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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 10:15: | 
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Erbprinz Kühnfried zu Prim-Ziffernstein war auf der Suche nach einem Geschenk für seine Gattin zum Hochzeitstag. Aber Platincolliers und Diamantringe langweilten ihn: Nein, diesmal sollte es etwas ganz Besonderes sein. Eine erlesene Zahlencollection, damit wollte er Prinzessin Hermine überraschen. Beim vornehmsten Zahlenjuwelier der Stadt ließ er sich beraten.
"Wir hätten hier etwas äußerst Exquitsites, Durchlaucht. Eine Viererkombination von Quadratzahlen, deren arithmetischer Mittelwert gleich dem Quadrat ihres geometrischen Mittels ist: 3², 11² und 131² umrahmt von 17291² - Unvergleichlich!"
"Ja, ja, etwas in der Art hatte ich mir vorgestellt. Aber bei diesem Exemplar ist keine Zahl durch fünf teilbar. Und es ist doch unser fünfter Hochzeitstag. Hätten Sie das selbe mit einer Fünferzahl?"
"Ich bin untröstlich", entschuldigte sich der Juwelier, "aber mein Einkäufer in Karachi hat mir bei seiner Ehre versichert, dass solche Kombinationen nur ohne Fünfervielfache vorkommen ..."
War das jetzt nur eine Ausrede oder stimmt es wirklich?
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Carmichael (carmichael)
Mitglied
Benutzername: carmichael
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 13:49: |
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Hi sol@ti,
zu zeigen gilt es:
Für Zahlen a,b,c,d > 0 und E IN, welche die Gleichung (1) 4abcd = a^2+b^2+c^2+d^2 erfüllen, ist keine der Zahlen a,b,c,d durch 5 teilbar.
Nun gilt:
Wenn (a,b,c,d) die Gleichung (1) erfüllen, dann auch (a,b,c,4abc-d), denn
4abcd = a^2+b^2+c^2+d^2 gdw.
4abc(4abc-d) = a^2+b^2+c^2+(4abc-d)^2.
Wir betrachten nun a,b,c,d mit 4abcd = a^2+b^2+c^2+d^2 (*), wobei o.B.d.A a<=b<=c<=d und d>=3. Es soll dabei mind. eine der Zahlen a,b,c,d durch 5 teilbar sein (Widerspruchsbeweis).
Wegen (*) müssen deshalb mind. 2 der Zahlen a,b,c,d durch 5 teilbar sein, da die quad. Reste modulo 5 nur 0,1,-1 sind. [0=0+0+0+0 oder 0=0+0+1-1]
Nun gilt: 2abcd >= 3abc+abcd = abc+abc+abcd + abc > a^2 + b^2 + c^2;
=> wegen (*): a^2+b^2+c^2+d^2 > a^2+b^2+c^2+2abcd;
=> d > 2abc => d > 4abc-d;
Wie bereits gezeigt, erfüllt auch (a,b,c,4abc-d) die Gleichung (*) und es gilt a+b+c+4abc-d <a+b+c+d sowie a,b,c,4abc-d > 0 [wegen (*):4abc-d=(a^2+b^2+c^2)/d > 0]. Da unter a,b,c,d zwei Zahlen durch 5 teilbar sind, ist unter a,b,c,4abc-d mind. eine durch 5 teilbar. Da nun aber a,b,c,4abc-d (*) erfüllen, müssen mind. 2 darunter sein (vgl. oben).
So erhalten wir also aus 4 positiven Zahlen a,b,c,d welche (*) erfüllen und von denen mind. 2 durch 5 teilbar sind, 4 positive Zahlen, die (*) auch erfüllen, deren Summe kleiner wird und von denen auch mind. 2 durch 5 teilbar sind. Dieser Prozess lässt sich solange fortführen, bis keine Zahl >= 3 mehr unter den 4 ist (siehe Bedingung oben). Da die Summe abnimmt tritt dieser Fall ein.
Die einzigen Zahlen a,b,c,d, die (*) erfüllen und für die a,b,c,d<3 gilt, sind: (1,1,1,1).
1 ist aber nicht durch 5 teilbar.
=> Widerspruch
MfG Carmichael
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 19:42: |
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Großartig Carmichael,
diese Idee mit dem rekursiven Abstieg auf (1,1,1,1) - da muss man erst mal drauf kommen! Aber das entspricht eben deinem eleganten Stil. Und so ganz nebenbei kann man damit, von (1,1,1,1) ausgehend, rekursiv alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung a²+b²+c²+d²=4abcd berechnen.
Vielen Dank für diesen schönen Beweis!
Ich sollte wohl als Nächstes das Märchen von der Goldbach Vermutung erzählen. Du bearbeitest das Rätsel, und dann ist diese leidige Sache auch endlich vom Tisch ;-)
Viele Grüße
sol@ti
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Carmichael (carmichael)
Mitglied
Benutzername: carmichael
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 21:58: |
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Ich bin schon etwas gesessen bis ich den Beweis zusammen hatte. Einfache modulo betrachtungen führen hier ja nicht zum Ziel; hätte mich eigentlich auch gewundert (btw: hattest du eine andere Lösung). Deine Rätsel sind wirklich sehr schön und ich löse sie gerne!
P.S.: Das Glodbach Rätsel werde ich allerdings nicht lösen ;)
MfG Carmichael |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Juli, 2002 - 11:12: |
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Hallo Carmichael,
freut mich, dass dir meine Rätsel gefallen. Und was den Beweis betrifft: Ja, ich habe eine anderen Beweis, doch die Unterschiede sind nicht all zu groß. Es wird auch verwendet, dass es zu jeder Lösung (a,b,c,d) die "kleinere" Lösung (a,b,c,4abc-d) gibt. Doch daraus wird nicht der rekursive Abstieg auf (1,1,1,1) gefolgert (das hat mir bei dir so gut gefallen), sondern nur, dass a,b,c,d paarweise teilerfremd sein müssen. Und dann eben wieder dein Argument: es müssten mindesten 2 Zahlen durch 5 teilbar sein => Widerspruch.
Viele Grüße
sol@ti
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