2 (mod 10) , a(1) = 0 (mod 10) ist
a(2k) = (-2)^k (mod 10) , a(2k+1) = 0 (mod 10)
Wegen 2002=143*14 ist a(143) = w^2002 + 1/w^2002 = 0 (mod 10)
und wegen 2002*log(1/w) ~ -996.586 gilt:
(√3+√2)^2002 = a(143) - 1/w^2002 = ***9,999...999*** mit genau 996 Neunern nach dem Komma.
Viele Grüße
sol@ti
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DULL (dull)
Junior Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. August, 2002 - 15:21: |
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Hi ihr alle!
Ja, die letzte Lösung stimmt! Sowohl die Lösung von a) als auch von b) lautet 9!
sol@tis Lösungsidee find ich Klasse! ich habe noch eine andere (dazu braucht man nich einmal einen Taschenrechner):
(√ 3+√ 2)^2002 = (5+2*√ 6)^1001
= (5+2*√ 6)^1001 + (5-2*√ 6)^1001 - (5-2*√ 6)^1001
Wenn man versucht den ersten und zweiten Summanden nach dem binomischen Lehrsatz aufzulösen, dann erkennt man schnell, dass jeder zweite Summand des Ergebnisses wegfällt.
Es bleibt also:
2*5^1001 + 2*(1001 über 1)*5^999*4*6 + .... - (5-2*√ 6)^1001
Wie man leicht sehen kann, sind alle Summanden (außer (5-2√ 6)^1001) ganzzahlig und durch 10 teilbar. nur der letzte Summand ist "fast 0" (also 0<(5-2*√ 6)^1001<0,01). So ist das Ergebnis zu a) und b) jeweils 9.
Es mag gut sein, dass mein ergebnis an der einen oder anderen Stelle schlecht dokumentiert ist oder sich sogar Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen haben. ich hatte zum schreiben extrem wenig zeit.
mfG, DULL
(Beitrag nachträglich am 01., August. 2002 von dull editiert) |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 20:49: |
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Hi Dull
ich habs nochmal gerechnet;
von a) ist die Lösung 8
und von b) ist die Lösung 9
Gruß,
Walter
p.s. so zeigt es mir ein EDV-Prog.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
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oder auch verwirrt *ggg*
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Robert (emperor2002)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. August, 2002 - 21:11: |
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Hi
Ich hätte noch eine schöne Variante wie man die 1. Nachkommastelle angeben kann.
(sqrt(2) + sqrt(3))2002 + (sqrt(2) - sqrt(3))2002 = n mit n € Z
n ist ganzzahlig, weil der Exponent geradzahlig ist und n die Summe aus einer Zahl mit der jeweiligen konjugierten Zahl ist.
Da (sqrt(2) - sqrt(3))2002 < 0.01
Somit muss die erste Nachkommastelle von (sqrt(2) + sqrt(3))2002 eine 9 sein, da sonst keine Ganzzahl mehr herauskommen kann!
Für doie erste Vorkommazahl hab ich keine Idee (leider)
Gruß
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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Fanny
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 12:04: |
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Hi Walter:
Da hast Du Dich aber wieder mal schön blamiert!!
Drei Antworten auf die Frage gegeben und ALLE DREI FALSCH! |
R.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 12:15: |
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Und? Was gehts Dich an? Du hast gar nicht erst mitgemacht... Laßt ihn doch alle in Ruhe!!! |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 12:55: |
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Hi Fanny,
Dafür bist Du a Piefke und i nit; *fggggg*
Die erste Antwort deckt sich mit den anderen, war aber eine andere Rechnung => die ersten Stellen der Zahl überhaupt;
die zweite Antwort wahr mir in der Eile des Gefechtes passiert => bin ja kein Schüler der den ganzen Tag im Internet hängt sondern EDV-Techniker bei einer 40-60 h Woche => ich verdien mein eigenes Brot und darf zahl auch Steuern dafür zahlen;
die dritte Antwort ist Bombensicher, beweise das Gegenteil;
solltest noch immer sagen 3 falsche Antworten holt Dich der grüne Ferdinand (österreichische Bezeichnung für Taxi ins Irrenhaus)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. August, 2002 - 13:20: |
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Nachtrag:
@Fanny
Aber lesen kannst schon,
sonst tät der Topfen von Dir nit stammen, oder?
Les gefälligst alles; und nit nur a Zeile und meckern nit 'rum wie a Ziege 
Gruß,
Walter
p.s. ich erkenne auch selbst wenn i was falsch mach;
Mainzi Man,
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