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Auf der Pirsch

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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 09:58:   Beitrag drucken

Zwei Jäger gehen auf die Pirsch. Der alte Jäger-Michl bricht um 6 Uhr vom Forsthaus auf, damit er den Hochsitz gemessenen Schrittes bis 9 Uhr erreichen kann. Auf halbem Weg legt er immer eine Viertelstunde Pause ein. Um 7 Uhr verlässt der junge Jäger-Loisl das Forsthaus und geht zügig den selben Waldweg hinauf, damit auch er um 9 Uhr am Hochsitz eintrifft. Mit Loisl läuft der treue Jagdhund Lux aus dem Haus, dem alten Michl hinterher.

Als Lux den Jäger-Michl zum ersten Mal erreicht, setzt der sich gerade zur Rast nieder. Der gute Lux dreht um und pendelt unermüdlich mit konstanter Geschwindigkeit zwischen beiden Jägern hin und her (oder besser bergauf und bergab), wobei er nie den Waldweg verlässt.

Läuft Lux um 8 Uhr gerade bergauf oder bergab?
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Henrik (sh4rki)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: sh4rki

Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 12:15:   Beitrag drucken

HEy

zeichnerisch total gut lösbar.
Hättest du aber 8:30 gefragt müsste man es rechnerisch lösen wegen der ungenauigkeit.
Also ich hab als Lösung, dass er gerade wieder vom jungen jäger zum alten ist. Also bergauf.
Er war davor 2 mal beim alten und 2 mal beim jungen.

Hier als Bild: http://www.sh4rki.de/jaeger.jpg

gruß
henrik

(Beitrag nachträglich am 26., Juli. 2002 von sh4rki editiert)
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 17:16:   Beitrag drucken

Hallo Henrik,

dein Weg-Zeit-Diagramm ist wirklich eine gute Idee. Und das mit der Ungenauigkeit beim Zeichnen und dem "rechnerisch lösen" waren sehr gute Hinweise. Probier's mal ;-)

Viele Grüße
sol@ti
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Rebekka Malten (rebmalten)
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Mitglied
Benutzername: rebmalten

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 10:07:   Beitrag drucken

Hi Henrik,
darf ich Dir ein paar Fragen zu Deiner Lösung stellen?

Woher weißt Du, welche Steigung Du für die beiden Wege (Alt / Jung) annehmen darfst?

Woraus ergeben sich die Steigungen des 'Hundeweges'?

Danke, danke, danke!


Reb
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 10:19:   Beitrag drucken

Hallo,

die Lösung ist übrigens "bergab" !

sol@ti
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Markus (boothby81)
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Moderator
Benutzername: boothby81

Nummer des Beitrags: 68
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 03:28:   Beitrag drucken

bergab? wieso bergab? das fragt man sich schon, wo sich doch laut der zeichnung von herik eindeutig bergauf als lösung ergibt. aufgabe nochmal durchgelesen - nein, kein verständnisfehler. aber da man den worten von sol@ti besser glauben schenkt, selbst zu papier und bleistift gegriffen. so exakt wir möglich gezeichnet. tja, und wollte ich aus meiner zeichnung eine lösung ablesen, dann wäre das eine dritte alternative: bei mir trifft der hund 'genau' um 8 uhr zum dritten mal auf den alten jäger ;). die zeichnungen sind wohl doch zu ungenau. aber da ich jetzt ne stunde versucht hab, das ganze rechnerisch zu lösen und es dabei mit viel zu unschönen brüchen zu tun habe, gebe ich für den moment auf.

gruß
markus

(Beitrag nachträglich am 28., Juli. 2002 von boothby81 editiert)
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 11:51:   Beitrag drucken

Hallo Markus,

ja das ist das Verflixte bei dieser Sache: je genauer man zeichnet, umso schneller scheint der gute Lux zu laufen! Wenn du's aber rechnerisch angehst, versuch bloß nicht den Weg des Hundes durch Geradengleichungen zu beschreiben! Da bekommst du es mit vielen unschönen Brüchen zu tun ;-)

Über ähnliche Dreiecke erhält man eine einfache Rekursionsformel für die Zeitpunkte, wann Lux bei einem der Jäger umdreht.

Viele Grüße
sol@ti
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Markus (boothby81)
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Moderator
Benutzername: boothby81

Nummer des Beitrags: 69
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 16:43:   Beitrag drucken

hmm, geometrie war noch nie meine stärke. ich sehe dank deinem hinweis zwar einige ähnliche dreiecke, weiß aber noch nicht, wie die mich der lösung näherbringen sollen.
deshalb habe ich es doch mit der brechstange versucht und einige geradengleichnungen aufgestellt. die ergebnisse daraus haben sich auch schön mit meiner zeichnung gedeckt, nur habe ich als zeitpunkt des dritten treffens von hund lux und dem alten jäger michl 8:00:05,5 uhr raus, d.h. ca. 5,5 sekunden nach 8 uhr (genau: 84545/704 minuten nach 6 uhr), so daß der gute hund um 8 uhr noch auf dem weg zu michl und damit bergauf unterwegs war...??

schon klar, daß dieser lösungsweg (wenn auch nicht wirklich schwierig, sondern nur aufwendig) nicht sehr 'schön' ist. vielleicht versucht sich also noch jemand anders an der geometrischen lösung (henrik?).

gruß
markus
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sol@ti
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 10. August, 2002 - 12:31:   Beitrag drucken

Hallo Markus,

ich wollte die Angaben so wählen, dass Lux um 8 Uhr bereits wieder seit einigen Sekunden bergab läuft. Das sollte so knapp sein, dass die Zeichenungenauigkeit beim Weg-Zeit-Diagramm keine eindeutige Lösung mehr zulässt. Bei Henriks Diagramm beträgt die Ungenauigkeit rund 5 Minuten, du findest mit genauer Konstruktion
"... eine dritte alternative: bei mir trifft der hund 'genau' um 8 uhr zum dritten mal auf den alten jäger",
so war's geplant. Ich hatte die Berechnungen gewissenhaft (so glaubte ich zumindest!) durchgeführt und dein Ergebnis stimmte nicht mit meinen Zahlen überein.

Doch jetzt hab ich alles noch mal neu gerechnet. Plötzlich erhalte ich, dass der gute Lux um 8 Uhr doch bergauf unterwegs ist. Ich hab mich offenbar selbst überlistet! Also: Asche auf mein Haupt und

gratuliere Markus und Henrik, ihr hattet von Anfang an recht - der Hund läuft bergauf!

Deine Zahlen kann ich aber immer noch nicht bestätigen. Um es endgültig abzuklären, werde ich meinen Rechengang ausführlich darlegen:

oBdA: L = 1 (Weglänge), Zeit t = 0 entspricht 6 Uhr

1.) Wegfunktionen in Abhängigkeit von der Zeit t

Michl:
sM(t) = 4t/11 , für 0 <= t <= 11/8 (1.Hälfte des Weges)
sM(t) = 1/2 , für 11/8 <= t <= 13/8 (1/4 Stunde Pause)
sM(t) = (4t-1)/11 , für 13/8 <= t <= 3 (2.Hälfte des Weges)

Loisl: sL(t) = (t-1)/2 , für 1 <= t <=3

Geschwindigkeit (= Steigung der Wegfunktion) Lux: vauf = 4/3, vab = -4/3


2.) Rekursion für die Zeitpunkte, an denen Lux bei einem der Jäger umdreht

Zu den Zeitpunkten t0 = 1, t2, ... , t2n sei Lux bei Loisl.
Zu den Zeitpunkten t1 = 11/8, t3, ... , t2n+1 sei Lux bei Michl.

Steigungsdreieck (Lux läuft bergauf)
(sM(t2n+1)-sL(t2n)/(t2n+1-t2n) = vauf
==>
t2n+1 = (55t2n + 27)/64 für n >= 1

Steigungsdreieck (Lux läuft bergab)
(sL(t2n)-sM(t2n-1)/(t2n-t2n-1) = vab
==>
t2n = (112t2n-1 + 27)/121 für n >= 2

Für t2 gilt die Rekursion wegen Michls Pause noch nicht, da muss man also den Schnittpunkt ausrechnen: t2 = 17/11


3.) Zusammenfassung

7:00:00 Lux läuft los, t0 = 1
7:22:30 Lux erreicht Michl, der gerade seine Pause beginnt, t1 = 11/8
7:32:44 Lux ist bei Loisl, t2 = 17/11
7:45:00 ... bei Michl, t3 = 7/4
7:50:35 ... bei Loisl, t4 = 223/121
8:00:00 Lux läuft bergauf
8:00:20 ... bei Michl, t5 = 353/176

u.s.w. bis 8:30 (Henriks Bemerkung)

8:29:58 Lux ist bei Michl, t11 = 37474027/14992384
8:30:00 Lux läuft bergab


Nochmals herzlichen Dank, dass du mich auf meinen Fehler aufmerksam gemacht hast!

Viele Grüße
sol@ti
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Markus (boothby81)
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Moderator
Benutzername: boothby81

Nummer des Beitrags: 82
Registriert: 03-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. August, 2002 - 14:50:   Beitrag drucken

hi slo@ti.

entschuldige, daß ich erst jetzt antworte.
ich kann deine obigen ausführungen bestätigen, habe mit ihrer hilfe auch den fehler in meinen rechnungen gefunden, ein kleiner rechenfehler. von daher kann ich eigentlich gar nichts dafür, daß ich dich 'auf deinen fehler aufmerksam gemacht habe'. zumindest ist die aufgabe nun richtiggestellt, und das auch noch mit einer schöne(re)n lösung.

gruß
markus

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