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Beitrag |
    
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 16:22: | 
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Wie oft an einem Tag teilen die Zeiger einer (mechanischen) Uhr das Ziffernblatt in drei gleiche Sektoren (d.h. exakt 120° zwischen je zwei Zeigern)?
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Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 101
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 17:00: |
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also
1. muß das keine Mechanische Uhr sein, meine ist auch elektronisch und hat Zeiger
2. muß sie schon einen Sekundenzeiger haben
3. der Stundenzeiger hat 3 mal pro Stunde die richtige Position und der Minutenzeiger steht einmal links und einmal rechts vom Stundenzeiger.
Es gibt also theoretisch 6 positionen pro Stunde.
Soweit zur Idee
Murray |
TomD
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 13:00: |
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Hi sol@ti!
Meiner Meinung nach reichen Deine Angaben nicht aus, um die Frage beantworten zu können. Ich denke, es wäre absolut notwendig für eine korrekte Lösung der Aufgabe anzugeben, ob es sich um eine digital zählende oder wirklich analoge Uhr handelt. Dass sie Zeiger hat ist mir klar, aber springen diese Zeiger von einer Position zur nächsten oder bewegen sie sich kontinuierlich dorthin? Der erstgenannte Fall würde die Suche denke ich erheblich vereinfachen. Beim zweiten Fall bin ich mir nicht sicher, ob es dann überhaupt Lösungen gibt.
Gruß TomD |
Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 13:17: |
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Ich denke die Angaben reichen aus!
Eine mechanische Uhr dreht sich immer im Uhrzeigersinn und bei einer mechanischen Uhr bewegen sich die Zeiger IMMER, auch wenn man es bspw. beim Stundenzeiger nicht sieht, aber er bewegt sich. Und ich denke man sollte einfach mal vom idealen Fall ausgehen, wie man es in der Wahrscheinlichkeit ja auch macht!
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 14:19: |
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@TomD: Es muß eine kontinuierliche Bewegung der Zeiger sein, denn es ist ein GrenzwertProblem.
So bewegt sich der Stundenzeiger ja immer weiter wenn sich der Minutenzeiger bewegt (gleiches für Sekundenzeiger) - das macht die Aufgabe eigentlich so schwer.
Die Zeiger sind immer ein Drittel des Ziffernblattes auseinander, den Startpunkt bestimmt der Stundenzeiger.
Das definiert dann die Mathematik dieser Aufgabe:
"Gesucht sind alle Grenzwerte, bei denen die Zeiger genau ein drittel des Blattes auseinander sind."
Genauer gesagt gibt es zwei Fälle zu betrachten:
(Die Abstände berechne ich immer in der jeweiligen Einheit auf dem Blatt)
1. Der Minutenzeiger ist immer genau 20 Minuten vor und der Sekundenzeiger 20 Sekunden nach dem Stundenzeiger (Bsp.: 4:00:40).
2. Der Minutenzeiger ist immer genau 20 Minuten nach und der Sekundenzeiger 20 Sekunden vor dem Stundenzeiger (Bsp.: 8:00:20).
Einfacher läßt es sich vorstellen wenn man die Stunden auf die tatsächliche Anzeige umrechnet, also einfach mal 5.
Bsp: 4:00:40
- Stundenzeiger auf 20 (4*5)
- Minutenzeiger auf 00
- Sekundenzeiger auf 40
Soweit zum Ansatz, vielleicht hilft das jemandem bei der Lösung (Grenzwerte sind nicht so meine Stärke :-)
Murray
PS: Meine Zeiten sind nicht korrekt, sondern nur als Beispiele zu sehen. Ich habe der Einfachheit halber die Sekundenbewegung von Minuten- und Stundenzeiger vernachlässigt.
(Beitrag nachträglich am 24., Juli. 2002 von murray editiert) |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 17:03: |
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Hallo,
einigen wir uns auf eine mathematische Idealisierung dieser "klassischen" mechanischen Uhr
Viele Grüße
sol@ti
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TomD
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 17:45: |
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@ Robert!
Deine Aussage: bei einer mechanischen Uhr bewegen sich die Zeiger immer, ist schlichtweg falsch. Wie ich bereits oben erwähnte, gibt es durchaus auch mechanisch angetriebene Uhren, bei denen die Zeiger von einer zur nächsten Stellung >springen<. Dass die meisten Uhren, und wahrscheinlich auch die vom Autor gemeinte, sich kontinuierlich bewegen streite ich ja nicht ab, nur ist das in der Aufgabe nicht explizit angegeben.
Die Lösung der Aufgabe wird dann nämlich etwas knifflig und auch zeitaufwendig. Allein um mir evtuelle Arbeit zu ersparen, habe ich nochmal nachgefragt.
Gruß TomD |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 20:23: |
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hi sol@ti.
kommt der von dir beschriebene fall (120° zwischen je zwei zeigern) denn überhaupt vor?
ich hab ne weile rumgerechnet, und wenn mein ansatz richtig ist (da bin ich mir allerdings nicht wirklich sicher...), dann haben die 3 zeiger gar nie diese position.
falls das stimmt, werde ich meine rechnung noch posten, andernfalls hat sich das ja erledigt, und ich werd nochmal neu ansetzen... 
gruß
markus |
Uhrmacher
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 20:54: |
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Die richtige Antwort ist: null mal. |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 21:48: |
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@Uhrmacher: Mal abgesehen davon das das falsch ist, wie kommst Du drauf?
Begründen müßtest Du das schon.
Murray |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 66
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 22:46: |
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hallo.
@murray: nun ja, du hast auch gerade behauptet, daß es eine lösung gibt, ohne es zu begründen...
ich nehme jetzt mal an, daß 'uhrmacher' = 'macher des uhrenrätsels' = sol@ti
dann kann ich zumindest meine lösung bestägt sehen ;). ne, wie gesagt, ich bin mir nicht ganz sicher, ob das folgende stimmt. deshalb, wie beim lotto, OHNE GEWÄHR. ich laß mich gern vom gegenteil überzeugen.
es gibt, wie bereits von mehreren gesagt, zwei fälle zu unterscheiden, was die position der zeiger zueinander angeht:
fall 1: stundenzeiger - minutenzeiger - sekundenzeiger (im uhrzeigersinn gesehen)
fall 2: stundenzeiger - sekundenzeiger - minutenzeiger (im uhrzeigersinn gesehen)
die zwei fälle werde ich als +- schreiben, plus steht für fall 1, minus für fall 2.
für die 3 zeiger habe ich funktionsvorschriften aufgestellt, die jeder zeit t (in sekunden) deren position auf dem ziffernblatt zuordnen, wobei die funktionswerte zwischen 0 und 1 liegen, d.h. 0,5 bedeutet z.b. eine zeigerstellung auf 6.
innerhalb einer stunde gilt minuten- und sekundenzeiger:
m(t) = t/3600
s(t) = t/60 - k
k = int(t/60)
d.h. k e IN, 0 <= k < 60
zwischen min- und s-zeiger sollen 120°, also 1/3-umdrehung liegen.
bedingung:
m(t) +- 1/3 = s(t)
t/3600 +- 1/3 = t/60 - k
t +- 1200 = 60t - 3600k
t = (3600k +- 1200)/59
innerhalb von 12 stunden gilt für stunden- und minutenzeiger:
h(t) = t/43200
m(t) = t/3600 - k'
k' = int(t/3600)
d.h. k' e IN, 0 <= k' < 12
zwischen h- und min-zeiger sollen 120°, also 1/3-umdrehung liegen.
bedingung:
h(t') +- 1/3 = m(t')
t'/43200 +- 1/3 = t'/3600 - k'
t' +- 14400 = 12t' - 43200k'
t' = (43200k' +- 14400)/11
nun sollen beide bedingungen gleichzeitig zutreffen:
t = t'
(3600k +- 1200)/59 = (43200k' +- 14400)/11
39600k +- 13200 = 2548800k' +- 849600
33k = 2124k' +- 697
diese gleichung hat für k,k' e IN keine lösung (diesen teil mußte ich leider meinen pc 'durchprobieren' lassen; wie kann ich das mathematisch beweisen?).
daher können h-, min- und s-zeiger nie einen abstand von je 120° zueinander haben.
gruß
markus |
Onkel Murray (murray)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: murray
Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 10:25: |
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@Markus, Uhrmacher: Ich glaube ihr habt Recht.
Ich habe mich von folgender Aufgabe in die Irre führen lassen:
"Zu finden sei die Zeit in der alle Zeiger übereinander stehen"
Wenn man da ganz mathematisch herangeht, wird zum Beispiel der Minutenzeiger den Stundenzeiger nie einholen, da dieser sich immer Stück weiter fort bewegt.
Trotzdem passiert das irgendwann, und das kann man nur mit einem Grenzwert bestimmen.
Aber die hat nichts mit der oberen Aufgabe gemein.
Wenn man das Problem mal nicht so mathematisch ausdrücken wollte und es sich einfach mal vorstellt:
4:00:00 stehen der Minuten und der Stundenzeiger genau 120 Grad auseinander.
Wenn man den Sekundenzeiger jetzt um 40 Sekunden weiterbewegt, um Ihn zu positionieren, dann wird der Winkel kleiner 120. Denn der Minutenzeiger bewegt sich ja schneller als der Stundenzeiger.
Geht man in der Zeit zurück, so wird der Winkel zwischen Minuten- und Stundenzeiger zu groß.
Der Abstand zwischen Minuten- und Stundenzeiger ist aber immer dann genau 120 Grad wenn sie genau 20 Minuten entfernt sind - also der Sekundenzeiger auf 0 steht.
Die Frage reduziert sich also auf:
"Gibt es innerhalb von 12 Stunden eine Zeit, wo der Sekundenzeiger auf Null steht und Minuten- und Stundenzeigen um 120 Grad entfernt sind?"
Genau die gibt es nicht, denn:
1. der Stundenzeiger ist auf 4 (20), dann muß der Minutenzeiger auf 40 sein, hat aber damit den Stundenzeiger schon um 40/60 weiterbewegt
Widerspruch
2. der Minutenzeiger ist auf 20, dann muß der Stundenzeiger auf 8 (40) sein, damit ist der Stundenzeiger aber um 40/60 vor 8 (40)
Widerspruch
q.e.d.
Es gibt keine Lösung.
Murray
PS: @markus - Zitat: "Oft ist der gesunde Menschenverstand dem Computer überlegen, auch wenn letzterer schneller ist" (unbekannt) |
Markus (boothby81)
Moderator
Benutzername: boothby81
Nummer des Beitrags: 67
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 14:04: |
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hallo murray.
tut mir leid, aber deine argumentation stimmt nicht.
du schreibst:
Der Abstand zwischen Minuten- und Stundenzeiger ist aber immer dann genau 120 Grad wenn sie genau 20 Minuten entfernt sind - also der Sekundenzeiger auf 0 steht.
daß das nicht stimmt, erkennt man sofort aus meinen obigen gleichnungen. ich erkläre sie mal ein bißchen detaillierter.
vergleichen wir nur stunden- und minutenzeiger und beginnen um 0.00 uhr, d.h. beide zeiger stehen genau auf der 12. der stundenzeiger benötigt für einen vollen umlauf 60*60*12=43200 sekunden. für diesen zeitraum hat er also die funktionsvorschrift
h(t) = t/43200
wenn der minutenzeiger auf der 12 startet, dann heißt das, daß k'=0 ist. der minutenzeiger braucht für einen umlauf 60*60=3600 sekunden. funktionsvorschrift:
m(t) = t/3600 (gilt nur für die erste minute, sonst müßte k'=1, 2, 3... sein)
setzen wir nun h(t) + 1/3= m(t), d.h. der minutenzeiger ist um 1/3-umdrehung weiter als der stundenzeiger, dann ergibt sich:
t' = 14400/11
also nach etwa 1309,09 sekunden = 21 min 49,09 s
probe:
h(t') = 1/43200 * 14400/11 = 1/33
m(t') = 1/3600 * 14400/11 = 4/11 = 1/33 + 1/3
um 0:21:49,09 haben also stunden- und minutenzeiger einen abstand von 120°.
gruß
markus |
SpockGeiger (spockgeiger)
Senior Mitglied
Benutzername: spockgeiger
Nummer des Beitrags: 540
Registriert: 05-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 16:31: |
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Hi Markus
Respekt, toller Beweis. Dass die letzte Gleichung nicht gelten kann, erkennt man übrigens ganz schnell, wenn man sie modulo 3 nimmt.
viele Grüße
SpockGeiger |
sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 16:31: |
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Bravo Markus,
dein formaler Ansatz führt zum exakten Beweis, dass es keine 3 x 120° Zeigerstellung geben kann!
Streng genommen hast du bewiesen, dass es zwischen 0:00:00 und 1:00:00 Uhr keine Lösung gibt, da der Ansatz m(t)=t/3600 nur für 0<=t<3600 gilt. Doch das ist eine Kleinigkeit (du hast übrigens in deinem letzen Beitrag Murray gegenüber selbst darauf hingewiesen):
s(t)=t/60-ks , ks=[t/60]
m(t)=t/3600-km , km=[t/3600]
h(t)=t/43200
gilt für 0<=t<43200 (also 12 Stunden).
Berechnet man t aus m+1/3=s, t' aus m-1/3=h und setzt t=t', so erhält man:
2157km-33ks=-697 , also ganz ähnlich wie deine Gleichung.
Nun der simple Trick: ggT(2157,33)=3 herausheben.
3*(719km-11ks)=-697 kann keine ganzzahligen Lösungen besitzen, weil die linke Seite durch 3 teilbar ist, 697 aber nicht!
(Analog für m-1/3=s und m+1/3=h)
TomD hat's gleich zu Beginn vermutet, der Uhrmacher (das war nicht ich!) hat's "gewusst" und Murray hat anschaulich gut argumentiert, dass es keine Lösung geben kann.
@Robert & TomD: Ich hatte das Rätsel zwar in Roberts Sinne gemeint, aber TomD's "springende Zeiger" sind eine interessante Variante. Meines Wissens bewegt sich der Stundenzeiger aber auch dort mit dem Minutenzeiger mit. Damit sind mindestens die von Murray angegebenen Zeiten 4:00:40 und 8:00:20 (bzw. 16:00:40 und 20:00:20) echte Lösungen. (Gibt es weitere?)
Vielen Dank für die rege Mitarbeit!
sol@ti
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TomD
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 19:45: |
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Hi sol@ti!
Nachdem Markus die ganze Sache lupenrein bewiesen hat, kann ich höchstens noch eine Lösung für den Fall der springenden Zeiger anbieten. Allerdings muss man hier auch wieder unterscheiden, ob nun alle Zeiger springen oder nur der Sekundenzeiger oder nur der Sekunden- und der Minutenzeiger.
Fall 1: Nur der Sekundenzeiger springt
Hier gibt es keine Lösung, denn im Falle einer Lösung müssten auch Minuten und Stundenzeiger exakt auf vollen Teilstrichen der Uhr stehen (so wie der Sekundenzeiger). Dies wäre nur gegeben wenn der Sekundenzeiger auf Null steht. Dann müsste der Minutenzeiger auf "4" oder "8" stehen (das geht noch) und gleichzeitig der Stundenzeiger auf "8" oder "4" (das ist bei einem Minutenzeiger, der nicht auf null steht aber nicht möglich.)
Fall 2: der Sekunden und der Minutenzeiger springen (der Stundenzeiger dreht sich dann kontinuierlich, allerdings kenne ich keine Uhr die nach diesem exotischen Schema arbeitet)
Auch hier geht es nur wenn der Stundenzeiger auf einem vollen Teilstrich steht (fünf Teilstriche pro Stunde), da die beiden anderen Zeiger auch nur auf Teilstrichen stehen können. Dies geht nur bei den >vollen< Minuten 12,24,36,48 und 60 (also Sekundenzeiger auf Null). Das heisst der Minutenzeiger müsste bei 40 bzw. 20 stehen. Dies widerspricht den möglichen vollen Minuten. -> auch keine Lösung
Fall 3: alle Zeiger springen (der von mir vermutete Fall)
Hier gibt es dann tatsächlich Lösungen. Und zwar 2 Stück innerhalb der Zeit die die Zeiger brauchen um von einer kompletten "Übereinanderstellung" zur nächsten zu wandern. Das sind entweder 65 oder 66 Minuten, je nach Stundenzahl. (in der Stunde von Null bis kurz nach ein Uhr sind es z.B. 65 und in der Stunde von 2:10:10 bis 3:16:16 sind es 66) 2 Lösungen deshalb, weil der Minutenzeiger eben einmal rechts und einmal links vom Stundenzeiger stehen kann. Da sich dieser Zyklus über 65/66 Minuten erstreckt und nicht über eine Stunde (60min) gibt es während 12 Stunden auch nur 11 solcher Zyklen. Das Ergebnis in diesem Falle wäre also 22.
Gruß TomD |
Uhrmacher
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 19:57: |
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Zur Information:
bei jeder mechanischen Uhr springen alle Zeiger! |
TomD
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 07:50: |
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Das wär mir neu. Könntest Du das erklären?
Gruß TomD |
Uhrmacher
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 09:13: |
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Hi TomD,
Mechanische Uhren werden entweder durch ein Pendel oder durch eine Unruh gesteuert.
Zeiger werdern durch eine Reihe von Zahnrädern angetrieben. Das letzte dieser Räder (= das am schnellsten drehende) wird als "Ankerrad" ausgebildet. Dieses Rad wird durch den "Anker" am freien Drehen gehindert. Das Pendel (oder die Unruh) kippt den Anker periodisch, so dass das Ankerrad jeweils um einen Zahn "weiterspringen" kann. Das Ankerrad macht also eine ruckartige (springende) Drehbewegung. Alle anderen Räder und Zeiger werden durch dieses Rad angetrieben und machen somit ebenfalls springende Fortbewegungen.
Elektrische Uhren werden hingegen meist durch einen Synchronmotor angetrieben, die Zeiger machen gleichmäßige Drehbewegungen. Es sind also wahre "Analoguhren".
Mechanische Uhren sind streng genommen "digitale" Uhren. Jedoch ist die Digitalstufung so fein, dass sie nicht mit unseren natürlichen Sinnen wahrgenommen werden kann: solche Uhren werden daher ebenfalls als Analoguhren bezeichnet.
http://www.schmuckecke.de/technik/hemmung.html
Es grüßt, der Uhrmacher
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sol@ti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 09:55: |
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Hallo TomD,
deine Lösung für "springende Zeiger" ist ebenfalls sehr interessant. Fall 2 hätte ich mir so vorgestellt, dass der Stundenzeiger alle Minuten um 0.5° weiterspringt. Wenn ich es richtig verstehe, springt bei Fall 3 der Stundenzeiger alle 12 Minuten um 6° (also auf den nächsten Minutenteilstrich) weiter?
@Uhrmacher: Sehr interessant. Weisst du wie der Stundenzeiger bei mechanischen Uhren mit minutenweise springendem Minutenzeiger tatsächlich springt?
Viele Grüße
sol@ti
|
TomD
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 13:08: |
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Hallo Uhrmacher!
Ich hätte gedacht, dass mechanische Uhren auch kontinuierlich gehemmt werden. Hab also wieder was dazu gelernt. Danke für Deine Erklärung!
Hi sol@ti!
Fall 2 hatte ich eigentlich so gemeint, dass sich der Stundenzeiger wirklich kontinuierlich (also exakt proportional zur tatsächlich verflossenen Zeit) bewegt. Falls Du es lieber hättest, wenn der Stundenzeiger im Minutentakt weiterspringt, dann ändert das allerdings auch nichts am Ergebnis. Es sind nämlich aufgrund der in 6°-Schritten springenden Minuten und Sekundenzeiger auch weiterhin nur die Stellungen interessant in denen der Stundenzeiger auf vollen Teilstrichen steht. Damit ergibt sich derselbe Lösungsweg wie oben.
Gruß TomD |
Uhrmacher
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Juli, 2002 - 17:35: |
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Hallo,
Uhren, bei denen der Minutenzeiger immer um ganze Minutenstriche weiterspringt sind immer "elektrische" Uhren! (Typische Bahnhofsuhr).
Alte, elektrische Uhren wurden von einer mechanischen Unruh oder einem Pendel gesteuert. Oder man verwendete die elektrische Frequenz als Taktgeber. Heute fast ausschließlich Quarzkristalle als Taktgeber. (Abgesehen von den stationären Atomuhren).
http://www.faszination.ch/e_anlg_d.htm
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Raphael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Juli, 2002 - 00:26: |
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Hi sol@ti!
Diese Aufgabe war eine Lieblingsaufgabe von Prof. Gaede von der TU München (toller Lehrer vom alten Schlag!!!)
Ein Ausspruch (ich glaube Hilbert???):
Es gibt Menschen, die haben einen Horizont vom Radius Null, dass nennen sie Ihren Standpunkt! |
Robert (emperor2002)
Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Juli, 2002 - 12:35: |
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@Raphael
Ich glaube den Auspruch hat EInstein von sich gegeben! Bin mir da aber auch nicht 100%ig sicher!
MFG Robert
www.mathefreak.de / webmaster@mathefreak.de
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Rebekka Malten (rebmalten)
Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Juli, 2002 - 13:55: |
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Raphael hat Recht ;-): Der Spruch ist von David Hilbert. Es heißt aber 'Gesichtskreis' (deswegen auch Radius...), nicht Horizont.
(Weiß ich auch nur, weil ich ihn gestern erst auf einer netten Seite, unter http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/zitate.html entdeckt habe.)
...soll nicht so besserwisserisch klingen, wie's aussieht!
MfG
Reb
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neugrig
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Juli, 2002 - 17:15: |
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Und was hat das mit der Frage zu tun? |
Querulant
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2006 - 13:04: |
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Etwas spät und mit Sicherheit nicht allzu mathematisch:
Und was ist, wenn die Zeiger der Uhr beim (falschen)zusammenbau genau in 120° Stellung eingebaut werden? Tritt dann der Fall erneut auf oder ist dieser dann einmalig? |
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